2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一篇 微型專題 微專題03 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用練習(xí) 理.docx
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03導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.如圖,函數(shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)P處的切線方程為x-y+2=0,則f(1)+f(1)=().A.1B.2C.3D.4解析由條件知(1,f(1)在直線x-y+2=0上,且f(1)=1,f(1)+f(1)=3+1=4,故選D.答案D2.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a在x=1處取得極大值10,則ab的值為().A.-23B.-2C.-2或-23D.2或-23解析由題意知f(x)=3x2+2ax+b,則f(1)=0,f(1)=10,即3+2a+b=0,1+a+b-a2-7a=10,解得a=-2,b=1或a=-6,b=9,經(jīng)檢驗(yàn)a=-6,b=9滿足題意,故ab=-23,故選A.答案A3.對于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f(x),若滿足1-xf(x)0,則必有().A.f(0)+f(2)2f(1)B.f(0)+f(2)2f(1)C.f(0)+f(2)2f(1)D.f(0)+f(2)2f(1)解析當(dāng)x1時,f(x)1時,f(x)0,此時函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.即當(dāng)x=1時,函數(shù)f(x)取得極小值同時也取得最小值f(1).所以f(0)f(1),f(2)f(1),則f(0)+f(2)2f(1).故選A.答案A4.若函數(shù)y=-13x3+ax有三個單調(diào)區(qū)間,則a的取值范圍是.解析y=-x2+a,若y=-13x3+ax有三個單調(diào)區(qū)間,則方程-x2+a=0應(yīng)有兩個不等實(shí)根,=4a0,故a的取值范圍是(0,+).答案(0,+)能力1會應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義【例1】(1)已知曲線f(x)=ax2x+1在點(diǎn)(1,f(1)處切線的斜率為1,則實(shí)數(shù)a的值為().A.23B.-32C.-34D.43(2)曲線f(x)=x2+ln x在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程為.解析(1)對函數(shù)f(x)=ax2x+1求導(dǎo),可得f(x)=2ax(x+1)-ax2(x+1)2.因?yàn)榍€f(x)=ax2x+1在點(diǎn)(1,f(1)處切線的斜率為1,所以f(1)=3a4=1,得a=43,故選D.(2)因?yàn)閒(x)=2x+1x,所以曲線f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線斜率為f(1)=2+11=3.因?yàn)閒(1)=1,所以切線方程為y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.答案(1)D(2)3x-y-2=01.求曲線y=f(x)的切線方程的三種類型及方法:(1)已知切點(diǎn)P(x0,y0),求y=f(x)過點(diǎn)P的切線方程:先求出切線的斜率f(x0),由點(diǎn)斜式寫出方程.(2)已知切線的斜率k,求y=f(x)的切線方程:設(shè)切點(diǎn)P(x0,y0),通過方程k=f(x0)解得x0,再由點(diǎn)斜式寫出方程.(3)已知切線上一點(diǎn)(非切點(diǎn)),求y=f(x)的切線方程:設(shè)切點(diǎn)P(x0,y0),利用導(dǎo)數(shù)求得切線斜率f(x0),然后由斜率公式求得切線斜率,列方程(組)解得x0,再由點(diǎn)斜式或兩點(diǎn)式寫出方程.2.利用切線(或方程)與其他曲線的關(guān)系求參數(shù):已知過某點(diǎn)的切線方程(斜率)或其與某直線平行、垂直,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切點(diǎn)坐標(biāo)、切線斜率之間的關(guān)系構(gòu)建方程(組)或函數(shù)求解.1.設(shè)曲線y=ex在點(diǎn)(0,1)處的切線與曲線y=1x(x0)上點(diǎn)P處的切線垂直,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.解析函數(shù)ye=x的導(dǎo)函數(shù)為ye=x,曲線y=ex在點(diǎn)(0,1)處的切線的斜率k1=e0=1.設(shè)P的坐標(biāo)為(x0,y0)(x00),函數(shù)y=1x的導(dǎo)函數(shù)為y=-1x2,曲線y=1x(x0)在點(diǎn)P處的切線的斜率k2=-1x02,由題意知k1k2=-1,即1-1x02=-1,解得x02=1,又x00,x0=1.點(diǎn)P在曲線y=1x(x0)上,y0=1,故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,1).答案(1,1)2.已知曲線y=x+lnx在點(diǎn)(1,1)處的切線與曲線y=ax2+(a+2)x+1相切,則a=.解析(法一)令f(x)=x+lnx,求導(dǎo)得f(x)=1+1x,則f(1)=2.又f(1)=1,曲線y=x+lnx在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為y-1=2(x-1),即y=2x-1.設(shè)直線y=2x-1與曲線y=ax2+(a+2)x+1相切的切點(diǎn)為P(x0,y0),則當(dāng)x=x0時,y=2ax0+a+2=2,得a(2x0+1)=0,a=0或x0=-12.又ax02+(a+2)x0+1=2x0-1,即ax02+ax0+2=0,當(dāng)a=0時,顯然不滿足此方程,x0=-12,此時a=8.(法二)求出曲線y=x+lnx在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為y=2x-1.由y=2x-1,y=ax2+(a+2)x+1,得ax2+ax+2=0,=a2-8a=0,a=8或a=0(顯然不成立).答案8能力2會利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性問題【例2】(1)函數(shù)f(x)=x2ln x的單調(diào)遞減區(qū)間為().A.(0,e)B.ee,+C.-,eeD.0,ee(2)若函數(shù)f(x)=lnx+ax2-2在12,2內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是().A.(-,-2B.-18,+C.-2,-18D.(-2,+)解析(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+),由題意得f(x)=2xln x+x=x(2ln x+1),令f(x)0,解得0xg12=-2,所以a-2.故選D.答案(1)D(2)D利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性:(1)已知函數(shù)解析式求單調(diào)區(qū)間,實(shí)質(zhì)上是求f(x)0,f(x)0).函數(shù)f(x)在1,+)上為增函數(shù),f(x)=ax-1ax20對任意的x1,+)恒成立,ax-10對任意的x1,+)恒成立,即a1x對任意的x1,+)恒成立,a1.答案1,+)2.已知函數(shù)f(x)=12x2-2aln x+(a-2)x.(1)當(dāng)a=-1時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.(2)是否存在實(shí)數(shù)a,使函數(shù)g(x)=f(x)-ax在(0,+)上單調(diào)遞增?若存在,求出a的取值范圍;若不存在,說明理由.解析(1)當(dāng)a=-1時,f(x)=12x2+2ln x-3x,則f(x)=x+2x-3=x2-3x+2x=(x-1)(x-2)x.當(dāng)0x2時,f(x)0,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)1x2時,f(x)0時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)當(dāng)a0,a0,x0,2ax+1x0,x-10,得x1,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+).(2)由(1)可得f(x)=2ax-1-2a(x-1)x.已知a1,即-12a0時,x12,1,f(x)0,因此f(x)在12,1上是減函數(shù),f(x)在12,1上的最小值為f(1)=1-a.當(dāng)12-12a1,即-1a-12時,若x12,-12a,則f(x)0;若x-12a,1,則f(x)0.因此f(x)在12,-12a上是減函數(shù),在-12a,1上是增函數(shù),f(x)的最小值為f-12a=1-14a+ln(-2a).當(dāng)-12a12,即a0,因此f(x)在12,1上是增函數(shù),f(x)的最小值為f12=12-34a+ln 2.綜上,函數(shù)f(x)在12,1上的最小值為f(x)min=12-34a+ln2,a-1,1-14a+ln(-2a),-1a-12,1-a,-12a0,均有x(2ln a-lnx)a恒成立,求正數(shù)a的取值范圍.解析(1)f(x)=1x-ax2=x-ax2,x(0,+).若a0,則f(x)0,f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增,無極值.若a0,當(dāng)x(0,a)時,f(x)0,f(x)在(a,+)上單調(diào)遞增.故f(x)在(0,+)有極小值,無極大值,f(x)的極小值為f(a)=lna+1.(2)若對任意x0,均有x(2ln a-lnx)a恒成立,則對任意x0,均有2ln aax+lnx恒成立,由(1)可知f(x)的最小值為lna+1,故問題轉(zhuǎn)化為2ln alna+1,即lna1,解得0ae,故正數(shù)a的取值范圍是(0,e.一、選擇題1.曲線f(x)=2x-ex在點(diǎn)(0,f(0)處的切線方程是().A.x+y+1=0B.x-y+1=0C.x+y-1=0D.x-y-1=0解析由題意得f(x)=2e-x,f(0)=1,f(0)=-1,故切線方程為x-y-1=0.故選D.答案D2.已知函數(shù)f(x)=x+sinx,若a=f(3),b=f(2),c=f(log26),則a,b,c的大小關(guān)系是().A.abcB.cbaC.bacD.bca解析因?yàn)閒(x)=1+cos x0,所以函數(shù)f(x)為定義域上的增函數(shù),而2log263,所以bca.故選D.答案D3.函數(shù)f(x)=3x2+ln x-2x的極值點(diǎn)的個數(shù)是().A.0B.1C.2D.3解析函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+),且f(x)=6x+1x-2=6x2-2x+1x,令g(x)=6x2-2x+1,因?yàn)榉匠?x2-2x+1=0的判別式=-200恒成立,故f(x)0恒成立,即f(x)在定義域上單調(diào)遞增,無極值點(diǎn).故選A.答案A4.如圖,可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)P(x0,f(x0)處的切線為l:y=g(x),設(shè)h(x)=f(x)-g(x),則下列說法正確的是().A.h(x0)=0,x=x0是h(x)的極大值點(diǎn)B.h(x0)=0,x=x0是h(x)的極小值點(diǎn)C.h(x0)=0,x=x0不是h(x)的極值點(diǎn)D.h(x0)0解析由題設(shè)有g(shù)(x)=f(x0)(x-x0)+f(x0),故h(x)=f(x)-f(x0)(x-x0)-f(x0),所以h(x)=f(x)-f(x0).因?yàn)閔(x0)=f(x0)-f(x0)=0,又當(dāng)xx0時,有h(x)x0時,有h(x)0,所以x=x0是h(x)的極小值點(diǎn),故選B.答案B5.若函數(shù)f(x)=2x3-3mx2+6x在區(qū)間(2,+)上為增函數(shù),則實(shí)數(shù)m的取值范圍為().A.(-,2)B.(-,2C.-,52D.-,52解析f(x)=6x2-6mx+6,當(dāng)x(2,+)時,f(x)0恒成立,即x2-mx+10恒成立,mx+1x恒成立.令g(x)=x+1x,g(x)=1-1x2,當(dāng)x2時,g(x)0,即g(x)在(2,+)上單調(diào)遞增,m2+12=52.答案D6.設(shè)函數(shù)f(x)=lnx+ax2-32x,若x=1是函數(shù)f(x)是極大值點(diǎn),則函數(shù)f(x)的極小值為().A.ln 2-2B.ln 2-1C.ln 3-2D.ln 3-1解析f(x)=lnx+ax2-32x,f(x)=1x+2ax-32.x=1是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn),f(1)=1+2a-32=0,a=14,f(x)=lnx+14x2-32x.f(x)=1x+x2-32=x2-3x+22x=(x-2)(x-1)2x(x0),當(dāng)x(0,1)時,f(x)0;當(dāng)x(1,2)時,f(x)0.當(dāng)x=2時,f(x)取極小值,極小值為ln 2-2.故選A.答案A7.已知y=f(x)是奇函數(shù),當(dāng)x(0,2)時,f(x)=lnx-axa12,當(dāng)x(-2,0)時,f(x)的最小值為1,則a的值等于().A.14B.13C.12D.1解析由f(x)是奇函數(shù),當(dāng)x(-2,0)時,f(x)的最小值為1知,當(dāng)x(0,2)時,f(x)的最大值為-1.令f(x)=1x-a=0,得x=1a.當(dāng)0x0;當(dāng)x1a時,f(x)0,bR),若對任意x0,f(x)f(1),則().A.lna-2bD.lna-2b解析f(x)=2ax+b-1x,由題意可知f(1)=0,即2a+b=1,由選項(xiàng)可知,只需比較lna+2b與0的大小,而b=1-2a,所以只需判斷l(xiāng)na+2-4a的符號.構(gòu)造一個新函數(shù)g(x)=2-4x+ln x,則g(x)=1x-4,令g(x)=0,得x=14.所以當(dāng)0x14時,g(x)為減函數(shù),所以對任意x0有g(shù)(x)g14=1-ln 40,所以有g(shù)(a)=2-4a+ln a=2b+ln a0ln a-2b.答案A二、填空題9.已知函數(shù)f(x)=f4cos x+sinx,則f4的值為.解析因?yàn)閒(x)=-f4sin x+cosx,所以f4=-f4sin 4+cos 4,所以f4=2-1,故f4=f4cos 4+sin 4=1.答案110.直線y=kx+1與曲線y=x3+bx2+c相切于點(diǎn)M(1,2),則b的值為.解析由直線y=kx+1與曲線y=x3+bx2+c相切于點(diǎn)M(1,2),知點(diǎn)M(1,2)滿足直線y=kx+1的方程,即2=k+1,解得k=1,即y=x+1.由y=x3+bx2+c,知y=3x2+2bx,則y|x=1=3+2b=1,解得b=-1.答案-111.若函數(shù)f(x)=x3+ax-2在(1,+)上是增函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.解析由題意知f(x)=3x2+a,已知f(x)在(1,+)上是增函數(shù),則f(x)=3x2+a0對任意x(1,+)恒成立,即a-3x2對任意x(1,+)恒成立,a-3.答案-3,+)12.若函數(shù)f(x)=-12x2+4x-3ln x在t,t+1上不單調(diào),則t的取值范圍是.解析f(x)=-x+4-3x=-x2+4x-3x=-(x-1)(x-3)x,由f(x)=0及判斷可知函數(shù)f(x)的兩個極值點(diǎn)為1,3,則只要這兩個極值點(diǎn)有一個在(t,t+1)內(nèi),函數(shù)f(x)在t,t+1上就不單調(diào),所以t1t+1或t3t+1,解得0t1或2t3.答案(0,1)(2,3)三、解答題13.已知函數(shù)f(x)=a(x+1)lnx-x+1(aR).(1)當(dāng)a=2時,求曲線f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程;(2)當(dāng)a12時,求證:對任意x1,+),f(x)0恒成立.解析(1)由f(x)=2(x+1)lnx-x+1得f(x)=2ln x+2x+1,又切點(diǎn)為(1,0),斜率為f(1)=3,故所求切線方程為y=3(x-1),即3x-y-3=0.(2)當(dāng)a12時,f(x)=a(x+1)lnx-x+1(x1),欲證f(x)0,注意到f(1)=0,只要f(x)f(1)即可,f(x)=alnx+1x+1-1(x1),令g(x)=lnx+1x+1(x1),則g(x)=1x-1x2=x-1x20(x1),所以g(x)在1,+)上單調(diào)遞增,所以g(x)g(1)=2,所以f(x)2a-10a12,所以f(x)在1,+)上單調(diào)遞增,于是有f(x)f(1)=0.綜上,當(dāng)a12時,對任意x1,+),f(x)0恒成立.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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