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第六節(jié) 直接證明與間接證明
最新考綱
1.了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程和特點(diǎn)．2.了解反證法的思考過程和特點(diǎn).
知識梳理
1．直接證明
(1)綜合法
①定義：利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、定理、公理等，經(jīng)過一系列的__推理論證__，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論__成立__，這種證明方法叫做綜合法．
②框圖表示：―→―→―→…―→(P表示已知條件、已有的定義、定理、公理等，Q表示所要證明的結(jié)論)．
(2)分析法
①定義：從要證明的__結(jié)論__出發(fā)，逐步尋求使它成立的__充分條件__，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止，這種證明方法叫做分析法．
②框圖表示：―→―→―→…―→.
2．間接證明
反證法：假設(shè)原命題__不成立__(即在原命題的條件下，結(jié)論不成立)，經(jīng)過正確的推理，最后得出__矛盾__，因此說明假設(shè)錯誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法．
3．利用反證法證題的步驟
(1)反設(shè)：假設(shè)所要證的結(jié)論不成立，而設(shè)結(jié)論的反面(否定命題)成立；(否定結(jié)論)
(2)歸謬：將“反設(shè)”作為條件，由此出發(fā)經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)出矛盾——與假設(shè)矛盾，與已知條件、已知的定義、公理、定理及明顯的事實(shí)矛盾或自相矛盾；(推導(dǎo)矛盾)
(3)立論：因?yàn)橥评碚_，所以產(chǎn)生矛盾的原因在于“反設(shè)”的謬誤．既然原命題結(jié)論的反面不成立，從而肯定了原命題成立．(命題成立)
4.反證法證明中，常見的“結(jié)論詞”與“反設(shè)詞”
原結(jié)論詞
反設(shè)詞
原結(jié)論詞
反設(shè)詞
至少有一個
一個也沒有
對所有x成立
存在某個x不成立
至多有一個
至少有兩個
對任意x不成立
存在某個x成立
至少有n個
至多有n－1個
p或q
﹁p且﹁q
至多有n個
至少有n＋1個
p且q
﹁p或﹁q
典型例題
考點(diǎn)一 分析法的應(yīng)用
【例1】 已知a>0，證明 －≥a＋－2.
規(guī)律方法
（1）當(dāng)已知條件與結(jié)論之間的聯(lián)系不夠明顯、直接，或證明過程中所需用的知識不太明確、具體時，往往采用分析法，特別是含有根號、絕對值的等式或不等式，?？紤]用分析法．
（2）分析法的特點(diǎn)和思路是“執(zhí)果索因”，逐步尋找結(jié)論成立的充分條件，即從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”或本身已經(jīng)成立的定理、性質(zhì)或已經(jīng)證明成立的結(jié)論等，通常采用“欲證—只需證—已知”的格式，在表達(dá)中要注意敘述形式的規(guī)范性．
【變式訓(xùn)練1】已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，A，B，C的對邊分別為a，b，C．
求證：＋＝.
【證明】 要證＋＝，
即證＋＝3，也就是＋＝1，
只需證c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
需證c2＋a2＝ac＋b2，
又△ABC三內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列， 故B＝60，
由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accos 60，
即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立．
于是原等式成立.
考點(diǎn)二 綜合法的應(yīng)用
【例2】 已知函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝a＋bx－x2＋x3，函數(shù)y＝f(x)與函數(shù)y＝g(x)的圖象在交點(diǎn)(0,0)處有公共切線．
(1)求a，b的值；
(2)證明：f(x)≤g(x)．
【解析】 (1)f′(x)＝，g′(x)＝b－x＋x2，
由題意得解得a＝0，b＝1.
(2)證明：令h(x)＝f(x)－g(x)＝ln (x＋1)－x3＋x2－x(x>－1)，
h′(x)＝－x2＋x－1＝，
∵x>－1，∴當(dāng)－1
0；
當(dāng)x>0時，h′(x)<0.
則h(x)在(－1,0)上為增函數(shù)，在(0，＋∞)上為減函數(shù)．
h(x)max＝h(0)＝0，h(x)≤h(0)＝0，即f(x)≤g(x)．
規(guī)律方法 綜合法是“由因?qū)Ч钡淖C明方法，其邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理方法，常與分析法結(jié)合使用，用分析法探路，綜合法書寫，但要注意有關(guān)定理、性質(zhì)、結(jié)論題設(shè)條件的正確運(yùn)用．
【變式訓(xùn)練2】設(shè){an}是首項(xiàng)為a，公差為d的等差數(shù)列(d≠0)，Sn是其前n項(xiàng)的和．記bn＝，n∈N*，其中c為實(shí)數(shù)．若c＝0，且b1，b2，b4成等比數(shù)列，證明：Snk＝n2Sk(k，n∈N*)．
【證明】由題意得，Sn＝na＋d.
由c＝0，得bn＝＝a＋d.
又因?yàn)閎1，b2，b4成等比數(shù)列，所以b＝b1b4，即2＝a，化簡得d2－2ad＝0.
因?yàn)閐≠0，所以d＝2a.
因此，對于所有的m∈N*，有Sm＝m2a.
從而對于所有的k，n∈N*，有Snk＝(nk)2a＝n2k2a＝n2Sk.
考點(diǎn)三 反證法的應(yīng)用
命題角度一 證明否定性命題
【例3】 設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)和．
(1)求證：數(shù)列{Sn}不是等比數(shù)列；
(2)數(shù)列{Sn}是等差數(shù)列嗎？為什么？
【解析】 (1)證明：若{Sn}是等比數(shù)列，則S＝S1S3，即a(1＋q)2＝a1a1(1＋q＋q2)，∵a1≠0，∴(1＋q)2＝1＋q＋q2，解得q＝0，這與q≠0相矛盾，故數(shù)列{Sn}不是等比數(shù)列．
(2)當(dāng)q＝1時，{Sn}是等差數(shù)列．
當(dāng)q≠1時，{Sn}不是等差數(shù)列．假設(shè)q≠1時，S1，S2，S3成等差數(shù)列，即2S2＝S1＋S3,2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)．
由于a1≠0，∴2(1＋q)＝2＋q＋q2，即q＝q2，∵q≠1，∴q＝0，這與q≠0相矛盾．
綜上可知，當(dāng)q＝1時，{Sn}是等差數(shù)列；當(dāng)q≠1時，{Sn}不是等差數(shù)列.
命題角度二 證明“至多”，“至少”，“唯一”性命題
【例4】 已知四棱錐S－ABCD中，底面是邊長為1的正方形，又SB＝SD＝，SA＝1.
(1)求證：SA⊥平面ABCD；
(2)在棱SC上是否存在異于S，C的點(diǎn)F，使得BF∥平面SAD？若存在，確定F點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由．
【解析】 (1)證明：由已知得SA2＋AD2＝SD2，
∴SA⊥AD.同理SA⊥AB.
又AB∩AD＝A，∴SA⊥平面ABCD.
(2)假設(shè)在棱SC上存在異于S，C的點(diǎn)F，使得BF∥平面SAD.
∵BC∥AD，BC?平面SAD.
∴BC∥平面SAD.而BC∩BF＝B，
∴平面FBC∥平面SAD.這與平面SBC和平面SAD有公共點(diǎn)S矛盾，∴假設(shè)不成立．
故不存在這樣的點(diǎn)F，使得BF∥平面SAD.
規(guī)律方法 反證法的適用范圍及證明的關(guān)鍵
(1)適用范圍：當(dāng)一個命題的結(jié)論是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出現(xiàn)時，宜用反證法來證．
(2)關(guān)鍵：在正確的推理下得出矛盾，矛盾可以是與已知條件矛盾，與假設(shè)矛盾，與定義、公理、定理矛盾，與事實(shí)矛盾等，推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的．
【變式訓(xùn)練4】設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列．
(1)推導(dǎo){an}的前n項(xiàng)和公式；
(2)設(shè)q≠1，證明數(shù)列{an＋1}不是等比數(shù)列．
【解析】 (1)設(shè){an}的前n項(xiàng)和為Sn，
當(dāng)q＝1時，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；
當(dāng)q≠1時，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①
qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②
①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn，
∴Sn＝，∴Sn＝
課堂總結(jié)
1．分析法和綜合法各有優(yōu)缺點(diǎn)．分析法思考起來比較自然，容易尋找到解題的思路和方法，缺點(diǎn)是思路逆行，敘述較繁；綜合法從條件推出結(jié)論，較簡捷地解決問題，但不便于思考．實(shí)際證題時常常兩法兼用，先用分析法探索證明途徑，然后再用綜合法敘述出來．
2．用分析法證明數(shù)學(xué)問題時，要注意書寫格式的規(guī)范性，常常用“要證(欲證)…”“即要證…”“就要證…”等分析到一個明顯成立的結(jié)論．
3．利用反證法證明數(shù)學(xué)問題時，要假設(shè)結(jié)論錯誤，并用假設(shè)命題進(jìn)行推理，沒有用假設(shè)命題推理而推出矛盾結(jié)果，其推理過程是錯誤
課后作業(yè)
1．用反證法證明命題“三角形三個內(nèi)角至少有一個不大于60”時，應(yīng)假設(shè)( )
A．三個內(nèi)角都不大于60
B．三個內(nèi)角都大于60
C．三個內(nèi)角至多有一個大于60
D．三個內(nèi)角至多有兩個大于60
【答案】B
【解析】 “至少有一個不大于60”的反面是“都大于60”．
2．用反證法證明命題：若a＋b＋c為偶數(shù)，則“自然數(shù)a，b，c恰有一個偶數(shù)”時正確反設(shè)為( )
A．自然數(shù)a，b，c都是奇數(shù) B．自然數(shù)a，b，c都是偶數(shù)
C．自然數(shù)a，b，c中至少有兩個偶數(shù) D．自然數(shù)a，b，c中都是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù)
【答案】D.
【解析】 由于“自然數(shù)a，b，c中恰有一個偶數(shù)”的否定是“自然數(shù)a，b，c都是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù)”，故選D．
3．用反證法證明命題：“已知a，b∈N，若ab可被5整除，則a，b中至少有一個能被5整除”時，反設(shè)正確的是( )
A．a(chǎn)，b都不能被5整除 B．a(chǎn)，b都能被5整除
C．a(chǎn)，b中有一個不能被5整除 D．a(chǎn)，b中有一個能被5整除
【答案】A.
【解析】對原命題的結(jié)論的否定敘述是：a，b都不能被5整除．
4.設(shè)x，y，z都是正實(shí)數(shù)，a＝x＋，b＝y(tǒng)＋，c＝z＋，則a，b，c三個數(shù)( )
A．至少有一個不大于2 B．都小于2
C．至少有一個不小于2 D．都大于2
【答案】 C
【解析】 若a，b，c都小于2，則a＋b＋c＜6，?、?
而a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥6，?、?
顯然①②矛盾，所以C正確．
5．若 P＝＋，Q＝＋(a≥0)，則 P，Q的大小關(guān)系是( )
A．P>Q B．P＝Q
C．Pcn＋1.
【解析】由題意知，an＝，bn＝n，∴cn＝－n＝.顯然，cn隨著n的增大而減小，∴cn>cn＋1.
8.設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且a＋b＋c＝1.
證明：(1)ab＋bc＋ac≤；(2)＋＋≥1； （3）＋＋≤.
【證明】 (1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，
得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，
由題設(shè)得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.
所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.
(2)因?yàn)椋玝≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，
故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c.
所以＋＋≥1.
（3）欲證＋＋≤，
則只需證(＋＋)2≤3，
即證a＋b＋c＋2(＋＋)≤3，
即證＋＋≤1.
又＋＋≤＋＋＝1，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝時取“＝”，
∴原不等式＋＋≤成立．
9.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn；
(2)設(shè)bn＝(n∈N*)，求證：數(shù)列中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列．
【解析】(1)由已知得
∴d＝2.故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)．
10.已知f(x)＝x2＋ax＋b.
(1)求f(1)＋f(3)－2f(2)．
(2)求證：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一個不小于.
【解析】 (1)因?yàn)閒(1)＝a＋b＋1，f(2)＝2a＋b＋4，f(3)＝3a＋b＋9，所以f(1)＋f(3)－2f(2)＝2.
(2)證明：假設(shè)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于，
則－
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專題7.6
直接證明與間接證明導(dǎo)學(xué)案
2019
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