2018-2019高中數(shù)學 第三講 柯西不等式與排序不等式 3.2 一般形式的柯西不等式學案 新人教A版選修4-5.docx
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3.2 一般形式的柯西不等式 預習案 一、預習目標及范圍 1.掌握三維形式和多維形式的柯西不等式. 2.會利用一般形式的柯西不等式解決簡單問題. 二、預習要點 教材整理1 三維形式的柯西不等式 設a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R,則(a+a+a)(b+b+b)≥ .當且僅當 或存在一個數(shù)k,使得ai=kbi(i=1,2,3)時,等號成立.我們把該不等式稱為三維形式的柯西不等式. 教材整理2 一般形式的柯西不等式 設a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是實數(shù),則 (a+a+…+a)(b+b+…+b)≥ .當且僅當bi=0(i=1,2,…,n)或存在一個數(shù)k,使得ai= (i=1,2,…,n)時,等號成立. 三、預習檢測 1.已知x,y,z∈R+且x+y+z=1,則x2+y2+z2的最小值是( ) A.1 B. C. D.2 2.已知a+a+…+a=1,x+x+…+x=1,則a1x1+a2x2+…+anxn的最大值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.設a,b,c為正數(shù),則(a+b+c)的最小值為________. 探究案 一、合作探究 題型一、利用柯西不等式求最值 例1 已知a,b,c∈(0,+∞),++=2,求a+2b+3c的最小值及取得最小值時a,b,c的值. 【精彩點撥】 由于++=2,可考慮把已知條件與待求式子結合起來,利用柯西不等式求解. [再練一題] 1.已知x+4y+9z=1,求x2+y2+z2的最小值. 題型二、運用柯西不等式求參數(shù)的取值范圍 例2已知正數(shù)x,y,z滿足x+y+z=xyz,且不等式++≤λ恒成立,求λ的取值范圍. 【精彩點撥】 “恒成立”問題需求++的最大值,設法應用柯西不等式求最值. [再練一題] 2.已知實數(shù)a,b,c,d滿足a+b+c+d=3,a2+2b2+3c2+6d2=5,試求a的取值范圍. 題型三、利用柯西不等式證明不等式 例3 已知a,b,c∈R+,求證:++≥9. 【精彩點撥】 對應三維形式的柯西不等式,a1=,a2=,a3=,b1=,b2=,b3=,而a1b1=a2b2=a3b3=1,因而得證. [再練一題] 3.已知函數(shù)f(x)=m-|x-2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集為[-1,1]. (1)求m的值; (2)若a,b,c∈R+,且++=m,求證:a+2b+3c≥9. 二、隨堂檢測 1.設a=(-2,1,2),|b|=6,則ab的最小值為( ) A.18 B.6 C.-18 D.122.若a+a+…+a=1,b+b+…+b=4,則a1b1+a2b2+…+anbn的取值范圍是( ) A.(-∞,2) B.[-2,2] C.(-∞,2] D.[-1,1] 3.設a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,則 的最小值為________. 參考答案 預習檢測: 1.【解析】 根據(jù)柯西不等式,x2+y2+z2=(12+12+12)(x2+y2+z2)≥(1x+1y+1z)2=(x+y+z)2=. 【答案】 B 2.【解析】 (a1x1+a2x2+…+anxn)2≤(a+a+…+a)(x+x+…+x)=11=1,當且僅當==…==1時取等號, ∴a1x1+a2x2+…+anxn的最大值是1. 【答案】 A 3.【解析】 由a,b,c為正數(shù), ∴(a+b+c) =[()2+()2+()2] ≥2=121, 當且僅當===k(k>0)時等號成立. 故(a+b+c)的最小值是121. 【答案】 121 隨堂檢測: 1.【解析】 |ab|≤|a||b|, ∴|ab|≤18. ∴-18≤ab≤18,當a,b反向時,ab最小,最小值為-18. 【答案】 C 2.【解析】 ∵(a+a+…+a)(b+b+…+b)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2, ∴(a1b1+a2b2+…+anbn)2≤4, ∴|a1b1+a2b2+…+anbn|≤2, 即-2≤a1b1+a2b2+…+anbn≤2, 當且僅當ai=bi(i=1,2,…,n)時,右邊等號成立; 當且僅當ai=-bi(i=1,2,…,n)時,左邊等號成立,故選B. 【答案】 B 3.【解析】 根據(jù)柯西不等式(ma+nb)2≤(a2+b2)(m2+n2),得25≤5(m2+n2),m2+n2≥5,的最小值為. 【答案】- 配套講稿:
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