2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一講 相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì) 四 直角三角形的射影定理學(xué)案 新人教A版選修4-1.docx
《2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一講 相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì) 四 直角三角形的射影定理學(xué)案 新人教A版選修4-1.docx》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一講 相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì) 四 直角三角形的射影定理學(xué)案 新人教A版選修4-1.docx(11頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
四 直角三角形的射影定理 [學(xué)習(xí)目標(biāo)] 1.通過(guò)實(shí)踐,結(jié)合生活中的實(shí)例,理解點(diǎn)在直線上的正射影,線段在直線上的正射影的概念. 2.理解射影定理,能應(yīng)用定理解決相關(guān)的幾何問(wèn)題. [知識(shí)鏈接] 已知:如圖,∠ACB=90,CD⊥AB于D. (1)圖中有幾條線段? (2)圖中有幾對(duì)相似三角形?可寫(xiě)出幾組比例式? (3)有幾個(gè)帶有比例中項(xiàng)的比例式?由上可得到哪些等積式? 提示 (1)6條,分別記為AB,AC,BC,CD,AD,BD. (2)由圖中△ACD∽△CBD∽△ABC,可分別寫(xiě)出三組比例式:==;==;==. (3)只有三個(gè)比例中項(xiàng)的表達(dá)式: =,=,=. 可得到等積式:CD2=ADBD,BC2=BDBA,AC2=ADAB. [預(yù)習(xí)導(dǎo)引] 1.射影 從一點(diǎn)向一直線所引垂線的垂足,叫作這個(gè)點(diǎn)在這條直線上的正射影.一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)在一條直線上的正射影之間的線段,叫作這條線段在這條直線上的正射影.點(diǎn)和線段的正射影簡(jiǎn)稱為射影. 2.射影定理 文字語(yǔ)言 直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上的射影的比例中項(xiàng);兩條直角邊分別是它們?cè)谛边吷仙溆芭c斜邊的比例中項(xiàng) 符號(hào)語(yǔ)言 在Rt△ABC中,AC⊥CB,CD⊥AB于D,則CD2=BDAD;AC2=ADAB;BC2=BDBA 圖形語(yǔ)言 作用 確定成比例的線段 要點(diǎn)一 射影的概念 例1 如圖所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90, ∠BCD=60,AD=1,AB=2.求: (1)線段AD在直線BC上的射影長(zhǎng); (2)線段DC在直線BC上的射影長(zhǎng); (3)線段BC在直線DC上的射影長(zhǎng). 解 (1)過(guò)D作DD1⊥BC于D1,則BD1就是線段AD在直線BC上的射影,如圖所示, ∵四邊形ABD1D為矩形,∴BD1=AD=1, ∴線段AD在直線BC上的射影長(zhǎng)為1. (2)由(1)的作圖知,D1C即為線段DC在直線BC上的射影.∵DD1=AB=2,∠DCB=60, ∴D1C===. ∴線段DC在直線BC上的射影長(zhǎng)為. (3)過(guò)B作BB1⊥DC于B1,則B1C就是線段BC在直線DC上的射影,如圖所示. ∵BC=BD1+D1C=1+, ∴B1C=BCcos 60==+. ∴線段BC在直線DC上的射影長(zhǎng)為+. 規(guī)律方法 (1)射影實(shí)質(zhì)上就是平行投影. (2)當(dāng)線段AB所在直線與直線l平行時(shí),設(shè)其在l上的射影為A1B1,則有AB=A1B1,如圖(1)所示 ;當(dāng)線段AB所在直線與直線l不平行且不垂直時(shí),設(shè)其在l上的射影為A1B1,則有AB>A1B1,如圖(2)所示;當(dāng)線段AB與直線l垂直時(shí),線段AB在l上的射影是一個(gè)點(diǎn)A1,如圖(3)所示. 跟蹤演練1 如圖所示,AD⊥BC,EF⊥BC,指出點(diǎn)A,B,C,D,E,F(xiàn),G和線段AB,AC,AF,F(xiàn)G在直線BC上的射影. 解 由AD⊥BC,EF⊥BC知:A在BC上的射影是D;B在BC上的射影是B;C在BC上的射影是C;E,F(xiàn),G在BC上的射影都是E;AB在BC上的射影是DB;AC在BC上的射影是DC;AF在BC上的射影是DE,F(xiàn)G在BC上的射影是點(diǎn)E. 要點(diǎn)二 與射影定理有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題 例2 如圖,D為△ABC中BC邊上的一點(diǎn),∠CAD=∠B,若AD=6,AB=10,BD=8,求CD的長(zhǎng). 解 在△ABD中,AD=6,AB=10,BD=8,滿足AB2=AD2+BD2,∴∠ADB=90,即AD⊥BC.又∠CAD=∠B,且∠C+∠CAD=90,∴∠C+∠B=90. ∴∠BAC=90.∴在Rt△BAC中,AD⊥BC,由射影定理可知,AD2=BDCD, ∴62=8CD,∴CD=. 規(guī)律方法 (1)已知三角形是直角三角形,或者有直角、垂線等,這是在直角三角形中應(yīng)用射影定理必需的條件. (2)運(yùn)用射影定理進(jìn)行相關(guān)計(jì)算時(shí),常常還要與直角三角形的其他性質(zhì)相結(jié)合,如三角函數(shù)、面積公式、勾股定理等. 跟蹤演練2 如圖所示,△ABC中,AB=m,∠A∶∠B∶∠ACB=1∶2∶3,CD⊥AB于D.求BD,CD的長(zhǎng). 解 設(shè)∠A=x,∠B=2x,∠ACB=3x,由∠A+∠B+∠ACB=180,得x+2x+3x=180,∴x=30. ∴∠A=30,∠B=60,∠ACB=90. ∵AB=m,∴BC=m. 又∵CD⊥AB,∴BC2=BDAB, 即=BDm,∴BD=m. ∴AD=AB-BD=m-m=m. 由CD2=ADBD=mm=m2,得CD=m. ∴BD=m,CD=m. 要點(diǎn)三 與射影定理有關(guān)的證明問(wèn)題 例3 如圖,已知在矩形ABCD中,AB∶BC=5∶6,點(diǎn)E在BC上,點(diǎn)F在CD上,EC=BC,F(xiàn)C=CD,F(xiàn)G⊥AE于點(diǎn)G.求證:AG=4GE. 證明 ∵AB∶BC=5∶6, ∴設(shè)AB=5k,BC=6k(k>0). ∴在矩形ABCD中,有CD=AB=5k,BC=AD=6k,∠B=∠C=∠D=90. ∵EC=BC, ∴EC=6k=k.∴BE=5k. ∵FC=CD,∴FC=5k=3k. ∴DF=CD-FC=2k. 在Rt△ADF中,由勾股定理得AF2=AD2+DF2=36k2+4k2=40k2, 同理可得AE2=50k2,EF2=10k2. ∴AF2+EF2=40k2+10k2=50k2=AE2. ∴△AEF是直角三角形. ∵FG⊥AE,由直角三角形的射影定理, 得EF2=GEAE. ∴AE=5k,∴GE===k. ∴4GE=4k. 又∵AG=AE-GE=5k-k=4k, ∴AG=4GE. 規(guī)律方法?、倥袛鄡删€段的數(shù)量關(guān)系時(shí),可設(shè)變量使之能表示線段,②在直角三角形中,一般考慮利用射影定理或勾股定理來(lái)做. 跟蹤演練3 如圖所示,BD,CE是△ABC的兩條高,過(guò)點(diǎn)D的直線分別交BC和BA的延長(zhǎng)線于G,H兩點(diǎn),交CE于F,且∠H=∠BCF.求證:GD2=GFGH. 證明 ∵∠H=∠BCE,∠HBG是△BCE與△BHG的公共角, ∴△BCE∽△BHG. 又CE⊥BH,∴∠BEC=∠BGH=90, 即HG⊥BC.又BD⊥AC,在Rt△BDC中, DG是斜邊BC上的高, 由射影定理得GD2=BGCG.① 又∠FGC=∠BGH=90,∠H=∠FCG, ∴△FCG∽△BHG,∴=. 即BGCG=FGGH.② 由①②可得GD2=GFGH. 1.(1)點(diǎn)在直線上的射影就是由點(diǎn)向直線引垂線,垂足即為射影; (2)線段在直線上的射影就是由線段的兩端點(diǎn)向直線引垂線,兩垂足間的線段就是所求射影. 2.應(yīng)用射影定理有兩個(gè)條件:一是直角三角形;二是斜邊上的高.應(yīng)用射影定理可求直角三角形的邊長(zhǎng)、面積等有關(guān)量,還可研究相似問(wèn)題、比例式等問(wèn)題. 3.直角三角形射影定理的逆定理 如果一個(gè)三角形一邊上的高是另兩邊在這條邊上的射影的比例中項(xiàng),那么這個(gè)三角形是直角三角形. 1.在直角三角形ABC中,斜邊AB=5 cm,BC=2 cm,D為AC上一點(diǎn),DE⊥AB于點(diǎn)E,且AD=3.2 cm,則DE等于( ) A.1.24 cm B.1.26 cm C.1.28 cm D.1.3 cm 解析 由已知△ADE∽△ABC, ∴=,∴DE==1.28. 答案 C 2.如圖所示,在Rt△ABC中,CD是斜邊AB上的高,在圖中的六條線段中,你認(rèn)為只要知道幾條線段的長(zhǎng),就可以求出其他線段的長(zhǎng)( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 圖中所有三角形都是直角三角形,由勾股定理,射影定理,可知只需知道兩條線段的長(zhǎng),就可以求出其他線段的長(zhǎng). 答案 B 3.如圖所示,在矩形ABCD中,DE⊥AC于E,∠ADE=∠CDE,則∠EDB=________. 解析 由已知△ADE∽△DBA, ∴∠ADE=∠ABD=∠BDC, 且∠ADE=∠CDE, ∴∠EDB=∠ADC=45. 答案 45 4.已知線段a,b(a- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
- 2.下載的文檔,不會(huì)出現(xiàn)我們的網(wǎng)址水印。
- 3、該文檔所得收入(下載+內(nèi)容+預(yù)覽)歸上傳者、原創(chuàng)作者;如果您是本文檔原作者,請(qǐng)點(diǎn)此認(rèn)領(lǐng)!既往收益都?xì)w您。
下載文檔到電腦,查找使用更方便
9.9 積分
下載 |
- 配套講稿:
如PPT文件的首頁(yè)顯示word圖標(biāo),表示該P(yáng)PT已包含配套word講稿。雙擊word圖標(biāo)可打開(kāi)word文檔。
- 特殊限制:
部分文檔作品中含有的國(guó)旗、國(guó)徽等圖片,僅作為作品整體效果示例展示,禁止商用。設(shè)計(jì)者僅對(duì)作品中獨(dú)創(chuàng)性部分享有著作權(quán)。
- 關(guān) 鍵 詞:
- 2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一講 相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì) 直角三角形的射影定理學(xué)案 新人教A版選修4-1 2018 2019 學(xué)年 高中數(shù)學(xué) 第一 相似 三角形 判定 有關(guān) 性質(zhì) 直角三角形
鏈接地址:http://appdesigncorp.com/p-6311223.html