2018-2019高中數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 4.1 數(shù)學(xué)歸納法學(xué)案 新人教A版選修4-5.docx
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4.1數(shù)學(xué)歸納法 預(yù)習(xí)案 一、預(yù)習(xí)目標(biāo)及范圍 1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理及其使用范圍. 2.會(huì)利用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單問(wèn)題. 二、預(yù)習(xí)要點(diǎn) 教材整理 數(shù)學(xué)歸納法的概念 一般地,當(dāng)要證明一個(gè)命題對(duì)于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時(shí),可以用以下兩個(gè)步驟: (1) 證明當(dāng) 時(shí)命題成立; (2)假設(shè)當(dāng) 時(shí)命題成立,證明 時(shí)命題也成立. 在完成了這兩個(gè)步驟后,就可以斷定命題對(duì)于不小于n0的所有正整數(shù)都成立.這種證明方法稱(chēng)為數(shù)學(xué)歸納法. 三、預(yù)習(xí)檢測(cè) 1.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+a+a2+…+an+1= (a≠1,n∈N*),在驗(yàn)證n=1時(shí),等式左邊的項(xiàng)是( ) A.1 B.1+a C.1+a+a2 D.1+a+a2+a3 2.在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對(duì)角線(xiàn)為n(n-3)條時(shí),第一步檢驗(yàn)n等于( ) A.1 B.2 C.3 D.0 3.已知f(n)=+++…+,則( ) A.f(n)中共有n項(xiàng),當(dāng)n=2時(shí),f(2)=+ B.f(n)中共有n+1項(xiàng),當(dāng)n=2時(shí),f(2)=++ C.f(n)中共有n2-n項(xiàng),當(dāng)n=2時(shí),f(2)=+ D.f(n)中共有n2-n+1項(xiàng),當(dāng)n=2時(shí),f(2)=++ 探究案 一、合作探究 題型一、用數(shù)學(xué)歸納法證明等式 例1 用數(shù)學(xué)歸納法證明: 1-+-+…+-=++…+. 【精彩點(diǎn)撥】 要證等式的左邊共2n項(xiàng),右邊共n項(xiàng),f(k)與f(k+1)相比左邊增二項(xiàng),右邊增一項(xiàng),而且左、右兩邊的首項(xiàng)不同.因此,由“n=k”到“n=k+1”時(shí)要注意項(xiàng)的合并. [再練一題] 1.用數(shù)學(xué)歸納法證明: 12-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1). 題型二、用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問(wèn)題 例2用數(shù)學(xué)歸納法證明:(3n+1)7n-1能被9整除(n∈N+). 【精彩點(diǎn)撥】 先驗(yàn)證n=1時(shí)命題成立,然后再利用歸納假設(shè)證明,關(guān)鍵是找清f(k+1)與f(k)的關(guān)系并設(shè)法配湊. [再練一題]2.求證:n3+(n+1)3+(n+2)3能被9整除. 題型三、證明幾何命題 例3平面內(nèi)有n(n≥2,n∈N+)條直線(xiàn),其中任意兩條不平行,任意三條不過(guò)同一點(diǎn),那么這n條直線(xiàn)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)f(n)是多少?并證明你的結(jié)論. 【精彩點(diǎn)撥】 (1)從特殊入手,求f(2),f(3),f(4),猜想出一般性結(jié)論f(n);(2)利用數(shù)學(xué)歸納法證明. [再練一題] 3.在本例中,探究這n條直線(xiàn)互相分割成線(xiàn)段或射線(xiàn)的條數(shù)是多少?并加以證明. 題型四、數(shù)學(xué)歸納法的概念 例4用數(shù)學(xué)歸納法證明:1+a+a2+…+an+1=(a≠1,n∈N+),在驗(yàn)證n=1成立時(shí),左邊計(jì)算的結(jié)果是( ) A.1 B.1+a C.1+a+a2 D.1+a+a2+a3 【精彩點(diǎn)撥】 注意左端特征,共有n+2項(xiàng),首項(xiàng)為1,最后一項(xiàng)為an+1. [再練一題] 4.當(dāng)f(k)=1-+-+…+-,則f(k+1)=f(k)+________. 二、隨堂檢測(cè) 1.用數(shù)學(xué)歸納法證明:1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)時(shí),在驗(yàn)證n=1成立時(shí),左邊所得的代數(shù)式為( ) A.1 B.1+3 C.1+2+3 D.1+2+3+4 2.某個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題,如果當(dāng)n=k(k∈N+且k≥1)時(shí)命題成立,則一定可推得當(dāng)n=k+1時(shí),該命題也成立.現(xiàn)已知n=5時(shí),該命題不成立,那么應(yīng)有( ) A.當(dāng)n=4時(shí),該命題成立 B.當(dāng)n=6時(shí),該命題成立 C.當(dāng)n=4時(shí),該命題不成立 D.當(dāng)n=6時(shí),該命題不成立 3.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式(n+1)(n+2)…(n+n)=2n13…(2n-1)(n∈N+)時(shí),從“n=k到n=k+1”左端需乘以的代數(shù)式為( ) A.2k+1 B.2(2k+1) C. D. 參考答案 預(yù)習(xí)檢測(cè): 1.答案 C 2.答案 C 解析 凸n邊形邊數(shù)最小時(shí)是三角形, 故第一步檢驗(yàn)n=3. 3.答案 D 隨堂檢測(cè): 1.【解析】 當(dāng)n=1時(shí)左邊所得的代數(shù)式為1+2+3. 【答案】 C 2.【解析】 若n=4時(shí)命題成立,由遞推關(guān)系知n=5時(shí)命題成立,與題中條件矛盾,所以n=4時(shí),該命題不成立. 【答案】 C 3.【解析】 當(dāng)n=k時(shí),等式為(k+1)(k+2)…(k+k)=2k13…(2k-1). 當(dāng)n=k+1時(shí),左邊=[(k+1)+1][(k+1)+2]…[(k+1)+k][(k+1)+(k+1)]=(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2). 比較n=k和n=k+1時(shí)等式的左邊,可知左端需乘以=2(2k+1).故選B. 【答案】 B- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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