2020高考數(shù)學(xué)刷題首選卷 第六章 立體幾何 考點(diǎn)測(cè)試42 空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及三視圖和直觀圖 理（含解析）.docx

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第六章　立體幾何 考點(diǎn)測(cè)試42　空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及三視圖和直觀圖 高考概覽 考綱研讀 1．認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu) 2．能畫出簡(jiǎn)單空間圖形(長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡(jiǎn)易組合)的三視圖，能識(shí)別上述三視圖所表示的立體模型，會(huì)用斜二測(cè)法畫出它們的直觀圖 一、基礎(chǔ)小題 1．三視圖如圖所示的幾何體是(　　) A．三棱錐 B．四棱錐 C．四棱臺(tái) D．三棱臺(tái) 答案　B 解析　由三視圖可作幾何體如圖，可知選B． 2．以下關(guān)于幾何體的三視圖的論述中，正確的是(　　) A．球的三視圖總是三個(gè)全等的圓 B．正方體的三視圖總是三個(gè)全等的正方形 C．水平放置的正四面體的三視圖都是正三角形 D．水平放置的圓臺(tái)的俯視圖是一個(gè)圓 答案　A 解析　畫幾何體的三視圖要考慮視角，但對(duì)于球無(wú)論選擇怎樣的視角，其三視圖總是三個(gè)全等的圓． 3．用一個(gè)平行于水平面的平面去截球，得到如右圖所示的幾何體，則它的俯視圖是(　　) 答案　B 解析　俯視圖中顯然應(yīng)有一個(gè)被遮擋的圓，所以內(nèi)圓是虛線，故選B． 4．用斜二測(cè)畫法畫出的某平面圖形的直觀圖如圖，邊AB平行于y軸，BC，AD平行于x軸．已知四邊形ABCD的面積為2 cm2，則原平面圖形的面積為(　　) A．4 cm2 B．4 cm2 C．8 cm2 D．8 cm2 答案　C 解析　依題意可知∠BAD＝45，則原平面圖形為直角梯形，上下底面的長(zhǎng)與BC，AD相等，高為梯形ABCD的高的2倍，所以原平面圖形的面積為8 cm2． 5．給出下列命題： ①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線； ②有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐； ③直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐； ④棱臺(tái)的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長(zhǎng)一定相等． 其中正確命題的個(gè)數(shù)是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　A 解析?、馘e(cuò)誤，只有這兩點(diǎn)的連線平行于旋轉(zhuǎn)軸時(shí)才是母線；②錯(cuò)誤，因?yàn)椤捌溆喔髅娑际侨切巍辈⒉坏葍r(jià)于“其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形”，如圖1所示；③錯(cuò)誤，當(dāng)以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體不是圓錐，如圖2所示，它是由兩個(gè)同底圓錐組成的幾何體；④錯(cuò)誤，棱臺(tái)的上、下底面是相似且對(duì)應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)棱延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，但是側(cè)棱長(zhǎng)不一定相等． 6．如圖，網(wǎng)格紙的各小格都是正方形，粗實(shí)線畫出的是一個(gè)幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體是(　　) A．三棱錐 B．三棱柱 C．四棱錐 D．四棱柱 答案　B 解析　由三視圖可知該幾何體應(yīng)為橫向放置的三棱柱(如圖所示)．故選B． 7．某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖所示，則該幾何體的俯視圖不可能是(　　) 答案　D 解析　A圖是兩個(gè)圓柱的組合體的俯視圖；B圖是一個(gè)四棱柱與一個(gè)圓柱的組合體的俯視圖；C圖是一個(gè)底面為等腰直角三角形的三棱柱與一個(gè)四棱柱的組合體的俯視圖，采用排除法，故選D． 8．將正方體(如圖a所示)截去兩個(gè)三棱錐，得到圖b所示的幾何體，則該幾何體的側(cè)視圖為(　　) 答案　B 解析　還原正方體后，將D1，D，A三點(diǎn)分別向正方體右側(cè)面作垂線，D1A的射影為C1B，且為實(shí)線，B1C被遮擋應(yīng)為虛線． 9．已知一個(gè)三棱錐的三視圖如圖所示，其中三個(gè)視圖都是直角三角形，則在該三棱錐的四個(gè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　D 解析　由題意知，三棱錐放置在長(zhǎng)方體中如圖所示，利用長(zhǎng)方體模型可知，此三棱錐的四個(gè)面全部是直角三角形．故選D． 10．在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，一個(gè)四面體的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)．給出編號(hào)為①②③④的四個(gè)圖，則該四面體的正視圖和俯視圖分別為(　　) A．①和③ B．③和① C．④和③ D．④和② 答案　D 解析　由題意得，該幾何體的正視圖是一個(gè)直角三角形，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(0，0，2)，(0，2，0)，(0，2，2)，且內(nèi)有一條虛線(一頂點(diǎn)與另一直角邊中點(diǎn)的連線)，故正視圖是④；俯視圖即在底面的射影，是一個(gè)斜三角形，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(0，0，0)，(2，2，0)，(1，2，0)，故俯視圖是②． 11．一個(gè)平面四邊形的斜二測(cè)畫法的直觀圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形，則原平面四邊形的面積等于(　　) A．a(chǎn)2 B．2a2 C．a(chǎn)2 D．a(chǎn)2 答案　B 解析　根據(jù)斜二測(cè)畫法畫平面圖形的直觀圖的規(guī)則，可以得出一個(gè)平面圖形的面積S與它的直觀圖的面積S′之間的關(guān)系是S′＝S，本題中直觀圖的面積為a2，所以原平面四邊形的面積等于＝2a2．故選B． 12．已知一個(gè)正三棱柱的所有棱長(zhǎng)均相等，其側(cè)(左)視圖如圖所示，那么此三棱柱正(主)視圖的面積為________． 答案　2 解析　由正三棱柱三視圖還原直觀圖可得正(主)視圖是一個(gè)矩形，其中一邊的長(zhǎng)是側(cè)(左)視圖中三角形的高，另一邊是棱長(zhǎng)．因?yàn)閭?cè)(左)視圖中三角形的邊長(zhǎng)為2，所以高為，所以正(主)視圖的面積為2． 二、高考小題 13．(2018全國(guó)卷Ⅲ)中國(guó)古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來(lái)，構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是榫頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是(　　) 答案　A 解析　觀察圖形易知卯眼處應(yīng)以虛線畫出，俯視圖為，故選A． 14．(2018全國(guó)卷Ⅰ)某圓柱的高為2，底面周長(zhǎng)為16，其三視圖如右圖．圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，圓柱表面上的點(diǎn)N在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為(　　) A．2 B．2 C．3 D．2 答案　B 解析　根據(jù)圓柱的三視圖以及其本身的特征，可以確定點(diǎn)M和點(diǎn)N分別在以圓柱的高為長(zhǎng)方形的寬、圓柱底面圓周長(zhǎng)的四分之一為長(zhǎng)的長(zhǎng)方形的對(duì)角線的端點(diǎn)處，所以所求的最短路徑的長(zhǎng)度為＝2，故選B． 15．(2018北京高考)某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　C 解析　由三視圖得四棱錐的直觀圖如圖所示．其中SD⊥底面ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，SD＝AD＝CD＝2，AB＝1． 由SD⊥底面ABCD，AD，DC， AB?底面ABCD，得 SD⊥AD，SD⊥DC，SD⊥AB，故△SDC，△SDA為直角三角形， 又∵AB⊥AD，AB⊥SD，AD，SD?平面SAD，AD∩SD＝D，∴AB⊥平面SAD，又SA?平面SAD，∴AB⊥SA，即△SAB也是直角三角形，從而SB＝ ＝3，又BC＝＝． SC＝2，∴BC2＋SC2≠SB2，∴△SBC不是直角三角形，故選C． 16．(2017全國(guó)卷Ⅰ)某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長(zhǎng)為2，俯視圖為等腰直角三角形．該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形，這些梯形的面積之和為(　　) A．10 B．12 C．14 D．16 答案　B 解析　由多面體的三視圖還原直觀圖如圖．該幾何體由上方的三棱錐A－BCE和下方的三棱柱BCE－B1C1A1構(gòu)成，其中面CC1A1A和面BB1A1A是梯形，則梯形的面積之和為2＝12．故選B． 17．(2017北京高考)某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為(　　) A．3 B．2 C．2 D．2 答案　B 解析　根據(jù)三視圖可得該四棱錐的直觀圖(四棱錐P－ABCD)如圖所示，將該四棱錐放入棱長(zhǎng)為2的正方體中．由圖可知該四棱錐的最長(zhǎng)棱為PD，PD＝＝2．故選B． 18．(經(jīng)典江西高考)一幾何體的直觀圖如圖，下列給出的四個(gè)俯視圖中正確的是(　　) 答案　B 解析　由幾何體的直觀圖知，該幾何體最上面的棱橫放且在中間的位置上，因此它的俯視圖應(yīng)排除A，C，D，經(jīng)驗(yàn)證B符合題意，故選B． 三、模擬小題 19．(2018廣東廣州綜合測(cè)試)如圖，某幾何體的正視圖與側(cè)視圖都是邊長(zhǎng)為1的正方形，且體積為，則該幾何體的俯視圖可以是(　　) 答案　C 解析　∵該幾何體的體積為，且由題意知高為1，故底面積為，結(jié)合選項(xiàng)知選C． 20．(2018廣州六校聯(lián)考)已知某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖所示，給出下列5個(gè)圖形： 其中可以作為該幾何體的俯視圖的圖形個(gè)數(shù)為(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 答案　B 解析　由題知可以作為該幾何體俯視圖的圖形為①②③⑤，故選B． 21．(2018長(zhǎng)沙統(tǒng)考)已知某幾何體的正視圖和俯視圖是如圖所示的兩個(gè)全等的矩形，給出下列4個(gè)圖形： 其中可以作為該幾何體的側(cè)視圖的圖形序號(hào)是(　　) A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 答案　D 解析　符合題意的幾何體可以是如下幾何體： 由此可知選D． 22．(2018合肥質(zhì)檢二)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，已知E是棱A1B1的中點(diǎn)，用過(guò)點(diǎn)A，C，E的平面截正方體，則位于截面以下部分的幾何體的側(cè)(左)視圖為(　　) 答案　A 解析　依題意，截后的多面體如圖所示，其中F為棱B1C1的中點(diǎn)，故選A． 23．(2018湖南郴州模擬)一只螞蟻從正方體ABCD－A1B1C1D1的頂點(diǎn)A出發(fā)，經(jīng)正方體的表面，按最短路線爬行到頂點(diǎn)C1的位置，則下列圖形中可以表示正方體及螞蟻?zhàn)疃膛佬新肪€的正視圖的是(　　) A．①② B．①③ C．③④ D．②④ 答案　D 解析　由點(diǎn)A經(jīng)正方體的表面，按最短路線爬行到達(dá)頂點(diǎn)C1的位置，共有6種路線(對(duì)應(yīng)6種不同的展開方式)，若把平面ABB1A1和平面BCC1B1展開到同一個(gè)平面內(nèi)，連接AC1，則AC1是最短路線，且AC1會(huì)經(jīng)過(guò)BB1的中點(diǎn)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的正視圖為②；若把平面ABCD和平面CDD1C1展開到同一個(gè)平面內(nèi)，連接AC1，則AC1是最短路線，且AC1會(huì)經(jīng)過(guò)CD的中點(diǎn)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的正視圖為④．而其他幾種展開方式對(duì)應(yīng)的正視圖在題中沒(méi)有出現(xiàn)．故選D． 24．(2018深圳調(diào)研)如圖，在三棱柱ABC－A′B′C′中，已知側(cè)棱AA′⊥底面A′B′C′，且△A′B′C′是正三角形，若點(diǎn)P是上底面ABC內(nèi)的任意一點(diǎn)，則三棱錐P－A′B′C′的正視圖與側(cè)視圖的面積之比為(注：以垂直于平面ACC′A′的方向?yàn)檎晥D方向)(　　) A． B． C．1 D． 答案　D 解析　過(guò)點(diǎn)P作AC的垂線交AC于P′，則P′為P在平面ACC′A′上的投影．取A′C′的中點(diǎn)B″，則B″為B′在平面ACC′A′上的投影．由此得正視圖與側(cè)視圖如圖所示．設(shè)底面邊長(zhǎng)為a，AA′＝b．則S正＝ab，S側(cè)＝ab＝ab，故＝＝． 一、高考大題 本考點(diǎn)在近三年高考中未涉及此題型． 二、模擬大題 1．(2018沈陽(yáng)質(zhì)檢)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖是腰長(zhǎng)為6的兩個(gè)全等的等腰直角三角形． (1)請(qǐng)畫出該幾何體的直觀圖，并求出它的體積； (2)用多少個(gè)這樣的幾何體可以拼成一個(gè)棱長(zhǎng)為6的正方體ABCD－A1B1C1D1？如何組拼？試證明你的結(jié)論． 解　(1)該幾何體的直觀圖如圖1所示，它是有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，其中底面ABCD是邊長(zhǎng)為6的正方形，高為CC1＝6，故所求體積是V＝626＝72． (2)依題意，正方體的體積是原四棱錐體積的3倍，故用3個(gè)這樣的四棱錐可以拼成一個(gè)棱長(zhǎng)為6的正方體，其拼法如圖2所示． 證明：∵面ABCD、面ABB1A1、面AA1D1D為全等的正方形，于是VC1－ABCD＝VC1－ABB1A1＝VC1－AA1D1D，故所拼圖形成立． 2．(2018河南鄭州一中月考)一個(gè)多面體的三視圖和直觀圖如圖1、圖2所示，其中M，N分別是AB，AC的中點(diǎn)，G是DF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且DG＝λDF(0<λ≤1)． (1)求證：對(duì)任意的λ∈(0，1)，都有GN⊥AC； (2)當(dāng)λ＝時(shí)，求證：AG∥平面FMC． 證明　(1)由三視圖與直觀圖，知該幾何體是一個(gè)直三棱柱，CD⊥DF，AD⊥DF，AD⊥CD，且DF＝AD＝DC．如圖， 連接BD，則AC⊥BD，且N為AC與BD的交點(diǎn)． 由題意知FD⊥平面ABCD， 又G是FD上的一點(diǎn)， ∴GD⊥平面ABCD， 又AC?平面ABCD， ∴GD⊥AC． 由AC⊥BD，GD⊥AC及BD∩GD＝D， 知AC⊥平面GDN， 又GN?平面GDN，∴AC⊥GN． (2)當(dāng)λ＝時(shí)，G是DF的中點(diǎn)，取DC的中點(diǎn)S，連接AS，GS，如圖所示． ∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)， ∴AS∥MC，GS∥FC，且AS∩GS＝S， MC∩FC＝C， ∴平面AGS∥平面FMC，又AG?平面AGS， ∴AG∥平面FMC．