2019年高考數(shù)學(xué)三輪沖刺 專題12 空間幾何體的三視圖、表面積及體積專項講解與訓(xùn)練.doc
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專題12 空間幾何體的三視圖、表面積及體積 空間幾何體的三視圖 一個物體的三視圖的排列規(guī)則 俯視圖放在正(主)視圖的下面,長度與正(主)視圖的長度一樣,側(cè)(左)視圖放在正(主)視圖的右面,高度與正(主)視圖的高度一樣,寬度與俯視圖的寬度一樣.即“長對正、高平齊、寬相等”. (1)某四棱錐的三視圖如圖所示,則該四棱錐的最長棱的長度為( ) A.3 B.2 C.2 D.2 (2) 某多面體的三視圖如圖所示,其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成,正方形的邊長為2,俯視圖為等腰直角三角形.該多面體的各個面中有若干個是梯形,這些梯形的面積之和為( ) A.10 B.12 C.14 D.16 【答案】 (1)B (2)B 【解析】 (1)根據(jù)三視圖可得該四棱錐的直觀圖(四棱錐PABCD)如圖所示,將該四棱錐放入棱長為2的正方體中.由圖可知該四棱錐的最長棱為PD,PD==2.故選B. (2)由多面體的三視圖還原直觀圖如圖所示. 該幾何體由上方的三棱錐ABCE和下方的三棱柱BCEB1C1A1構(gòu)成,其中平面CC1A1A和平面BB1A1A是梯形,則梯形的面積之和為2=12.故選B. 由三視圖還原到直觀圖的三個步驟 (1)根據(jù)俯視圖確定幾何體的底面. (2)根據(jù)正(主)視圖或側(cè)(左)視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征,調(diào)整實線和虛線所對應(yīng)的棱、面的位置. 格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的正視圖(等腰直角三角形)和側(cè)視圖,且該幾何體的體積為,則該幾何體的俯視圖可以是( ) 【答案】D. 【解析】由題意可得該幾何體可能為四棱錐,如圖所示,其高為2,其底面為正方形,面積為22=4,因為該幾何體的體積為42=,滿足條件,所以俯視圖可以為一個直角三角形.選D. 空間幾何體的表面積和體積 考向1 由空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征計算表面積與體積 1.柱體、錐體、臺體的側(cè)面積公式 (1)S柱側(cè)=ch(c為底面周長,h為高); (2)S錐側(cè)=ch′(c為底面周長,h′為斜高); (3)S臺側(cè)=(c+c′)h′(c′,c分別為上下底面的周長,h′為斜高). 2.柱體、錐體、臺體的體積公式 (1)V柱體=Sh(S為底面面積,h為高); (2)V錐體=Sh(S為底面面積,h為高); (3)V臺=(S++S′)h(S,S′分別為上下底面面積,h為高)(不要求記憶). (2017高考全國卷Ⅰ)如圖,在四棱錐PABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90. (1)證明:平面PAB⊥平面PAD; (2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90,且四棱錐PABCD的體積為,求該四棱錐的側(cè)面積. 【解析】 (1)證明:由已知∠BAP=∠CDP=90,得AB⊥AP,CD⊥PD. 由于AB∥CD,故AB⊥PD,從而AB⊥平面PAD. 又AB?平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD. 考向2 由三視圖計算空間幾何體的體積和表面積 根據(jù)幾何體的三視圖求其表面積與體積的三個步驟 第一步:根據(jù)給出的三視圖判斷該幾何體的形狀. 第二步:由三視圖中的數(shù)量標(biāo)示確定該幾何體的各個度量. 第三步:套用相應(yīng)的面積公式與體積公式計算求解. 格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某幾何體的三視圖,該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得,則該幾何體的體積為( ) A.90π B.63π C.42π D.36π (2)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某多面體的三視圖,則該多面體的表面積為( ) A.18+36 B.54+18 C.90 D.81 【答案】 (1)B (2)B 空間幾何體的表面積與體積的求法 (1)據(jù)三視圖求表面積、體積時,解題的關(guān)鍵是對所給三視圖進行分析,得到幾何體的直觀圖; (2)多面體的表面積是各個面的面積之和,求組合體的表面積時要注意重合部分的面積; (3)求規(guī)則幾何體的體積時,只需確定底面與相應(yīng)的高,而求一些不規(guī)則幾何體的體積時,往往需采用分割或補形思想,轉(zhuǎn)化求解. 【對點訓(xùn)練】 1.(2019廣州五校協(xié)作體第一次診斷)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為( ) A.+1 B. C.+1 D.+1 【答案】C. 【解析】由三視圖可知該幾何體是一個圓柱和半個圓錐的組合體,故其表面積為π+1+2π2+π=+1,選C. 2.(2017高考山東卷)由一個長方體和兩個圓柱體構(gòu)成的幾何體的三視圖如圖,則該幾何體的體積為________. 【答案】:2+ 【解析】:由題意知該幾何體是由一個長方體和兩個圓柱體構(gòu)成,其中長方體的體積V1=211=2,兩個圓柱體的體積之和V2=π1212=,所以該幾何體的體積V=V1+V2=2+. 與球有關(guān)的切、接問題 考向1 外接球 (1)已知圓柱的高為1,它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上,則該圓柱的體積為( ) A.π B. C. D. (2)已知三棱錐SABC的所有頂點都在球O的球面上,SC是球O的直徑.若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱錐SABC的體積為9,則球O的表面積為________. 【答案】 (1)B (2)36π 【解析】 (1)球心到圓柱的底面的距離為圓柱高的,球的半徑為1,則圓柱底面圓的半徑r= =,故該圓柱的體積V=π()21=,故選B. (2)設(shè)球O的半徑為R,因為SC為球O的直徑,所以點O為SC的中點,連接AO,OB,因為SA=AC,SB=BC,所以AO⊥SC,BO⊥SC,因為平面SCA⊥平面SCB,平面SCA∩平面SCB=SC,所以AO⊥平面SCB,所以VSABC=VASBC=S△SBCAO=(SCOB)AO,即9=(2RR)R,解得R=3,所以球O的表面積為S=4πR2=4π32=36π. 考向2 內(nèi)切球 (1)在封閉的直三棱柱ABCA1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,則V的最大值是( ) A.4π B. C.6π D. (2)如圖,在圓柱O1O2 內(nèi)有一個球O,該球與圓柱的上、下底面及母線均相切.記圓柱O1O2 的體積為V1 ,球O的體積為V2 ,則的值是________. 格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某四棱錐的三視圖,則該四棱錐的外接球的表面積為( ) A.136π B.34π C.25π D.18π 【答案】B. 【解析】由三視圖知,該四棱錐的底面是邊長為3的正方形、高為4,且有一條側(cè)棱垂直于底面,所以可將該四棱錐補形為長、寬、高分別為3、3、4的長方體,該長方體外接球的半徑R即為該四棱錐外接球的半徑,所以2R=,解得R=,所以該四棱錐外接球的表面積為4πR2=34π,選B. 7.(2018合肥質(zhì)量檢測(二))一個幾何體的三視圖及其尺寸如圖所示,則該幾何體的體積為( ) A. B. C.28 D.22+6 【答案】A. 【解析】由三視圖知,該幾何體為三棱臺,其上、下底面分別是直角邊為2,4的等腰直角三角形,高為2,所以該幾何體的體積V=[22+44+]2=,故選A. 8.一個幾何體的三視圖如圖所示(其中正視圖的弧線為四分之一圓周),則該幾何體的表面積為( ) A.72+6π B.72+4π C.48+6π D.48+4π 【答案】A. 【解析】由三視圖知,該幾何體由一個正方體的部分與一個圓柱的部分組合而成(如圖所示),其表面積為162+(16-4+π)2+4(2+2+π)=72+6π,故選A. 9.(2019廣西三市聯(lián)考)如圖是某幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為( ) A.6 B.9 C.12 D.18 【答案】B. 【解析】該幾何體是一個直三棱柱截去所得,如圖所示,其體積為342=9. 10.(2019貴陽檢測)三棱錐PABC的四個頂點都在體積為的球的表面上,底面ABC所在的小圓面積為16π,則該三棱錐的高的最大值為( ) A.4 B.6 C.8 D.10 【答案】C. 【解析】依題意,設(shè)題中球的球心為O、半徑為R,△ABC的外接圓半徑為r,則=,解得R=5,由πr2=16π,解得r=4,又球心O到平面ABC的距離為=3,因此三棱錐PABC的高的最大值為5+3=8,選C. (2)在平面PCBM內(nèi),過點M作MN⊥BC交BC于點N,連接AN,則CN=PM=1, 又PM∥BC,所以四邊形PMNC為平行四邊形,所以PC∥MN且PC=MN, 由(1)得PC⊥平面ABC,所以MN⊥平面ABC, 在△ACN中,AN2=AC2+CN2-2ACCNcos 120=3,即AN=. 又AM=2,所以在Rt△AMN中,MN=1,所以PC=MN=1. 在平面ABC內(nèi),過點A作AH⊥BC交BC的延長線于點H,則AH⊥平面PMC, 因為AC=CN=1,∠ACB=120,所以∠ANC=30. 所以在Rt△AHN中,AH=AN=, 而S△PMC=11=, 所以VPMAC=VAPMC==. 6.(2019成都第一次診斷性檢測)如圖(1),在正方形ABCD中,點E,F(xiàn)分別是AB,BC的中點,BD與EF交于點H,點G,R分別在線段DH,HB上,且=.將△AED,△CFD,△BEF分別沿DE,DF,EF折起,使點A,B,C重合于點P,如圖(2)所示. (1)求證:GR⊥平面PEF; (2)若正方形ABCD的邊長為4,求三棱錐PDEF的內(nèi)切球的半徑. 【解析】:(1)證明:在正方形ABCD中,∠A,∠ABC,∠C為直角. 所以在三棱錐PDEF中,PE,PF,PD兩兩垂直. 所以PD⊥平面PEF. 因為=,即=,所以在△PDH中,RG∥PD. 所以GR⊥平面PEF. (2)正方形ABCD邊長為4. 由題意知,PE=PF=2,PD=4,EF=2,DF=2. 所以S△PEF=2,S△DPF=S△DPE=4. S△DEF=2=6. 設(shè)三棱錐PDEF內(nèi)切球的半徑為r, 則三棱錐的體積VPDEF=224=(S△PEF+2S△DPF+S△DEF)r,解得r=. 所以三棱錐PDEF的內(nèi)切球的半徑為.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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