2019屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第九單元 解析幾何 第60講 拋物線檢測(cè).doc

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第60講　拋物線 1．設(shè)拋物線y2＝8x上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為4，則點(diǎn)P到該拋物線的焦點(diǎn)的距離是(B) A．4 B．6 C．8 D．12 因?yàn)閥2＝8x的焦點(diǎn)F(2,0)，準(zhǔn)線x＝－2， 由P到y(tǒng)軸的距離為4知，P到準(zhǔn)線的距離為6， 由拋物線的定義知P到焦點(diǎn)F的距離為6. 2．(2013新課標(biāo)卷Ⅰ)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，若|PF|＝4，則△POF的面積為(C) A．2 B．2 C．2 D．4 設(shè)P(x0，y0)，則|PF|＝x0＋＝4， 所以x0＝3，所以y＝4x0＝43＝24， 所以|y0|＝2，因?yàn)镕(，0)， 所以S△POF＝|OF||y0|＝2＝2. 3．如果P1，P2，…，Pn是拋物線C：y2＝4x上的點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)依次為x1，x2，…，xn，F(xiàn)是拋物線C的焦點(diǎn)，若x1＋x2＋…＋xn＝10，則|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝(A) A．n＋10 B．n＋20 C．2n＋10 D．2n＋20 由拋物線的定義可知|PiF|＝xi＋＝xi＋1， 所以|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝(x1＋x2＋…＋xn)＋n＝10＋n. 4．(2016新課標(biāo)卷Ⅱ)設(shè)F為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，曲線y＝(k>0)與C交于點(diǎn)P，PF⊥x軸，則k＝(D) A. B．1 C. D．2 因?yàn)閥2＝4x，所以F(1,0)．又因?yàn)榍€y＝(k>0)與C交于點(diǎn)P，PF⊥x軸，所以P(1,2)．將點(diǎn)P(1,2)的坐標(biāo)代入y＝(k>0)得k＝2.故選D. 5．(2018廣東七校聯(lián)考)過(guò)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A，B兩點(diǎn)，若|AF|＝3，則|BF|＝　　. 設(shè)A，B的橫坐標(biāo)分別為xA，xB， 由拋物線的定義可知|AF|＝xA＋＝xA＋1＝3， 所以xA＝2， 又AB是拋物線的焦點(diǎn)弦，xA，xB滿足xAxB＝＝1， 所以xB＝，所以|BF|＝xB＋＝＋1＝. 6．(2016湖南省六校聯(lián)考)若以雙曲線－＝1(b>0)的左、右焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2和點(diǎn)M(1，)為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形，則y2＝4bx的焦點(diǎn)坐標(biāo)為　(1,0)　. 顯然點(diǎn)M(1，)為直角頂點(diǎn)， 所以|OM|＝＝|F1F2|＝c，所以b＝1. 故拋物線為y2＝4x，其焦點(diǎn)為(1,0)． 7．已知斜率為1的直線l過(guò)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F，且與拋物線交于A，B兩點(diǎn)． (1)求直線l的方程(用p表示)； (2)若設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，求證：|AB|＝x1＋x2＋p； (3)若|AB|＝4，求拋物線方程． (1)因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(，0)， 又因?yàn)橹本€l的斜率為1， 所以直線l的方程為：y＝x－. (2)證明：過(guò)點(diǎn)A，B分別作準(zhǔn)線的垂線AA′，BB′，交準(zhǔn)線于A′，B′， 則由拋物線的定義得： |AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA′|＋|BB′| ＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p. (3)由|AB|＝4，得x1＋x2＋p＝4， 直線y＝x－與拋物線方程聯(lián)立， ?x2－3px＋＝0， 由韋達(dá)定理，得x1＋x2＝3p，代入x1＋x2＋p＝4， 解得p＝1，故拋物線方程為y2＝2x. 8．(2017新課標(biāo)卷Ⅱ)過(guò)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)F，且斜率為的直線交C于點(diǎn)M(M在x軸的上方)，l為C的準(zhǔn)線，點(diǎn)N在l上，且MN⊥l，則M到直線NF的距離為(C) A. B．2 C．2 D．3 拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1.由直線方程的點(diǎn)斜式可得直線MF的方程為y＝(x－1)． 聯(lián)立得方程組解得或 因?yàn)辄c(diǎn)M在x軸的上方，所以M(3,2)． 因?yàn)镸N⊥l，所以N(－1,2)． 所以|NF|＝ ＝4， |MF|＝＝4， |MN|＝ ＝4. 所以△MNF是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形． 所以點(diǎn)M到直線NF的距離為2. 9．已知以F為焦點(diǎn)的拋物線y2＝4x上的兩點(diǎn)A，B滿足＝2，則弦AB的中點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為　　. 設(shè)AB的中點(diǎn)為C，AB的延長(zhǎng)線與準(zhǔn)線相交于D， 設(shè)A，B，C，F(xiàn)在準(zhǔn)線上的投影分別為A′，B′，C′，F(xiàn)′，設(shè)FB＝t，則AF＝2t， 由拋物線的定義，知AA′＝2t，BB′＝t， 所以BB′為△DA′A的中位線，所以BD＝3t， 由△DF′F∽△DC′C，得＝， 所以＝，解得C′C＝. 10．(2016江蘇卷)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l：x－y－2＝0，拋物線C：y2＝2px(p＞0)． (1)若直線l過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)，求拋物線C的方程； (2)已知拋物線C上存在關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)的相異兩點(diǎn)P和Q. ①求證：線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2－p，－p)； ②求p的取值范圍． (1)拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為(，0)， 由點(diǎn)(，0)在直線l：x－y－2＝0上，得－0－2＝0， 即p＝4.所以拋物線C的方程為y2＝8x. (2)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，線段PQ的中點(diǎn)M(x0，y0)． 因?yàn)辄c(diǎn)P和Q關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)，所以直線l垂直平分線段PQ，于是直線PQ的斜率為－1，則可設(shè)其方程為y＝－x＋b. ①證明：由消去x得y2＋2py－2pb＝0.(*) 因?yàn)镻和Q是拋物線C上的相異兩點(diǎn)，所以y1≠y2， 從而Δ＝(2p)2－4(－2pb)>0，化簡(jiǎn)得p＋2b>0. 方程(*)的兩根為y1,2＝－p， 從而y0＝＝－p. 因?yàn)镸(x0，y0)在直線l上，所以x0＝2－p. 因此，線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2－p，－p)． ②因?yàn)镸(2－p，－p)在直線y＝－x＋b上， 所以－p＝－(2－p)＋b，即b＝2－2p. 由①知p＋2b>0，于是p＋2(2－2p)>0，所以p<. 因此，p的取值范圍是(0，)．