江蘇省2019高考數學二輪復習 專題二 立體幾何 2.1 小題考法—立體幾何中的計算講義（含解析）.doc

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專題二 立體幾何 [江蘇卷5年考情分析] 小題考情分析 大題考情分析 ?？键c 空間幾何體的表面積與體積(5年3考) 　　本專題在高考大題中的考查非常穩(wěn)定，主要是線線、線面、面面的平行與垂直關系的證明，一般第(1)問是線面平行的證明，第(2)問是線線垂直或面面垂直的證明，考查形式單一，難度一般. 偶考點 簡單幾何體與球的切接問題 第一講 小題考法——立體幾何中的計算 考點(一) 空間幾何體的表面積與體積 主要考查柱體、錐體以及簡單組合體的表面積與體積. [題組練透] 1．現(xiàn)有一個底面半徑為3 cm，母線長為5 cm的圓錐狀實心鐵器，將其高溫熔化后鑄成一個實心鐵球(不計損耗)，則該鐵球的半徑為________cm. 解析：因為圓錐底面半徑為3 cm，母線長為5 cm，所以圓錐的高為＝4 cm，其體積為π324＝12π cm3，設鐵球的半徑為r，則πr3＝12π，所以該鐵球的半徑是 cm. 答案： 2．(2018蘇錫常鎮(zhèn)二模)已知直四棱柱底面是邊長為2的菱形，側面對角線的長為2，則該直四棱柱的側面積為________． 解析：由題意得，直四棱柱的側棱長為＝2，所以該直四棱柱的側面積為S＝cl＝422＝16. 答案：16 3.(2018江蘇高考)如圖所示，正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點的多面體的體積為________． 解析：由題意知所給的幾何體是棱長均為的八面體，它是由兩個有公共底面的正四棱錐組合而成的，正四棱錐的高為1，所以這個八面體的體積為2V正四棱錐＝2()21＝. 答案： 4．(2018南通、泰州一調)如圖，銅質六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構成的幾何體．已知正六棱柱的底面邊長、高都為4 cm，圓柱的底面積為9 cm2.若將該螺帽熔化后鑄成一個高為6 cm的正三棱柱零件，則該正三棱柱的底面邊長為________cm(不計損耗)． 解析：由題意知，熔化前后的體積相等，熔化前的體積為6424－94＝60 cm3，設所求正三棱柱的底面邊長為x cm，則有x26＝60，解得x＝2，所以所求邊長為2 cm. 答案：2 5．設甲，乙兩個圓柱的底面積分別為S1，S2，體積分別為V1，V2.若它們的側面積相等且＝，則的值是________． 解析：設甲，乙兩個圓柱的底面半徑分別為r1，r2，高分別為h1，h2，則有2πr1h1＝2πr2h2， 即r1h1＝r2h2， 又＝，∴＝，∴＝， 則＝＝. 答案： [方法技巧] 求幾何體的表面積及體積的解題技巧 (1)求幾何體的表面積及體積問題，可以多角度、多方位地考慮，熟記公式是關鍵所在．求三棱錐的體積時，等體積轉化是常用的方法，轉化原則是其高易求，底面放在已知幾何體的某一面上． (2)求不規(guī)則幾何體的體積，常用分割或補形的思想，將不規(guī)則幾何體轉化為規(guī)則幾何體以易于求解． 考點(二) 簡單幾何體與球的切接問題 主要考查簡單幾何體與球切接時的表面積、體積的計算問題，以及將空間幾何體的問題轉化為平面幾何圖形的關系的能力. [題組練透] 1．(2017江蘇高考)如圖，在圓柱O1O2內有一個球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切．記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則的值是________． 解析：設球O的半徑為R，因為球O與圓柱O1O2的上、下底面及母線均相切，所以圓柱的底面半徑為R、高為2R，所以＝＝. 答案： 2．(2018無錫期末)直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB⊥BC，AB＝3，BC＝4，BB1＝5，若三棱柱的所有頂點都在同一球面上，則該球的表面積為________． 解析：根據條件可知該直三棱柱的外接球就是以BA，BC，BB1為棱的長方體的外接球，設其半徑為R，則2R＝＝，得R＝，故該球的表面積為S＝4πR2＝50π. 答案：50π 3．已知矩形ABCD的頂點都在半徑為2的球O的球面上，且AB＝3，BC＝，過點D作DE垂直于平面ABCD，交球O于點E，則棱錐EABCD的體積為________． 解析：如圖所示，BE過球心O， ∴BE＝4，BD＝＝2， ∴DE＝ ＝2， ∴VEABCD＝32＝2. 答案：2 4．(2018全國卷Ⅲ改編)設A，B，C，D是同一個半徑為4的球的球面上四點，△ABC為等邊三角形且其面積為9，則三棱錐DABC體積的最大值為________. 解析：由等邊△ABC的面積為9，可得AB2＝9，所以AB＝6，所以等邊△ABC的外接圓的半徑為r＝AB＝2.設球的半徑為R，球心到等邊△ABC的外接圓圓心的距離為d，則d＝＝＝2.所以三棱錐DABC高的最大值為2＋4＝6，所以三棱錐DABC體積的最大值為96＝18. 答案：18 [方法技巧] 簡單幾何體與球切接問題的解題技巧 方法 解讀 適合題型 截面法 解答時首先要找準切點，通過作截面來解決．如果內切的是多面體，則作截面時主要抓住多面體過球心的對角面來作 球內切多面體或旋轉體 構造 直角 三角 形法 首先確定球心位置，借助外接的性質——球心到多面體的頂點的距離等于球的半徑，尋求球心到底面中心的距離、半徑、頂點到底面中心的距離構造成直角三角形，利用勾股定理求半徑 正棱錐、正棱柱的外接球 補形法 因正方體、長方體的外接球半徑易求得，故將一些特殊的幾何體補形為正方體或長方體，便可借助外接球為同一個的特點求解 三條側棱兩兩垂直的三棱錐，從正方體或長方體的八個頂點中選取點作為頂點組成的三棱錐、四棱錐等 考點(三) 平面圖形的翻折與空間圖形的展開問題 主要考查空間圖形與平面圖形之間的轉化，面積、體積以及最值 問題的求解. [典例感悟] [典例]　(1)如圖，正△ABC的邊長為2，CD是AB邊上的高，E，F(xiàn)分別為邊AC與BC的中點，現(xiàn)將△ABC沿CD翻折，使平面ADC⊥平面DCB，則三棱錐EDFC的體積為________． (2)如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，AC＝，AA1＝3，M為線段BB1上的一動點，則當AM＋MC1最小時，△AMC1的面積為________． [解析]　(1)S△DFC＝S△ABC＝＝，E到平面DFC的距離h等于AD＝，VEDFC＝S△DFCh＝. (2)將側面展開后可得：本題AM＋MC1最小可以等價為在矩形ACC1A1中求AM＋MC1的最小值． 如圖，當A，M，C1三點共線時，AM＋MC1最小． 又AB∶BC＝1∶2，AB＝1，BC＝2，CC1＝3， 所以AM＝，MC1＝2，又AC1＝＝， 所以cos∠AMC1＝＝＝－， 所以sin∠AMC1＝， 故三角形面積為S＝2＝. [答案]　(1)　(2) [方法技巧] 解決翻折問題需要把握的兩個關鍵點 (1)解決與翻折有關的問題的關鍵是搞清翻折前后的變化量和不變量．一般情況下，折線同一側的線段的長度是不變量，位置關系可能會發(fā)生變化，抓住兩個“不變性”． ①與折線垂直的線段，翻折前后垂直關系不改變； ②與折線平行的線段，翻折前后平行關系不改變． (2)解決問題時，要綜合考慮翻折前后的圖形，既要分析翻折后的圖形，也要分析翻折前的圖形． [演練沖關] 1．有一根長為6 cm，底面半徑為0.5 cm的圓柱型鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞4圈，并使鐵絲的兩個端點落在圓柱的同一母線的兩端，則鐵絲的長度最少為________cm. 解析：由題意作出圖形如圖所示， 則鐵絲的長度至少為＝＝2. 答案：2 2．(2018南京、鹽城、連云港二模)在邊長為4的正方形ABCD內剪去四個全等的等腰三角形(如圖①中陰影部分)，折疊成底面邊長為的正四棱錐SEFGH(如圖②)，則正四棱錐SEFGH的體積為________． 解析：連結EG，HF，交點為O(圖略)，正方形EFGH的對角線EG＝2，EO＝1，則點E到線段AB的距離為1，EB＝＝，SO＝＝＝2，故正四棱錐SEFGH的體積為()22＝. 答案： 3．如圖所示，平面四邊形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD，將其沿對角線BD折成四面體ABCD，使平面ABD⊥平面BCD，若四面體ABCD的頂點在同一個球面上，則該球的體積為________． 解析：如圖，取BD的中點E，BC的中點O，連接AE，OD，EO，AO.因為AB＝AD，所以AE⊥BD. 由于平面ABD⊥平面BCD，所以AE⊥平面BCD. 因為AB＝AD＝CD＝1，BD＝，所以AE＝，EO＝.所以OA＝. 在Rt△BDC中，OB＝OC＝OD＝BC＝，所以四面體ABCD的外接球的球心為O，半徑為. 所以該球的體積V＝π3＝. 答案： [必備知能自主補缺] (一) 主干知識要牢記 1．空間幾何體的側面展開圖及側面積公式 幾何體 側面展開圖 側面積公式 直棱柱 S直棱柱側＝ch c為底面周長 h為高 正棱錐 S正棱錐側＝ch′ c為底面周長 h′為斜高 即側面等腰三角形的高 正棱臺 S正棱臺側＝(c＋c′)h′ c′為上底面周長 c為下底面周長 h′為斜高，即側面等腰梯形的高 圓柱 S圓柱側＝2πrl r為底面半徑 l為側面母線長 圓錐 S圓錐側＝πrl r為底面半徑 l為側面母線長 圓臺 S圓臺側＝π(r1＋r2)l r1為上底面半徑 r2為下底面半徑 l為側面母線長 2.柱體、錐體、臺體的體積公式 (1)V柱體＝Sh(S為底面面積，h為高)； (2)V錐體＝Sh(S為底面面積，h為高)； (3)V臺＝(S＋＋S′)h(不要求記憶)． 3．球的表面積和體積公式： (1)S球＝4πR2(R為球的半徑)； (2)V球＝πR3(R為球的半徑)． 4．立體幾何中相鄰兩個面之間的兩點間距離路徑最短問題，都可以轉化為平面幾何中兩點距離最短． (二) 二級結論要用好 1．長方體的對角線與其共點的三條棱之間的長度關系d2＝a2＋b2＋c2；若長方體外接球半徑為R，則有(2R)2＝a2＋b2＋c2. [針對練1]　設三棱錐的三條側棱兩兩互相垂直，且長度分別為2,2，4，則其外接球的表面積為________． 解析：依題意，設題中的三棱錐外接球的半徑為R，可將題中的三棱錐補形成一個長方體，則R＝＝2，所以該三棱錐外接球的表面積為S＝4πR2＝32π. 答案：32π 2．棱長為a的正四面體的內切球半徑r＝a，外接球的半徑R＝a.又正四面體的高h＝a，故r＝h，R＝h. [針對練2]　正四面體ABCD的外接球半徑為2，過棱AB作該球的截面，則截面面積的最小值為________． 解析：由題意知，面積最小的截面是以AB為直徑的圓，設AB的長為a， 因為正四面體外接球的半徑為2， 所以a＝2，解得a＝， 故截面面積的最小值為π2＝. 答案： 3．認識球與正方體組合的3種特殊截面： 一是球內切于正方體；二是球與正方體的十二條棱相切；三是球外接于正方體．它們的相應軸截面如圖所示(正方體的棱長為a，球的半徑為R)． [課時達標訓練] A組——抓牢中檔小題 1. 若圓錐底面半徑為1，高為2，則圓錐的側面積為 ________. 解析：由題意，得圓錐的母線長l＝＝，所以S圓錐側＝πrl＝π1＝π. 答案：π 2．已知正六棱柱的側面積為72 cm2，高為6 cm，那么它的體積為________cm3. 解析：設正六棱柱的底面邊長為x cm，由題意得6x6＝72，所以x＝2，于是其體積V＝2266＝36cm3. 答案：36 3．已知球O的半徑為R，A，B，C三點在球O的球面上，球心O到平面ABC的距離為R，AB＝AC＝BC＝2，則球O的表面積為________． 解析：設△ABC外接圓的圓心為O1，半徑為r，因為AB＝AC＝BC＝2，所以△ABC為正三角形，其外接圓的半徑r＝＝2，因為OO1⊥平面ABC，所以OA2＝OO＋r2，即R2＝2＋22，解得R2＝16，所以球O的表面積為4πR2＝64π. 答案：64π 4. 已知一個棱長為6 cm的正方體塑料盒子(無上蓋)，上口放著一個半徑為5 cm的鋼球，則球心到盒底的距離為________cm. 解析：球心到正方體的塑料盒上表面(不存在)所在平面的距離為＝4，所以球心到盒底的距離為4＋6＝10(cm)． 答案：10 5．(2018揚州期末)若圓錐的側面展開圖是面積為3π且圓心角為的扇形，則此圓錐的體積為________． 解析：設圓錐的底面半徑為r，高為h，母線為l，則由l2＝3π，得l＝3，又由l＝2πr，得r＝1，從而有h＝＝2，所以V＝πr2h＝π. 答案：π 6. 一塊邊長為10 cm的正方形鐵片按如圖所示的陰影部分裁下，然后用余下的四個全等的等腰三角形作側面，以它們的公共頂點P為頂點，加工成一個如圖所示的正四棱錐形容器．當x＝6 cm時，該容器的容積為________cm3. 解析：由題意知，這個正四棱錐形容器的底面是以6 cm為邊長的正方形，側面高為5 cm，則正四棱錐的高為 ＝4 cm，所以所求容積V＝624＝48 cm3. 答案：48 7．已知一個正方體的所有頂點在一個球面上，若這個正方體的表面積為18，則這個球的體積為________． 解析：由正方體的表面積為18，得正方體的棱長為. 設該正方體外接球的半徑為R，則2R＝3，R＝， 所以這個球的體積為πR3＝＝. 答案： 8．設棱長為a的正方體的體積和表面積分別為V1，S1，底面半徑和高均為r的圓錐的體積和側面積分別為V2，S2，若＝，則的值為________． 解析：由題意知，V1＝a3，S1＝6a2，V2＝πr3，S2＝πr2，由＝，即＝，得a＝r，從而＝＝＝. 答案： 9．已知正方形ABCD的邊長為2，E，F(xiàn)分別為BC，DC的中點，沿AE，EF，AF折成一個四面體，使B，C，D三點重合，則這個四面體的體積為________． 解析：設B，C，D三點重合于點P，得到如圖所示的四面體PAEF.因為AP⊥PE，AP⊥PF，PE∩PF＝P，所以AP⊥平面PEF，所以V四面體PAEF＝V四面體APEF＝S△PEFAP＝112＝. 答案： 10．(2018常州期末)已知圓錐的高為6，體積為8，用平行于圓錐底面的平面截圓錐，得到的圓臺體積是7，則該圓臺的高為________． 解析：設截得的小圓錐的高為h1，底面半徑為r1，體積為V1＝πrh1；大圓錐的高為h＝6，底面半徑為r，體積為V＝πr2h＝8.依題意有＝，V1＝1，＝＝3＝，得h1＝h＝3，所以圓臺的高為h－h(huán)1＝3. 答案：3 11.如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面為直角三角形，∠ACB＝90，AC＝6，BC＝CC1＝，P是BC1上一動點，則CP＋PA1的最小值是________． 解析：連結A1B，沿BC1將△CBC1展開，與△A1BC1在同一個平面內，如圖所示，連結A1C，則A1C的長度就是所求的最小值． 因為A1C1＝6，A1B＝2，BC1＝2，所以A1C＋BC＝A1B2，所以∠A1C1B＝90. 又∠BC1C＝45，所以∠A1C1C＝135，由余弦定理，得A1C2＝A1C＋CC－2A1C1CC1cos∠A1C1C＝36＋2－26＝50，所以A1C＝5，即CP＋PA1的最小值是5. 答案：5 12．(2018蘇中三市、蘇北四市三調)現(xiàn)有一正四棱柱形鐵塊，底面邊長為高的8倍，將其熔化鍛造成一個底面積不變的正四棱錐形鐵件(不計材料損耗)．設正四棱柱與正四棱錐的側面積分別為S1，S2，則的值為________． 解析：設正四棱柱的高為a，所以底面邊長為8a，根據體積相等，且底面積相等，所以正四棱錐的高為3a，則正四棱錐側面的高為＝5a，所以＝＝. 答案： 13．已知圓錐的底面半徑和高相等，側面積為4π，過圓錐的兩條母線作截面，截面為等邊三角形，則圓錐底面中心到截面的距離為________． 解析：如圖，設底面半徑為r，由題意可得：母線長為r.又側面展開圖面積為r2πr＝4π，所以r＝2.又截面三角形ABD為等邊三角形，故BD＝AB＝r，又OB＝OD＝r，故△BOD為等腰直角三角形．設圓錐底面中心到截面的距離為d，又VOABD＝VABOD，所以dS△ABD＝AOS△OBD.又S△ABD＝AB2＝8＝2，S△OBD＝2，AO＝r＝2，故d＝＝. 答案： 14. 底面半徑為1 cm的圓柱形容器里放有四個半徑為 cm的實心鐵球，四個球兩兩相切，其中底層兩球與容器底面相切．現(xiàn)往容器里注水，使水面恰好浸沒所有鐵球，則需要注水________cm3. 解析：設四個實心鐵球的球心為O1，O2，O3，O4，其中O1，O2為下層兩球的球心，O1O2O3O4為正四面體，棱O1O2到棱O3O4的距離為，所以注水高為1＋.故應注水體積為π－4π3＝π. 答案：π B組——力爭難度小題 1.(2018天津高考)已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，除面ABCD外，該正方體其余各面的中心分別為點E，F(xiàn)，G，H，M(如圖)，則四棱錐MEFGH的體積為________． 解析：如圖，連結AD1，CD1，B1A，B1C，AC，因為E，H分別為AD1，CD1的中點，所以EH∥AC，EH＝ AC，因為F，G分別為B1A，B1C的中點，所以FG∥AC，F(xiàn)G＝AC，所以EH∥FG，EH＝FG，所以四邊形EHGF為平行四邊形，又EG＝HF，EH＝HG，所以四邊形EHGF為正方形，又點M到平面EHGF的距離為，所以四棱錐MEFGH的體積為2＝. 答案： 2.(2018蘇州期末)魯班鎖是中國傳統(tǒng)的智力玩具，起源于中國古代建筑中首創(chuàng)的榫卯結構，它的外觀是如圖所示的十字立方體，其上下、左右、前后完全對稱，六根等長的正四棱柱體分成三組，經90榫卯起來．若正四棱柱的高為5，底面正方形的邊長為1，現(xiàn)將該魯班鎖放進一個球形容器內，則該球形容器的表面積至少為________(容器壁的厚度忽略不計，結果保留π)． 解析：設球形容器的最小半徑為R，則“十字立方體”的24個頂點均在半徑為R的球面上，所以兩根并排的四棱柱體組成的長方體的八個頂點在這個球面上．球的直徑就是長方體的體對角線的長度，所以2R＝＝，得4R2＝30.從而S球面＝4πR2＝30π. 答案：30π 3．已知三棱錐PABC的所有棱長都相等，現(xiàn)沿PA，PB，PC三條側棱剪開，將其表面展開成一個平面圖形，若這個平面圖形外接圓的半徑為2，則三棱錐PABC的體積為________． 解析：由條件知，表面展開圖如圖所示，由正弦定理得大正三角形的邊長為a＝22sin 60＝6，從而三棱錐的所有棱長均為3，底面三角形ABC的高為，故三棱錐的高為＝2，所求體積為V＝(3)22＝9. 答案：9 4．(2018渭南二模)體積為的球與正三棱柱的所有面均相切，則該棱柱的體積為________． 解析：設球的半徑為R，由R3＝，得R＝1，所以正三棱柱的高h＝2.設底面邊長為a，則a＝1，所以a＝2.所以V＝232＝6. 答案：6 5.如圖所示，在直三棱柱中，AC⊥BC，AC＝4，BC＝CC1＝2，若用平行于三棱柱A1B1C1ABC的某一側面的平面去截此三棱柱，使得到的兩個幾何體能夠拼接成長方體，則長方體表面積的最小值為________． 解析：用過AB，AC的中點且平行于平面BCC1B1的平面截此三棱柱，可以拼接成一個邊長為2的正方體，其表面積為24； 用過AB，BC的中點且平行于平面ACC1A1的平面截此三棱柱，可以拼接成一個長、寬、高分別為4,1,2的長方體，其表面積為28； 用過AA1，BB1，CC1的中點且平行于平面ABC的平面截此三棱柱，可以拼接成一個長、寬、高分別為4,2,1的長方體，其表面積為28， 因此所求的長方體表面積的最小值為24. 答案：24 6.如圖，在棱長為4的正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，D1C1上的動點，點G為正方形B1BCC1的中心．則空間四邊形AEFG在該正方體各個面上的正投影所構成的圖形中，面積的最大值為________． 解析：四邊形AEFG在前、后面的正投影如圖①，當E與A1重合，F(xiàn)與B1重合時，四邊形AEFG在前、后面的正投影的面積最大值為12； 四邊形AEFG在左、右面的正投影如圖②，當E與A1重合，四邊形AEFG在左、右面的正投影的面積最大值為8； 四邊形AEFG在上、下面的正投影如圖③，當F與D重合時，四邊形AEFG在上、下面的正投影的面積最大值為8.綜上所述，所求面積的最大值為12. 答案：12