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課時跟蹤檢測(二) 小題考法——三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)
A組——10+7提速練
一、選擇題
1.函數(shù)f(x)=tan的單調(diào)遞增區(qū)間是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析:選B 由kπ-<2x-
0,0<φ<π)為奇函數(shù),A(a,0),B(b,0)是其圖象上兩點(diǎn),若|a-b|的最小值是1,則f =( )
A.2 B.-2
C. D.-
解析:選B ∵函數(shù)f(x)=4cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)為奇函數(shù),∴φ=,f(x)=-4sin ωx.∵A(a,0),B(b,0)是其圖象上兩點(diǎn),|a-b|的最小值是1,∴=1,∴ω=π,f(x)=-4sin πx,則f=-4sin=-2.
6.(2017天津高考)設(shè)函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π.若f=2,f=0,且f(x)的最小正周期大于2π,則( )
A.ω=,φ= B.ω=,φ=-
C.ω=,φ=- D.ω=,φ=
解析:選A 法一:由f=2,
得ω+φ=+2kπ(k∈Z), ①
由f=0,得ω+φ=k′π(k′∈Z), ②
由①②得ω=-+(k′-2k).
又最小正周期T=>2π,所以0<ω<1,ω=.
又|φ|<π,將ω=代入①得φ=.選項(xiàng)A符合.
法二:∵f=2,f=0,且f(x)的最小正周期大于2π,
∴-=(2m+1),m∈N,
∴T=,m∈N,
∵f(x)的最小正周期大于2π,∴T=3π,
∴ω==,∴f(x)=2sin.
由2sin=2,得φ=2kπ+,k∈Z.
又|φ|<π,∴取k=0,得φ=.故選A.
7.若把函數(shù)y=2cos x(cos x-sin x)的圖象向左平移m(m>0)個單位長度后,所得到的圖象關(guān)于y軸對稱,則m的最小值是( )
A. B.
C. D.
解析:選A 法一:y=2cos x(cosx-sin x)=2cos2x-2sin xcos x=1+cos 2x-sin 2x=1+2sin,該函數(shù)的圖象向左平移m個單位長度后,所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為y=1+2sin=1+2sin,由題意知2m+=+kπ,k∈Z,解得m=-,k∈Z,取k=1,得到m的最小值為,故選A.
法二:y=2cos x(cos x-sin x)=2cos2x-2sin xcos x=1+cos 2x-sin 2x=1+2sin,令2x+=kπ+,k∈Z,則x=-,k∈Z,則原函數(shù)的圖象在x軸右側(cè)且離y軸最近的一條對稱軸為直線x=.因?yàn)樵瘮?shù)的圖象向左平移m(m>0)個單位長度后得到的圖象關(guān)于y軸對稱,所以m的最小值為,故選A.
8.(2019屆高三溫州期中)設(shè)α是三角形的一個內(nèi)角,在sin α,sin,cos α,cos 2α,tan 2α,tan中可能為負(fù)數(shù)的值的個數(shù)是( )
A.2 B.3
C.4 D.5
解析:選A ∵α是三角形的一個內(nèi)角,
若0<α<,則0<<,0<2α<π.
∴在sin α,sin,cos α,cos 2α,tan 2α,tan中可能為負(fù)數(shù)的是cos 2α與tan 2α;
若α=,則=,2α=π.
∴在sin α,sin,cos α,cos 2α,tan 2α,tan中為負(fù)數(shù)的是cos 2α;
若<α≤,則<≤,π<2α≤.
∴在sin α,sin,cos α,cos 2α,tan 2α,tan中可能為負(fù)數(shù)的是cos α與cos 2α;
若<α<π,則<<,<2α<2π.
∴在sin α,sin,cos α,cos 2α,tan 2α,tan中可能為負(fù)數(shù)的是cos α與tan 2α.
∴在sin α,sin,cos α,cos 2α,tan 2α,tan中可能為負(fù)數(shù)的值的個數(shù)是2個.故選A.
9.已知x=是函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)+cos(2x+φ)(0<φ<π)圖象的一條對稱軸,將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象,則函數(shù)g(x)在上的最小值為( )
A.-2 B.-1
C.- D.-
解析:選B f(x)=sin(2x+φ)+cos(2x+φ)=2sin.∵x=是f(x)=2sin圖象的一條對稱軸,∴2++φ=kπ+(k∈Z),即φ=+kπ(k∈Z),∵0<φ<π,∴φ=,則f(x)=2sin,∴g(x)=2sin=-2sin,則g(x)在上的最小值為g=-1,故選B.
10.(2019屆高三浙江六校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=3sin(ωx+θ)的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為,將函數(shù)f(x)=3sin(ωx+θ)的圖象向右平移φ(φ>0)個單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象,若f(x),g(x)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)P ,則φ的一個可能值是( )
A. B.
C. D.
解析:選D 由函數(shù)f(x)=3sin(ωx+θ)的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為,得函數(shù)f(x)的最小正周期為π,則π=,所以ω=2,函數(shù)f(x)=3sin(2x+θ)的圖象向右平移φ個單位長度,得到g(x)=3sin(2x+θ-2φ)的圖象,因?yàn)閒(x),g(x)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)P,所以sin θ=,sin(θ-2φ)=,又-<θ<,所以θ=,所以sin=,所以-2φ=2kπ+(k∈Z)或-2φ=2kπ+(k∈Z),所以φ=-kπ(k∈Z)或φ=-kπ-(k∈Z),因?yàn)棣?0,所以結(jié)合選項(xiàng)知φ的一個可能值是.故選D.
二、填空題
11.已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)對任意的x都有f =f ,則f =_______.
解析:函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)對任意的x都有f =f ,則其圖象的一條對稱軸為x=,所以f=2.
答案:2
12.已知f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)在區(qū)間[2,4]上單調(diào),且f(2)=1,f(4)=-1,則ω=________,f(x)在區(qū)間上的值域是________.
解析:由題意知f(x)的最小正周期T=4,∴ω=,
∴f(x)=sin.又f(2)=sin(π+φ)=1,
∴π+φ=+2kπ,k∈Z.
又|φ|<π,∴φ=-,∴f(x)=sin.
由x∈,得x-∈,
∴sin∈,
即f(x)在區(qū)間上的值域?yàn)?
答案:
13.(2018金華模擬)已知函數(shù)f(x)=4sin xsin,則函數(shù)f(x)的最小正周期T=________,在區(qū)間上的值域?yàn)開_______.
解析:函數(shù)f(x)=4sin xsin =4sin x=2sin2x+2sin xcos x=sin 2x-cos 2x+1=2sin+1,
函數(shù)f(x)的最小正周期T==π.
∵x∈,∴2x-∈.
∴-時,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.
∴當(dāng)cos x=,f(x)有最小值.
又f(x)=2sin x+sin 2x=2sin x(1+cos x),
∴當(dāng)sin x=-時,f(x)有最小值,
即f(x)min=2=-.
答案:-
17.已知函數(shù)f(x)=Acos2(ωx+φ)+1的最大值為3,f(x)的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),其相鄰兩條對稱軸間的距離為2,則f(1)+f(2)+…+f(2 017)+f(2 018)=________.
解析:∵函數(shù)f(x)=Acos2(ωx+φ)+1=A+1=cos(2ωx+2φ)+1+的最大值為3,∴+1+=3,∴A=2.根據(jù)函數(shù)圖象相鄰兩條對稱軸間的距離為2,可得函數(shù)的最小正周期為4,即=4,∴ω=.再根據(jù)f(x)的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),可得cos 2φ+1+1=2,∴cos 2φ=0,又0<φ<,∴2φ=,φ=.故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=cos+2=-sinx+2,∴f(1)+f(2)+…+f(2 017)+f(2 018)=-+22 018=5040-sin-sin π+4 036=0-1-0+4 036=4 035.
答案:4 035
B組——能力小題保分練
1.曲線y=2coscos和直線y=在y軸右側(cè)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)按從小到大的順序依次記為P1,P2,P3,…,則|P3P7|=( )
A.π B.2π
C.4π D.6π
解析:選B y=2coscos=cos2x-sin2x=cos 2x,故曲線對應(yīng)的函數(shù)為周期函數(shù),且最小正周期為π,直線y=在y軸右側(cè)與函數(shù)y=2coscos在每個周期內(nèi)的圖象都有兩個交點(diǎn),又P3與P7相隔2個周期,故|P3P7|=2π,故選B.
2.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的部分圖象如圖所示,則( )
A.f(x)的圖象關(guān)于直線x=-對稱
B.f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱
C.若方程f(x)=m在上有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-2,- ]
D.將函數(shù)y=2sin的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)f(x)的圖象
解析:選C 由題圖可知,A=2,T=4=π,∴ω==2.又f=2,
∴2sin=2,+φ=+2kπ,k∈Z,
∵|φ|<,∴φ=,
∴函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=2sin,
∴當(dāng)x=-時,2+=-π,
f =2sin(-π)=0,
從而f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱,而不是關(guān)于直線x=-對稱,故A不正確;
當(dāng)x=-時,2+=-,
∴f(x)的圖象關(guān)于直線x=-對稱,而不是關(guān)于點(diǎn)對稱,故B不正確;
當(dāng)x∈時,2x+∈,f(x)∈[-2, ],結(jié)合正弦函數(shù)圖象的性質(zhì),可知若方程f(x)=m在上有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-2,- ],故C正確;
根據(jù)圖象平移變換的法則,可知應(yīng)將y=2sin的圖象向左平移個單位長度得到f(x)的圖象,故D不正確.故選C.
3.如果兩個函數(shù)的圖象平移后能夠重合,那么稱這兩個函數(shù)互為生成函數(shù).給出下列四個函數(shù):
①f(x)=sin x+cos x;②f(x)=(sin x+cos x);
③f(x)=sin x;④f(x)=sin x+.
其中互為生成函數(shù)的是( )
A.①② B.①④
C.③④ D.②④
解析:選B 首先化簡題中①②兩個函數(shù)解析式可得:①f(x)=sin,②f(x)=2sin,可知③f(x)=sin x的圖象要與其他函數(shù)的圖象重合,只經(jīng)過平移不能完成,還必須經(jīng)過伸縮變換才能實(shí)現(xiàn),∴③f(x)=sin x不與其他函數(shù)互為生成函數(shù);同理①f(x)=sin(④f(x)=sin x+)的圖象與②f(x)=2sin的圖象也必須經(jīng)過伸縮變換才能重合,而④f(x)=sin x+的圖象向左平移個單位長度,再向下平移個單位長度即可得到①f(x)=sin的圖象,∴①④互為生成函數(shù),故選B.
4.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均為正常數(shù))的最小正周期為π,且當(dāng)x=時,函數(shù)f(x)取得最小值,則( )
A.f(1)0,故可取k=1,則φ=,故f(x)=Asin,所以f(-1)=Asin<0,f(1)=Asin>0,f(0)=Asin=A>0,故f(-1)最?。謘in=sin=sin>sin,故f(1)>f(0).綜上可得f(-1)0)的圖象的對稱軸與函數(shù)g(x)=cos(2x+φ)的圖象的對稱軸完全相同,則函數(shù)f(x)的圖象的對稱軸為________,φ=________.
解析:因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=2sin(ω>0)的圖象的對稱軸與函數(shù)g(x)=cos(2x+φ)的圖象的對稱軸完全相同,故它們的最小正周期相同,即=,所以ω=2,故函數(shù)f(x)=2sin.令2x+=kπ+,k∈Z,則x=+,k∈Z,故函數(shù)f(x)的圖象的對稱軸為x=+,k∈Z.令2x+φ=mπ,m∈Z,則x=-,m∈Z,故函數(shù)g(x)的圖象的對稱軸為x=-,m∈Z,故+-+=,m,n,k∈Z,即φ=(m+n-k)π-,m,n,k∈Z,又|φ|<,所以φ=-.
答案:x=+,k∈Z?。?
6.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的圖象與x軸的一個交點(diǎn)到其相鄰的一條對稱軸的距離為,若f=,則函數(shù)f(x)在上的最小值為________.
解析:由題意得,函數(shù)f(x)的最小正周期T=4=π=,解得ω=2.
因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)f(x)的圖象上,
所以Asin=0,
解得φ=kπ+,k∈Z,由0<φ<π,可得φ=.
因?yàn)閒=,所以Asin=,
解得A=,所以f(x)=sin.
當(dāng)x∈時,2x+∈,
所以sin∈,
所以f(x)的最小值為-.
答案:-
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