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4.2.2 導數(shù)的綜合應用
【考綱要求】
熟練利用導數(shù)工具研究函數(shù)性質(zhì)。
【知識梳理】
1．利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的步驟
(1)求導數(shù)f′(x)；(2)在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；(3)根據(jù)(2)的結果確定函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間．
2．求可導函數(shù)極值的步驟
(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求導數(shù)f′(x)；(3)解方程f′ (x)＝0，求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；(4)列表檢驗f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右兩側值的符號，如果左正右負，那么f(x)在x0處取極大值，如果左負右正，那么f(x)在x0處取極小值．
3．求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]內(nèi)的最大值與最小值
(1)確定函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]內(nèi)連續(xù)、可導；(2)求函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)的極值；(3)求函數(shù)f(x)在[a，b]端點處的函數(shù)值f(a)，f(b)；(4)比較函數(shù)f(x)的各極值與f(a)，f(b)的大小，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．
4．生活中的優(yōu)化問題
解決優(yōu)化問題的基本思路：
―→
↓ ↓
←
5．利用導數(shù)解決實際問題中的最值問題時應注意的問題
(1)在求實際問題的最大(小)值時，一定要注意考慮實際問題的意義，不符合實際意義的值應舍去；
(2)在實際問題中，有時會遇到函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個極值點，那么不與端點值比較，也可以知道這就是最大(小)值；
(3)在解決實際問題中的優(yōu)化問題時，不僅要注意將問題中涉及的變量關系用函數(shù)關系式表示出來，還應確定函數(shù)關系式中自變量的定義區(qū)間．
【基礎自測】
1.(課本改編題)函數(shù)f(x)＝ax3＋x恰有三個單調(diào)區(qū)間，則a的取值范圍是
_(－∞，0)_．
2．(課本精選題)如圖，水波的半徑以50 cm/s的速度向外
擴張，當半徑為250 cm時，水波面的圓面積的膨脹率是
_25 000π_ cm2/s.
3．若函數(shù)f(x)＝x＋asin x在R上遞增，則實數(shù)a的取值范圍為_[－1,1]_．
4．已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y(單位：萬元)與年產(chǎn)量x(單位：萬件)的函數(shù)關系
式為y＝－x3＋81x－234，則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤的年產(chǎn)量為( C )
A．13萬件 B．11萬件
C．9萬件 D．7萬件
5. 已知函數(shù)f(x)的定義域為R，f′(x)為f(x)的導函數(shù)，函數(shù)y＝f′(x)的圖像如圖所示，且f(－2)＝1，f(3)＝1，則不等式f(x2－6)>1的解集為( A )
A．(－3，－2)∪(2,3)
B．(－，)
C．(2,3)
D．(－∞，－)∪(，＋∞)
【例題精析】
題型一 利用導數(shù)研究函數(shù)的零點或方程根的方法
例1 已知函數(shù)f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若f(x)在x＝－1處取得極值，直線y＝m與y＝f(x)的圖像有三個不同的交點，求m的取值范圍．
解 (1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，
當a<0時，對x∈R，有f′(x)>0，
∴當a<0時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，＋∞)．當a>0時，由f′(x)>0，
解得x<－或x>.
由f′(x)<0，解得－
0時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，－)，(，＋∞)，單調(diào)減區(qū)間為(－，)．
(2)∵f(x)在x＝－1處取得極值，
∴f′(－1)＝3(－1)2－3a＝0，∴a＝1.
∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，
由f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.
由(1)中f(x)的單調(diào)性可知，f(x)在x＝－1處取得極大值f(－1)＝1，在x＝1處取得極小值f(1)＝－3.∵直線y＝m與函數(shù)y＝f(x)的圖像有三個不同的交點，
結合如圖所示f(x)的圖像可知：
實數(shù)m的取值范圍是(－3,1)．
探究提高
(1)對于該問題的求解，一般利用研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等性質(zhì)，并借助函數(shù)圖像的交點情況，建立含參數(shù)的方程組(或不等式)求之，實現(xiàn)形與數(shù)的和諧統(tǒng)一．
(2)本題常見的錯誤是不能把函數(shù)的極值與圖像交點聯(lián)系起來，缺乏轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結合的意識．
變式訓練1 已知函數(shù)f(x)＝x3－x2＋6x－a.
(1)對任意x∈R，f′(x)≥m恒成立，求m的最大值；
(2)若函數(shù)f(x)有且僅有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍．
解：(1)－ (2)a>或a<2
題型二 利用函數(shù)研究恒成立及參數(shù)求解問題
例2 已知函數(shù)f(x)＝ln x－.
(1)若a>0，試判斷f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性；
(2)若f(x)在[1，e]上的最小值為，求a的值；
(3)若f(x)0，∴f′(x)>0，
故f(x)在(0，＋∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)．
(2)由(1)可知，f′(x)＝.
①若a≥－1，則x＋a≥0，
即f′(x)≥0在[1，e]上恒成立，
此時f(x)在[1，e]上為增函數(shù)，∴f(x)min＝f(1)＝－a＝，∴a＝－(舍去)．
②若a≤－e，則x＋a≤0，即f′(x)≤0在[1，e]上恒成立，此時f(x)在[1，e]上為減函數(shù)，
∴f(x)min＝f(e)＝1－＝，
∴a＝－(舍去)．
③若－e0，
∴f(x)在(－a，e)上為增函數(shù)，
∴f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝，
∴a＝－.綜上所述，a＝－.
(3)∵f(x)0，∴a>xln x－x3.
令g(x)＝xln x－x3，
h(x)＝g′(x)＝1＋ln x－3x2，
h′(x)＝－6x＝.
∵x∈(1，＋∞)時，h′(x)<0，
∴h(x)在(1，＋∞)上是減函數(shù)．
∴h(x)0，
所以函數(shù)h(x)＝＋xln x在區(qū)間上遞減，在區(qū)間(1,2]上遞增，
h(x)min＝h(1)＝1，即h(x)≥1，
所以當a≥1且x∈時，f(x)≥1成立，即對任意s，t∈都有f(s)≥g(t)．
題型三 利用導數(shù)研究生活中的優(yōu)化問題
例3 為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關系：C(x)＝ (0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元．設f(x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和．
(1)求k的值及f(x)的表達式；
(2)隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達到最小，并求最小值．
解 (1)設隔熱層厚度為x cm，由題設，每年能源消耗費用為C(x)＝.
再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝.
又建造費用為C1(x)＝6x.最后得隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為
f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20＋6x
＝＋6x (0≤x≤10)．
(2)f′(x)＝6－，令f′(x)＝0，
即＝6.解得x＝5，x＝－(舍去)．當00，
故x＝5是f(x)的最小值點，對應的最小值為f(5)＝65＋＝70.當隔熱層修建5 cm厚時，總費用達到最小值70萬元．
變式訓練3 (2011福建)某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價格x(單位：元/千克)滿足關系式y(tǒng)＝＋10(x－6)2，其中3
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陜西省藍田縣高中數(shù)學
第四章
導數(shù)應用
4.2.2
最大值最小值問題導數(shù)的應用
北師大版選修1
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