(天津?qū)S茫?020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 6.2 等差數(shù)列精練.docx
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6.2 等差數(shù)列 挖命題 【考情探究】 考點 內(nèi)容解讀 5年考情 預(yù)測熱度 考題示例 考向 關(guān)聯(lián)考點 1.等差數(shù)列的有關(guān)概念及運算 1.理解等差數(shù)列的概念 2.掌握等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式 3.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系 2016天津,18 等差數(shù)列的定義、等差數(shù)列的通項公式 等比數(shù)列的性質(zhì)、用放縮法證明不等式 ★★★ 2014天津,11 等差數(shù)列的前n項和 等比中項 2012天津,18 等差數(shù)列的通項公式 數(shù)列求和、數(shù)學(xué)歸納法 2.等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用 1.能利用等差數(shù)列的性質(zhì)解決相應(yīng)的問題 2.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系,并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題 2011天津文,11 等差數(shù)列的性質(zhì) 等差數(shù)列前n項和的應(yīng)用 ★★★ 分析解讀 從天津高考的情況來看,本節(jié)一直是高考的熱點,主要考查等差數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項公式、前n項和公式、等差中項等相關(guān)內(nèi)容.本節(jié)內(nèi)容在高考中的分值約為5分,屬于中低檔題,以選擇題、填空題的形式出現(xiàn). 破考點 【考點集訓(xùn)】 考點一 等差數(shù)列的有關(guān)概念及運算 1.已知等差數(shù)列{an}滿足a1=1,an+2-an=6,則a11等于( ) A.31 B.32 C.61 D.62 答案 A 2.(2013課標(biāo)Ⅰ,7,5分)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,則m=( ) A.3 B.4 C.5 D.6 答案 C 3.已知等差數(shù)列{an}一共有9項,前4項和為3,最后3項和為4,則中間一項的值為( ) A.1720 B.5960 C.1 D.6766 答案 D 考點二 等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用 4.在等差數(shù)列{an}中,a1+3a8+a15=120,則a2+a14的值為( ) A.6 B.12 C.24 D.48 答案 D 5.在等差數(shù)列{an}中,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,以Sn表示{an}的前n項和,則使Sn取得最大值時n的值為( ) A.21 B.20 C.19 D.18 答案 B 煉技法 【方法集訓(xùn)】 方法1 等差數(shù)列的基本運算技巧 1.數(shù)列{an}為遞增的等差數(shù)列,a1=f(x+1),a2=0,a3=f(x-1),其中f(x)=x2-4x+2,則數(shù)列{an}的通項公式為( ) A.an=n-2 B.an=2n-4 C.an=3n-6 D.an=4n-8 答案 B 2.在等差數(shù)列{an}中,2(a1+a4+a7)+3(a9+a11)=24,則S13+2a7=( ) A.17 B.26 C.30 D.56 答案 C 3.(2018上海,6,4分)記等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a3=0,a6+a7=14,則S7= . 答案 14 方法2 等差數(shù)列的判定方法 4.(2014陜西,14,5分)已知f(x)=x1+x,x≥0,若f1(x)=f(x),fn+1(x)=f(fn(x)),n∈N+,則f2014(x)的表達式為 . 答案 f2014(x)=x1+2014x 5.已知數(shù)列{an}滿足a1=12,且an+1=2an2+an. (1)求證:數(shù)列1an是等差數(shù)列; (2)若bn=anan+1,求數(shù)列{bn}的前n項和Sn. 解析 (1)證明:∵an+1=2an2+an,∴1an+1=2+an2an, ∴1an+1-1an=12, ∴數(shù)列1an是以2為首項,12為公差的等差數(shù)列. (2)由(1)知an=2n+3,∴bn=4(n+3)(n+4)=41n+3-1n+4, ∴Sn=414-15+15-16+…+1n+3-1n+4 =414-1n+4=nn+4. 方法3 等差數(shù)列前n項和的最值問題的求解方法 6.(2014江西,13,5分)在等差數(shù)列{an}中,a1=7,公差為d,前n項和為Sn,當(dāng)且僅當(dāng)n=8時Sn取得最大值,則d的取值范圍為 . 答案 -1,-78 7.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a3+a8+a13=C,a4+a14=2C,其中C<0,則Sn在n等于 時取到最大值. 答案 7 過專題 【五年高考】 A組 自主命題天津卷題組 考點一 等差數(shù)列的有關(guān)概念及運算 1.(2014天津,11,5分)設(shè){an}是首項為a1,公差為-1的等差數(shù)列,Sn為其前n項和.若S1,S2,S4成等比數(shù)列,則a1的值為 . 答案 -12 2.(2016天津,18,13分)已知{an}是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列,公差為d.對任意的n∈N*,bn是an和an+1的等比中項. (1)設(shè)cn=bn+12-bn2,n∈N*,求證:數(shù)列{cn}是等差數(shù)列; (2)設(shè)a1=d,Tn=∑k=12n(-1)kbk2,n∈N*,求證:∑k=1n1Tk<12d2. 證明 (1)由題意得bn2=anan+1,有cn=bn+12-bn2=an+1an+2-anan+1=2dan+1,因此cn+1-cn=2d(an+2-an+1)=2d2, 所以{cn}是等差數(shù)列. (2)Tn=(-b12+b22)+(-b32+b42)+…+(-b2n-12+b2n2) =2d(a2+a4+…+a2n)=2dn(a2+a2n)2=2d2n(n+1). 所以∑k=1n1Tk=12d2∑k=1n1k(k+1)=12d2∑k=1n1k-1k+1=12d21-1n+1<12d2. 思路分析 (1)根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì),建立方程關(guān)系,根據(jù)條件求出數(shù)列{cn}的通項公式,結(jié)合等差數(shù)列的定義進行證明即可. (2)求出Tn=∑k=12n(-1)kbk2的表達式,利用裂項相消法求解,結(jié)合放縮法進行不等式的證明即可. 評析本題主要考查遞推數(shù)列的應(yīng)用以及數(shù)列與不等式的綜合,根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的性質(zhì)分別求出對應(yīng)的通項公式以及利用裂項相消法進行求解是解決本題的關(guān)鍵.綜合性較強是,有一定的難度. 3.(2012天津,18,13分)已知{an}是等差數(shù)列,其前n項和為Sn,{bn}是等比數(shù)列,且a1=b1=2,a4+b4=27,S4-b4=10. (1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式; (2)記Tn=anb1+an-1b2+…+a1bn,n∈N*,證明Tn+12=-2an+10bn(n∈N*). 解析 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,等比數(shù)列{bn}的公比為q. 由a1=b1=2,得a4=2+3d,b4=2q3,S4=8+6d.由條件,得方程組2+3d+2q3=27,8+6d-2q3=10,解得d=3,q=2. 所以an=3n-1,bn=2n,n∈N*. (2)證法一: 由(1)得Tn=2an+22an-1+23an-2+…+2na1,① 2Tn=22an+23an-1+…+2na2+2n+1a1.② 由②-①,得Tn=-2(3n-1)+322+323+…+32n+2n+2 =12(1-2n-1)1-2+2n+2-6n+2=102n-6n-10. 而-2an+10bn-12=-2(3n-1)+102n-12=102n-6n-10,故Tn+12=-2an+10bn,n∈N*. 證法二:數(shù)學(xué)歸納法 (i)當(dāng)n=1時,T1+12=a1b1+12=16,-2a1+10b1=16,故等式成立; (ii)假設(shè)當(dāng)n=k時等式成立,即Tk+12=-2ak+10bk,則當(dāng)n=k+1時有: Tk+1=ak+1b1+akb2+ak-1b3+…+a1bk+1 =ak+1b1+q(akb1+ak-1b2+…+a1bk)=ak+1b1+qTk =ak+1b1+q(-2ak+10bk-12) =2ak+1-4(ak+1-3)+10bk+1-24 =-2ak+1+10bk+1-12, 即Tk+1+12=-2ak+1+10bk+1.因此n=k+1時等式也成立. 由(1)和(2),可知對任意n∈N*,Tn+12=-2an+10bn成立. 考點二 等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用 (2011天津文,11,5分)已知{an}是等差數(shù)列,Sn為其前n項和,n∈N*.若a3=16,S20=20,則S10的值為 . 答案 110 B組 統(tǒng)一命題、省(區(qū)、市)卷題組 考點一 等差數(shù)列的有關(guān)概念及運算 1.(2018課標(biāo)Ⅰ,4,5分)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和.若3S3=S2+S4,a1=2,則a5=( ) A.-12 B.-10 C.10 D.12 答案 B 2.(2017課標(biāo)Ⅲ,9,5分)等差數(shù)列{an}的首項為1,公差不為0.若a2,a3,a6成等比數(shù)列,則{an}前6項的和為( ) A.-24 B.-3 C.3 D.8 答案 A 3.(2016課標(biāo)Ⅰ,3,5分)已知等差數(shù)列{an}前9項的和為27,a10=8,則a100=( ) A.100 B.99 C.98 D.97 答案 C 4.(2015課標(biāo)Ⅰ,7,5分)已知{an}是公差為1的等差數(shù)列,Sn為{an}的前n項和.若S8=4S4,則a10=( ) A.172 B.192 C.10 D.12 答案 B 5.(2015重慶,2,5分)在等差數(shù)列{an}中,若a2=4,a4=2,則a6=( ) A.-1 B.0 C.1 D.6 答案 B 6.(2014福建,3,5分)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a1=2,S3=12,則a6等于( ) A.8 B.10 C.12 D.14 答案 C 7.(2017課標(biāo)Ⅱ,15,5分)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a3=3,S4=10,則∑k=1n1Sk= . 答案 2nn+1 8.(2016江蘇,8,5分)已知{an}是等差數(shù)列,Sn是其前n項和.若a1+a22=-3,S5=10,則a9的值是 . 答案 20 9.(2015安徽,13,5分)已知數(shù)列{an}中,a1=1,an=an-1+12(n≥2),則數(shù)列{an}的前9項和等于 . 答案 27 考點二 等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用 1.(2017課標(biāo)Ⅰ,4,5分)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和.若a4+a5=24,S6=48,則{an}的公差為( ) A.1 B.2 C.4 D.8 答案 C 2.(2015課標(biāo)Ⅱ,5,5分)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和.若a1+a3+a5=3,則S5=( ) A.5 B.7 C.9 D.11 答案 A 3.(2014遼寧,9,5分)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.若數(shù)列{2a1an}為遞減數(shù)列,則( ) A.d>0 B.d<0 C.a1d>0 D.a1d<0 答案 D 4.(2015廣東,10,5分)在等差數(shù)列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,則a2+a8= . 答案 10 C組 教師專用題組 1.(2013課標(biāo)Ⅰ,7,5分)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,則m=( ) A.3 B.4 C.5 D.6 答案 C 2.(2013遼寧,4,5分)下面是關(guān)于公差d>0的等差數(shù)列{an}的四個命題: p1:數(shù)列{an}是遞增數(shù)列; p2:數(shù)列{nan}是遞增數(shù)列; p3:數(shù)列ann是遞增數(shù)列; p4:數(shù)列{an+3nd}是遞增數(shù)列. 其中的真命題為( ) A.p1,p2 B.p3,p4 C.p2,p3 D.p1,p4 答案 D 3.(2015陜西,13,5分)中位數(shù)為1010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列,其末項為2015,則該數(shù)列的首項為 . 答案 5 【三年模擬】 一、選擇題(每小題5分,共35分) 1.(2019屆天津河西期中,2)在等差數(shù)列{an}中,a1=2,a3+a5=10,則a7=( ) A.5 B.8 C.10 D.14 答案 B 2.(2018天津一中5月月考,4)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,m,p,q為正整數(shù),則“p+q=2m”是“ap+aq=2am”的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 答案 A 3.(2017天津一中5月月考,5)在等差數(shù)列{an}中,a3+a6+a9=54,設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則S11=( ) A.18 B.99 C.198 D.297 答案 C 4.(2017天津?qū)嶒炛袑W(xué)模擬,5)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且2(a1+a3+a5)+3(a8+a10)=36,則S11=( ) A.66 B.55 C.44 D.33 答案 D 5.(2017天津南開三模,7)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且S2=10,S5=55,則過點P(n,an),Q(n+2,an+2)(n∈N*)的直線的斜率為( ) A.4 B.14 C.-4 D.-14 答案 A 6.(2018天津南開二模,7)已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和,a1=2,a2=4,a3=6,數(shù)列{an+an+1+an+2}是公差為2的等差數(shù)列,則S25=( ) A.233 B.282 C.466 D.650 答案 B 7.(2019屆天津耀華中學(xué)統(tǒng)練(2),7)在等差數(shù)列{an}中,其前n項和是Sn,若S15>0,S16<0,則在S1a1,S2a2,S3a3,…,S15a15中最大的是( ) A.S1a1 B.S9a9 C.S8a8 D.S15a15 答案 C 二、填空題(每小題5分,共10分) 8.(2019屆天津七校聯(lián)考,10)在等差數(shù)列{an}中,S5=25,a2=3,則a5= . 答案 9 9.(2019屆天津耀華中學(xué)第二次月考,10)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,若3S3=S2+S4,a1=2,則a5= . 答案 -10 三、解答題(共35分) 10.(2017天津和平二模,18)已知等差數(shù)列{an}滿足a2=5,a5+a9=30,{an}的前n項和為Sn. (1)求數(shù)列{an}的通項公式及前n項和Sn; (2)令bn=1Sn(n∈N*),求數(shù)列{bn}的前n項和Tn. 解析 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由a2=5,a5+a9=30可得a1+d=5,2a1+12d=30,解得a1=3,d=2, ∴an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1, ∴Sn=n(a1+an)2=n(3+2n+1)2=n(n+2)=n2+2n. (2)由(1)可得bn=1Sn=1n(n+2)=121n-1n+2, ∴數(shù)列{bn}的前n項和Tn=121-13+12-14+13-15+…+1n-1-1n+1+1n-1n+2 =121+12-1n+1-1n+2=34-12n+2-12n+4. 解題分析 本題考查了等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式和裂項相消法求和,屬于中檔題. 11.(2017天津和平四模,18)已知等差數(shù)列{an}滿足a2=3,a4+a7=20. (1)求數(shù)列{an}的通項公式及前n項和Sn; (2)證明:∑k=1n1Sk<53. 解析 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d, ∵等差數(shù)列{an}滿足a2=3,a4+a7=20, ∴a1+d=3,2a1+9d=20,解得a1=1,d=2, ∴an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1(n∈N*), Sn=na1+n(n-1)2d=n+n(n-1)=n2(n∈N*). (2)證明:∵Sn=n2, ∴∑k=1n1Sk=112+122+132+…+1n2. ∵k2>k2-14>0(k∈N*), ∴1k2<1k2-14,k∈N*, ∴1k2<44k2-1=212k-1-12k+1, ∴∑k=1n1Sk=112+122+132+…+1n2<1+213-15+215-17+…+212k-1-12k+1=1+213-12k+1=53-22k+1<53, ∴∑k=1n1Sk<53. 解題分析 本題考查等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式,考查數(shù)列不等式的證明,涉及裂項相消法、放縮法等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、運算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬中檔題. 12.(2018天津河西三模,18)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,數(shù)列Snn是首項為1,公差為2的等差數(shù)列. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)設(shè)數(shù)列{bn}滿足a1b1+a2b2+…+anbn=5-(4n+5)12n,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn. 解析 (1)由數(shù)列Snn是首項為1,公差為2的等差數(shù)列,得Snn=1+2(n-1)=2n-1,則有Sn=n(2n-1)=2n2-n. 當(dāng)n=1時,a1=S1=1, 當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=4n-3, a1=1符合an=4n-3, 故an=4n-3,n∈N*. (2)根據(jù)題意,數(shù)列{bn}滿足 a1b1+a2b2+…+anbn=5-(4n+5)12n①, 當(dāng)n=1時,a1b1=5-(4+5)12=12,而a1=1,則b1=2, 易知a1b1+a2b2+…+an-1bn-1=5-(4n+1)12n-1(n≥2)②, ①-②可得anbn=(4n-3)12n, 又an=4n-3,所以bn=2n(n≥2), 又b1=2符合bn=2n, 則bn=2n(n∈N*), 故數(shù)列{bn}是首項為2,公比為2的等比數(shù)列, 則Tn=2(1-2n)1-2=2n+1-2,n∈N*.- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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