(天津?qū)S茫?020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 6.3 等比數(shù)列精練.docx
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6.3等比數(shù)列挖命題【考情探究】考點(diǎn)內(nèi)容解讀5年考情預(yù)測(cè)熱度考題示例考向關(guān)聯(lián)考點(diǎn)1.等比數(shù)列的有關(guān)概念及運(yùn)算1.理解等比數(shù)列的概念2.掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式3.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系4.掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式2018天津文,18等比數(shù)列的通項(xiàng)公式數(shù)列求和的基本方法2.等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用能利用等比數(shù)列的性質(zhì)解決相應(yīng)的問(wèn)題2016天津,5等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用充分必要條件的判斷分析解讀天津高考對(duì)等比數(shù)列的考查主要是基本量的運(yùn)算、an和Sn的關(guān)系以及等比數(shù)列的性質(zhì).對(duì)等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、性質(zhì)及等比中項(xiàng)的考查,常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),難度較小.對(duì)前n項(xiàng)和以及與其他知識(shí)(函數(shù)、不等式)相結(jié)合的考查,多以解答題的形式出現(xiàn).解決問(wèn)題時(shí)要注意下標(biāo)之間的關(guān)系,并選擇適當(dāng)?shù)墓?破考點(diǎn)【考點(diǎn)集訓(xùn)】考點(diǎn)一等比數(shù)列的有關(guān)概念及運(yùn)算1.已知等比數(shù)列an中,a1=1,且a4+a5+a8a1+a2+a5=8,那么S5的值是()A.15B.31C.63D.64答案B2.已知等比數(shù)列an中,a2=2,a3a4=32,那么a8的值為.答案1283.(2014安徽,12,5分)數(shù)列an是等差數(shù)列,若a1+1,a3+3,a5+5構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列,則q=.答案14.(2011北京文,12,5分)在等比數(shù)列an中,若a1=12,a4=4,則公比q=;a1+a2+an=.答案2;2n-1-12考點(diǎn)二等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用5.已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,則下列結(jié)論一定成立的是()A.若a50,則a20170,則a20180,則S20170D.若a60,則S20180答案C6.已知等比數(shù)列an的公比q0,其前n項(xiàng)和為Sn,若a1=1,4a3=a2a4.(1)求公比q和a5的值;(2)求證:Snan0,所以q=2.所以a5=a1q4=16.(2)證法一:因?yàn)閍1=1,q=2,所以an=a1qn-1=2n-1,nN*,Sn=a1(1-qn)1-q=2n-1,所以Snan=2n-12n-1=2-12n-1,因?yàn)?2n-10,所以Snan=2-12n-12.證法二:因?yàn)閍1=1,q=2,所以an=a1qn-1=2n-1,Sn=a1(1-qn)1-q=2n-1,所以Snan-2=-12n-10,所以Snan0,可得q=2,故bn=2n-1.所以,Tn=1-2n1-2=2n-1.設(shè)等差數(shù)列an的公差為d.由b4=a3+a5,可得a1+3d=4.由b5=a4+2a6,可得3a1+13d=16,從而a1=1,d=1,故an=n,所以,Sn=n(n+1)2.(2)由(1),有T1+T2+Tn=(21+22+2n)-n=2(1-2n)1-2-n=2n+1-n-2.由Sn+(T1+T2+Tn)=an+4bn可得n(n+1)2+2n+1-n-2=n+2n+1,整理得n2-3n-4=0,解得n=-1(舍),或n=4.所以,n的值為4.考點(diǎn)二等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用(2016天津,5,5分)設(shè)an是首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列,公比為q,則“q0”是“對(duì)任意的正整數(shù)n,a2n-1+a2n1,則()A.a1a3,a2a3,a2a4C.a1a4D.a1a3,a2a4答案B2.(2015安徽,14,5分)已知數(shù)列an是遞增的等比數(shù)列,a1+a4=9,a2a3=8,則數(shù)列an的前n項(xiàng)和等于.答案2n-13.(2014廣東,13,5分)若等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù),且a10a11+a9a12=2e5,則lna1+lna2+lna20=.答案504.(2017山東,19,12分)已知xn是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,且x1+x2=3,x3-x2=2.(1)求數(shù)列xn的通項(xiàng)公式;(2)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,依次連接點(diǎn)P1(x1,1),P2(x2,2),Pn+1(xn+1,n+1)得到折線P1P2Pn+1,求由該折線與直線y=0,x=x1,x=xn+1所圍成的區(qū)域的面積Tn.解析本題考查等比數(shù)列基本量的計(jì)算,錯(cuò)位相減法求和.(1)設(shè)數(shù)列xn的公比為q,由已知知q0.由題意得x1+x1q=3,x1q2-x1q=2.所以3q2-5q-2=0.因?yàn)閝0,所以q=2,x1=1.因此數(shù)列xn的通項(xiàng)公式為xn=2n-1.(2)過(guò)P1,P2,Pn+1向x軸作垂線,垂足分別為Q1,Q2,Qn+1.由(1)得xn+1-xn=2n-2n-1=2n-1,記梯形PnPn+1Qn+1Qn的面積為bn,由題意bn=(n+n+1)22n-1=(2n+1)2n-2,所以Tn=b1+b2+bn=32-1+520+721+(2n-1)2n-3+(2n+1)2n-2,2Tn=320+521+722+(2n-1)2n-2+(2n+1)2n-1.-得-Tn=32-1+(2+22+2n-1)-(2n+1)2n-1=32+2(1-2n-1)1-2-(2n+1)2n-1.所以Tn=(2n-1)2n+12.解題關(guān)鍵記梯形PnPn+1Qn+1Qn的面積為bn,以幾何圖形為背景確定bn的通項(xiàng)公式是關(guān)鍵.方法總結(jié)一般地,如果an是等差數(shù)列,bn是等比數(shù)列,求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和時(shí),可采用錯(cuò)位相減法.在寫(xiě)“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”,以便下一步準(zhǔn)確寫(xiě)出“Sn-qSn”的表達(dá)式.5.(2014課標(biāo),17,12分)已知數(shù)列an滿足a1=1,an+1=3an+1.(1)證明an+12是等比數(shù)列,并求an的通項(xiàng)公式;(2)證明1a1+1a2+1an32.解析(1)由an+1=3an+1得an+1+12=3an+12.又a1+12=32,所以an+12是首項(xiàng)為32,公比為3的等比數(shù)列.an+12=3n2,因此an的通項(xiàng)公式為an=3n-12.(2)證明:由(1)知1an=23n-1.因?yàn)楫?dāng)n1時(shí),3n-123n-1,所以13n-1123n-1.于是1a1+1a2+1an1+13+13n-1=321-13n32.所以1a1+1a2+1an0”是“S2019S2018”的()A.充要條件B.充分而不必要條件C.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件答案A3.(2018天津?qū)氎嬉恢心M,4)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,前n項(xiàng)和為Sn,則“|q|=1”是“S4=2S2”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案C4.(2018天津南開(kāi)中學(xué)第三次月考,3)在等比數(shù)列an中,若a2=243,a6=3,則a4等于()A.3B.27C.3D.27答案B5.(2019屆天津耀華中學(xué)統(tǒng)練(2),3)已知等比數(shù)列an中,各項(xiàng)都是正數(shù),且a1,12a3,2a2成等差數(shù)列,則a8+a9a6+a7等于()A.1+2B.1-2C.3+22D.3-22答案C6.(2019屆天津七校聯(lián)考,5)已知數(shù)列an是等比數(shù)列,a2=2,a7=64,則當(dāng)n2時(shí),a1a3+a2a4+an-1an+1=()A.2n-2B.2n+1-2C.4n+1-43D.4n-43答案D7.(2018天津南開(kāi)中學(xué)第五次月考,6)等比數(shù)列an的首項(xiàng)為2,項(xiàng)數(shù)為奇數(shù),其奇數(shù)項(xiàng)之和為8532,偶數(shù)項(xiàng)之和為2116,這個(gè)等比數(shù)列前n項(xiàng)的積為T(mén)n(n2),則Tn的最大值為()A.14B.12C.1D.2答案D8.(2017天津南開(kāi)中學(xué)第四次月考,6)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=n2-n,正項(xiàng)等比數(shù)列bn中,b2=a3,bn+3bn-1=4bn2(n2,nN+),則log2bn=()A.nB.2n-1C.n-2D.n-1答案A二、填空題(每小題5分,共10分)9.(2019屆天津薊州一中月考,11)設(shè)Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和,a3=8a6,則S4S2的值為.答案5410.(2019屆天津河西期中,10)已知數(shù)列an是遞增的等比數(shù)列,a1+a4=9,a2a3=8,則數(shù)列an的前n項(xiàng)和等于.答案2n-1三、解答題(共25分)11.(2017天津十二區(qū)縣一模,18)已知等比數(shù)列an的公比q1,且a1+a3=20,a2=8.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn=nan,Sn是數(shù)列bn的前n項(xiàng)和,不等式Sn+n2n+1(-1)na對(duì)任意正整數(shù)n恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解析(1)由題意得,a1(1+q2)=20,a1q=8,2q2-5q+2=0,公比q1,a1=4,q=2,an是以4為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=2n+1(nN*).(2)bn=nan=n2n+1,Sn=122+223+324+n2n+1,12Sn=123+224+n-12n+1+n2n+2.由-得,12Sn=122+123+124+12n+1-n2n+2,Sn=12+122+123+12n-n2n+1=12-12n+112-n2n+1=1-n+22n+1,不等式Sn+n2n+1(-1)na對(duì)任意正整數(shù)n恒成立,(-1)na1-12n對(duì)任意正整數(shù)n恒成立,設(shè)f(n)=1-12n,nN*,易知f(n)單調(diào)遞增.n為奇數(shù)時(shí),f(n)的最小值為12,-a-12,n為偶數(shù)時(shí),f(n)的最小值為34,a34.綜上,-12a34,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是-12,34.12.(2018天津河?xùn)|二模,18)已知等比數(shù)列an滿足條件a2+a4=3(a1+a3),a2n=3an2,nN*.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)數(shù)列bn滿足b1a1+b2a2+bnan=n2,nN*,求bn的前n項(xiàng)和Tn.解析(1)設(shè)an的公比為q,則an=a1qn-1,nN*.a2+a4=3(a1+a3),a1q+a1q3=3(a1+a1q2),解得q=3,a2n=3an2,a1q2n-1=3a12q2n-2,即q=3a1,a1=1.數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=3n-1.(2)當(dāng)n=1時(shí),b1=a1=1,當(dāng)n2時(shí),b1a1+b2a2+bnan=n2,b1a1+b2a2+bn-1an-1=(n-1)2,由-得bnan=n2-(n-1)2=2n-1,bn=(2n-1)an=(2n-1)3n-1(n2).綜上,bn=(2n-1)3n-1,nN*.故Tn=130+331+532+(2n-1)3n-1,3Tn=13+332+533+(2n-1)3n.-2Tn=1+23+232+233+23n-1-(2n-1)3n=1+23(1-3n-1)1-3-(2n-1)3n=(2-2n)3n-2.Tn=(n-1)3n+1,nN*.- 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