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第3講 圓周運動
一、勻速圓周運動、角速度、線速度、向心加速度
1．勻速圓周運動
(1)定義：做圓周運動的物體，若在相等的時間內(nèi)通過的圓弧長相等，就是勻速圓周運動．
(2)特點：加速度大小不變，方向始終指向圓心，是變加速運動．
(3)條件：合外力大小不變、方向始終與速度方向垂直且指向圓心．
2．描述勻速圓周運動的物理量
定義、意義
公式、單位
線速度
描述做圓周運動的物體運動快慢的物理量(v)
(1)v＝＝
(2)單位：m/s
角速度
描述物體繞圓心轉(zhuǎn)動快慢的物理量(ω)
(1)ω＝＝
(2)單位：rad/s
周期
物體沿圓周運動一圈的時間(T)
(1)T＝＝，單位：s
(2)f＝，單位：Hz
向心加
速度
(1)描述速度方向變化快慢的物理量(an)
(2)方向指向圓心
(1)an＝＝rω2
(2)單位：m/s2
[深度思考] 如圖1所示為一輛自行車傳動裝置的結(jié)構(gòu)圖．
圖1
(1)同一齒輪上到轉(zhuǎn)軸距離不同的各點的線速度、角速度是否相同？
(2)兩個齒輪相比較，其邊緣的線速度是否相同？角速度是否相同，轉(zhuǎn)速是否相同？
答案 (1)線速度不同，角速度相同．(2)線速度相同，角速度、轉(zhuǎn)速不同．
二、勻速圓周運動的向心力
1．作用效果
向心力產(chǎn)生向心加速度，只改變速度的方向，不改變速度的大?。?
2．大小
F＝m＝mrω2＝mr＝mωv＝4π2mf2r.
3．方向
始終沿半徑方向指向圓心，時刻在改變，即向心力是一個變力．
4．來源
向心力可以由一個力提供，也可以由幾個力的合力提供，還可以由一個力的分力提供．
三、離心現(xiàn)象
1．定義：做圓周運動的物體，在所受合外力突然消失或不足以提供圓周運動所需向心力的情況下，就做逐漸遠離圓心的運動．
2．本質(zhì)：做圓周運動的物體，由于本身的慣性，總有沿著圓周切線方向飛出去的趨勢．
3．受力特點(如圖2)
當F＝mrω2時，物體做勻速圓周運動；
當F＝0時，物體沿切線方向飛出；
當F
時，F(xiàn)N＋mg＝m，F(xiàn)N指向圓心并隨v的增大而增大
例3 (2016全國Ⅱ16)小球P和Q用不可伸長的輕繩懸掛在天花板上，P球的質(zhì)量大于Q球的質(zhì)量，懸掛P球的繩比懸掛Q球的繩短．將兩球拉起，使兩繩均被水平拉直，如圖11所示．將兩球由靜止釋放．在各自軌跡的最低點( )
圖11
A．P球的速度一定大于Q球的速度
B．P球的動能一定小于Q球的動能
C．P球所受繩的拉力一定大于Q球所受繩的拉力
D．P球的向心加速度一定小于Q球的向心加速度
①P球的質(zhì)量大于Q球的質(zhì)量；②由靜止釋放；③在各自軌跡的最低點．
答案 C
解析 小球從水平位置擺動至最低點，由動能定理得，mgL＝mv2，解得v＝，因LPmQ，LP時，小球一定能通過最高點P
D．當v0<時，細繩始終處于繃緊狀態(tài)
答案 CD
解析 小球運動到最低點Q時，由于加速度向上，故處于超重狀態(tài)，選項A錯誤；小球在最低點時：FT1－mg＝m；在最高點時：FT2＋mg＝m，其中mv02－mg2l＝mv2，解得FT1－FT2＝6mg，故在P、Q兩點繩對小球的拉力差與初速度v0無關(guān)，選項B錯誤；當v0＝時，得v＝，因為小球能經(jīng)過最高點的最小速度為，則當v0>時小球一定能通過最高點P，選項C正確；當v0＝時，由mv02＝mgh得小球能上升的高度h＝l，即小球不能越過與懸點等高的位置，故當v0<時，小球?qū)⒃谧畹忘c位置來回擺動，細繩始終處于繃緊狀態(tài)，選項D正確．
5．如圖14所示，輕桿長3L，在桿兩端分別固定質(zhì)量均為m的球A和B，光滑水平轉(zhuǎn)軸穿過桿上距球A為L處的O點，外界給系統(tǒng)一定能量后，桿和球在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，球B運動到最高點時，桿對球B恰好無作用力．忽略空氣阻力．則球B在最高點時( )
圖14
A．球B的速度為零
B．球A的速度大小為
C．水平轉(zhuǎn)軸對桿的作用力為1.5mg
D．水平轉(zhuǎn)軸對桿的作用力為2.5mg
答案 C
解析 球B運動到最高點時，桿對球B恰好無作用力，即重力恰好提供向心力，有mg＝m，解得vB＝，故A錯誤；由于A、B兩球的角速度相等，則球A的速度大小vA＝，故B錯誤；B球在最高點時，對桿無彈力，此時A球受重力和拉力的合力提供向心力，有F－mg＝m，解得：F＝1.5mg，故C正確，D錯誤．
斜面上圓周運動的臨界問題
在斜面上做圓周運動的物體，因所受的控制因素不同，如靜摩擦力控制、輕繩控制、輕桿控制，物體的受力情況和所遵循的規(guī)律也不相同．下面列舉三類實例：
1．靜摩擦力控制下的圓周運動
典例1 (2014安徽19)如圖15所示，一傾斜的勻質(zhì)圓盤繞垂直于盤面的固定對稱軸以恒定角速度ω轉(zhuǎn)動，盤面上離轉(zhuǎn)軸距離2.5m處有一小物體與圓盤始終保持相對靜止．物體與盤面間的動摩擦因數(shù)為(設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力)，盤面與水平面的夾角為30，g取10m/s2.則ω的最大值是( )
圖15
A.rad/s B.rad/s
C．1.0rad/s D．0.5 rad/s
答案 C
解析 當小物體轉(zhuǎn)動到最低點時為臨界點，由牛頓第二定律知，
μmgcos30－mgsin30＝mω2r
解得ω＝1.0rad/s，
故選項C正確．
2．輕繩控制下的圓周運動
典例2 如圖16所示，一塊足夠大的光滑平板放置在水平面上，能繞水平固定軸MN調(diào)節(jié)其與水平面所成的傾角．板上一根長為l＝0.60m的輕細繩，它的一端系住一質(zhì)量為m的小球P，另一端固定在板上的O點．當平板的傾角固定為α時，先將輕繩平行于水平軸MN拉直，然后給小球一沿著平板并與輕繩垂直的初速度v0＝3.0m/s.若小球能保持在板面內(nèi)做圓周
運動，傾角α的值應在什么范圍內(nèi)？(取重力加速度g＝10 m/s2)
圖16
答案 0≤α≤30
解析 小球在傾斜平板上運動時受到繩子拉力、平板彈力、重力．在垂直平板方向上合力為0，重力在沿平板方向的分量為mgsinα
小球在最高點時，由繩子的拉力和重力沿平板方向的分力的合力提供向心力，有
FT＋mgsinα＝ ①
研究小球從釋放到最高點的過程，根據(jù)動能定理有
－mglsinα＝mv12－mv02 ②
若恰好能通過最高點，則繩子拉力
FT＝0 ③
聯(lián)立①②③解得
sinα＝，則α＝30
故α的范圍為0≤α≤30.
3．輕桿控制下的圓周運動
典例3 如圖17所示，在傾角為α＝30的光滑斜面上，有一根長為L＝0.8m的輕桿，一端固定在O點，另一端系一質(zhì)量為m＝0.2kg的小球，沿斜面做圓周運動，取g＝10m/s2，若要小球能通過最高點A，則小球在最低點B的最小速度是( )
圖17
A．4m/s B．2m/s C．2m/s D．2m/s
答案 A
解析 小球受輕桿控制，在A點的最小速度為零，由2mgLsinα＝mvB2可得vB＝4m/s，A正確．
題組1 勻速圓周運動的分析
1．水平放置的三個不同材料制成的圓輪A、B、C，用不打滑皮帶相連，如圖1所示(俯視圖)，三圓輪的半徑之比為RA∶RB∶RC＝3∶2∶1，當主動輪C勻速轉(zhuǎn)動時，在三輪的邊緣上分別放置一相同的小物塊(可視為質(zhì)點)，小物塊均恰能相對靜止在各輪的邊緣上，設小物塊所受的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，小物塊與輪A、B、C接觸面間的動摩擦因數(shù)分別為μA、μB、μC，A、B、C三輪轉(zhuǎn)動的角速度分別為ωA、ωB、ωC，則( )
圖1
A．μA∶μB∶μC＝2∶3∶6
B．μA∶μB∶μC＝6∶3∶2
C．ωA∶ωB∶ωC＝1∶2∶3
D．ωA∶ωB∶ωC＝6∶3∶2
答案 A
解析 小物塊在水平方向由最大靜摩擦力提供向心力，所以向心加速度a＝μg，而a＝，A、B、C三圓輪邊緣的線速度大小相同，所以μ∝，所以μA∶μB∶μC＝2∶3∶6，由v＝Rω可知，ω∝，所以ωA∶ωB∶ωC＝2∶3∶6，故只有A正確．
2．如圖2為學員駕駛汽車在水平面上繞O點做勻速圓周運動的俯視示意圖．已知質(zhì)量為60kg的學員在A點位置，質(zhì)量為70kg的教練員在B點位置，A點的轉(zhuǎn)彎半徑為5.0m，B點的轉(zhuǎn)彎半徑為4.0m，學員和教練員(均可視為質(zhì)點)( )
圖2
A．運動周期之比為5∶4
B．運動線速度大小之比為1∶1
C．向心加速度大小之比為4∶5
D．受到的合力大小之比為15∶14
答案 D
解析 A、B兩點做圓周運動的角速度相等，根據(jù)T＝知，周期相等，故A錯誤．根據(jù)v＝rω知，半徑之比為5∶4，則線速度大小之比為5∶4，故B錯誤．根據(jù)a＝rω2知，半徑之比為5∶4，則向心加速度大小之比為5∶4，故C錯誤．根據(jù)F＝ma知，向心加速度大小之比為5∶4，質(zhì)量之比為6∶7，則合力大小之比為15∶14，故D正確．
3．(2014天津9(1))半徑為R的水平圓盤繞過圓心O的豎直軸勻速轉(zhuǎn)動，A為圓盤邊緣上一點．在O的正上方有一個可視為質(zhì)點的小球以初速度v水平拋出時，半徑OA方向恰好與v的方向相同，如圖3所示．若小球與圓盤只碰一次，且落在A點，重力加速度為g，則小球拋出時距O的高度h＝________，圓盤轉(zhuǎn)動的角速度大小ω＝________.
圖3
答案 (n＝1,2,3，…)
解析 小球做平拋運動，在豎直方向：h＝gt2 ①
在水平方向R＝vt ②
由①②兩式可得h＝ ③
小球落在A點的過程中，OA轉(zhuǎn)過的角度θ＝2nπ＝ωt (n＝1,2,3，…)④
由②④兩式得ω＝(n＝1,2,3，…)
題組2 水平面內(nèi)圓周運動的臨界問題
4．(多選)摩擦傳動是傳動裝置中的一個重要模型，如圖4所示的兩個水平放置的輪盤靠摩擦力傳動，其中O、O′分別為兩輪盤的軸心．已知兩個輪盤的半徑比r甲∶r乙＝3∶1，且在正常工作時兩輪盤不打滑．今在兩輪盤上分別放置兩個同種材料制成的滑塊A、B，兩滑塊與輪盤間的動摩擦因數(shù)相同，兩滑塊距離軸心O、O′的間距RA＝2RB.若輪盤乙由靜止開始緩慢地轉(zhuǎn)動起來，且轉(zhuǎn)速逐漸增加，則下列敘述正確的是( )
圖4
A．滑塊A和B在與輪盤相對靜止時，角速度之比為ω甲∶ω乙＝1∶3
B．滑塊A和B在與輪盤相對靜止時，向心加速度的比值為aA∶aB＝2∶9
C．轉(zhuǎn)速增加后滑塊B先發(fā)生滑動
D．轉(zhuǎn)速增加后兩滑塊一起發(fā)生滑動
答案 ABC
解析 假設輪盤乙的半徑為R，由題意可知兩輪盤邊緣的線速度大小相等，有ω甲(3R)＝ω乙R，得ω甲∶ω乙＝1∶3，所以滑塊相對輪盤滑動前，A、B的角速度之比為1∶3，A正確；滑塊相對輪盤滑動前，根據(jù)a＝ω2r得A、B的向心加速度之比為aA∶aB＝2∶9，B正確；據(jù)題意可得滑塊A、B的最大靜摩擦力分別為FfA＝μmAg，F(xiàn)fB＝μmBg，最大靜摩擦力之比為FfA∶FfB＝mA∶mB，滑塊相對輪盤滑動前所受的靜摩擦力之比為FfA′∶FfB′＝(mAaA)∶(mBaB)＝mA∶(4.5mB)，綜上分析可得滑塊B先達到最大靜摩擦力，先開始滑動，C正確，D錯誤．
5．(多選)如圖5所示，在水平圓盤上放有質(zhì)量分別為m、m、2m的可視為質(zhì)點的三個物體A、B、C，圓盤可繞垂直圓盤的中心軸OO′轉(zhuǎn)動．三個物體與圓盤間的動摩擦因數(shù)相同，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力．三個物體與軸O共線且OA＝OB＝BC＝r，現(xiàn)將三個物體用輕質(zhì)細線相連，保持細線伸直且恰無張力．當圓盤從靜止開始轉(zhuǎn)動，角速度極其緩慢地增大，則對于這個過程，下列說法正確的是( )
圖5
A．A、B兩個物體同時達到最大靜摩擦力
B．B、C兩個物體的靜摩擦力先增大后不變，A物體所受的靜摩擦力先增大后減小再增大
C．當ω2>時整體會發(fā)生滑動
D．當<ω<時，在ω增大的過程中B、C間的拉力不斷增大
答案 BCD
解析 當圓盤轉(zhuǎn)速增大時，靜摩擦力提供向心力，三個物體的角速度相等，由F0＝mω2r，由于C的半徑最大，質(zhì)量最大，故C所需要的向心力增加最快，最先達到最大靜摩擦力，此時μ(2m)g＝2m2rω12，解得ω1＝，當C的摩擦力達到最大靜摩擦力之后，細線BC開始提供拉力，B的摩擦力增大，達到最大靜摩擦力后，A、B之間細線開始有力的作用，隨著角速度增大，A的摩擦力將減小到零然后反向增大，當A的摩擦力達到最大，且細線BC的拉力大于A、B整體的摩擦力時物體將會出現(xiàn)相對滑動，此時A與B還受到細線的拉力，對C有FT＋μ(2m)g＝2m2rω22，對A、B整體有FT＝2μmg，解得ω2＝，當ω2>時整體會發(fā)生滑動，故A錯誤，B、C正確；當<ω<時，C所受摩擦力沿著半徑向里，且沒有出現(xiàn)滑動，故在ω增大的過程中，由于向心力F＝FT＋Ff不斷增大，故B、C間的拉力不斷增大，故D正確．
6.如圖6所示，水平桿固定在豎直桿上，兩者互相垂直，水平桿上O、A兩點連接有兩輕繩，兩繩的另一端都系在質(zhì)量為m的小球上，OA＝OB＝AB，現(xiàn)通過轉(zhuǎn)動豎直桿，使水平桿在水平面內(nèi)做勻速圓周運動，三角形OAB始終在豎直平面內(nèi)，若轉(zhuǎn)動過程中OB、AB兩繩始終處于拉直狀態(tài)，則下列說法正確的是( )
圖6
A．OB繩的拉力范圍為0～mg
B．OB繩的拉力范圍為mg～mg
C．AB繩的拉力范圍為mg～mg
D．AB繩的拉力范圍為0～mg
答案 B
解析 當轉(zhuǎn)動的角速度為零時，OB繩的拉力最小，AB繩的拉力最大，這時兩者的值相同，設為F1，則2F1cos30＝mg，F(xiàn)1＝mg，增大轉(zhuǎn)動的角速度，當AB繩的拉力剛好等于零時，OB繩的拉力最大，設這時OB繩的拉力為F2，則F2cos30＝mg，F(xiàn)2＝mg，因此OB繩的拉力范圍為mg～mg，AB繩的拉力范圍為0～mg，B項正確．
7．如圖7所示，半徑為R的半球形陶罐，固定在可以繞豎直軸旋轉(zhuǎn)的水平轉(zhuǎn)臺上，轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)軸與過陶罐球心O的對稱軸OO′重合．轉(zhuǎn)臺以一定角速度ω勻速旋轉(zhuǎn)，一質(zhì)量為m的小物塊落入陶罐內(nèi)，經(jīng)過一段時間后，小物塊隨陶罐一起轉(zhuǎn)動且相對罐壁靜止，它和O點的連線與OO′之間的夾角θ為60，重力加速度大小為g.
圖7
(1)若ω＝ω0，小物塊受到的摩擦力恰好為零，求ω0；
(2)若ω＝(1k)ω0，且0＜k?1，求小物塊受到的摩擦力大小和方向．
答案 (1)
(2)當ω＝(1＋k)ω0時，F(xiàn)f沿罐壁切線向下，大小為
mg
當ω＝(1－k)ω0時，F(xiàn)f沿罐壁切線向上，大小為
mg
解析 (1)對小物塊受力分析可知：
FNcos60＝mg ①
FNsin60＝mR′ω02 ②
R′＝Rsin60 ③
聯(lián)立①②③解得：ω0＝
(2)由于0＜k?1，
當ω＝(1＋k)ω0時，物塊受摩擦力方向沿罐壁切線向下．
由受力分析可知：
FN′cos60＝mg＋Ffcos30 ④
FN′sin60＋Ffsin30＝mR′ω2 ⑤
聯(lián)立③④⑤解得：Ff＝mg
當ω＝(1－k)ω0時，物塊受摩擦力方向沿罐壁切線向上．
由受力分析和幾何關(guān)系知：
FN″cos60＋Ff′sin60＝mg ⑥
FN″sin60－Ff′cos60＝mR′ω2 ⑦
聯(lián)立③⑥⑦解得Ff′＝mg.
題組3 豎直平面內(nèi)圓周運動的臨界問題
8．如圖8所示，長均為L的兩根輕繩，一端共同系住質(zhì)量為m的小球，另一端分別固定在等高的A、B兩點，A、B兩點間的距離也為L.重力加速度大小為g.現(xiàn)使小球在豎直平面內(nèi)以AB為軸做圓周運動，若小球在最高點速率為v時，兩根繩的拉力恰好均為零，則小球在最高點速率為2v時，每根繩的拉力大小為( )
圖8
A.mg B.mg
C．3mg D．2mg
答案 A
解析 設小球在豎直面內(nèi)做圓周運動的半徑為r，小球運動到最高點時輕繩與圓周運動軌道平面的夾角為θ＝30，則有r＝Lcosθ＝L.根據(jù)題述小球在最高點速率為v時，兩根繩的拉力恰好均為零，有mg＝m；小球在最高點速率為2v時，設每根繩的拉力大小為F，則有2Fcosθ＋mg＝m，聯(lián)立解得F＝mg，選項A正確．
9.(多選)如圖9所示，豎直放置的光滑圓軌道被固定在水平地面上，半徑r＝0.4m，最低點處有一小球(半徑比r小很多)，現(xiàn)給小球一水平向右的初速度v0，則要使小球不脫離圓軌道運動，v0應當滿足(取g＝10m/s2)( )
圖9
A．v0≥0 B．v0≥4m/s
C．v0≥2m/s D．v0≤2m/s
答案 CD
解析 當v0較大時，小球能夠通過最高點，這時小球在最高點處需要滿足的條件是mg≤，又根據(jù)機械能守恒定律有mv2＋2mgr＝mv02，得v0≥2m/s，C正確．當v0較小時，小球不能通過最高點，這時對應的臨界條件是小球上升到與圓心等高位置處時速度恰好減為零，根據(jù)機械能守恒定律有mgr＝mv02，得v0＝2m/s，D正確．
10．如圖10所示，兩個四分之三豎直圓弧軌道固定在同一水平地面上，半徑R相同，左側(cè)軌道由金屬凹槽制成，右側(cè)軌道由金屬圓管制成，均可視為光滑軌道．在兩軌道右側(cè)的正上方分別將金屬小球A和B由靜止釋放，小球距離地面的高度分別為hA、hB，下列說法正確的是( )
圖10
A．若使小球沿軌道運動并且到達軌道最高點，兩球釋放的最小高度hAhB，A錯誤；在軌道最低點，小球受到的支持力最小時，釋放高度是最小的，即對左側(cè)軌道來說，在最低點mghA＝mv12，由牛頓第二定律有FNA－mg＝m，聯(lián)立得FNA＝6mg，對右側(cè)軌道來說，在最低點有mghB＝mv22，根據(jù)牛頓第二定律有FNB－mg＝m，聯(lián)立得FNB＝5mg，故B正確，C錯誤；小球A從最高點飛出后進行平拋運動，下落R高度時，水平位移的最小值為xA＝vA＝＝R>R，所以小球A落在軌道右端開口外側(cè)，而適當調(diào)整hB，B可以落在軌道右端開口處，D錯誤．
11．小明站在水平地面上，手握不可伸長的輕繩一端，繩的另一端系有質(zhì)量為m的小球，甩動手腕，使球在豎直平面內(nèi)做圓周運動．當球某次運動到最低點時，繩突然斷掉，球飛行水平距離d后落地，如圖11所示．已知握繩的手離地面高度為d，手與球之間的繩長為d，重力加速度為g，忽略手的運動半徑和空氣阻力．
圖11
(1)求繩斷時球的速度大小v1和球落地時的速度大小v2；
(2)求繩能承受的最大拉力；
(3)改變繩長，使球重復上述運動，若繩仍在球運動到最低點時斷掉，要使球拋出的水平距離最大，繩長應是多少？最大水平距離為多少？
答案 (1) (2)mg
(3) d
解析 (1)設繩斷后球飛行時間為t，由平拋運動規(guī)律得
豎直方向d＝gt2
水平方向d＝v1t
解得v1＝
在豎直方向上有v⊥2＝2g(1－)d，則
v22－v12＝2g(1－)d
解得v2＝
(2)設繩能承受的最大拉力大小為FT，這也是球受到繩的最大拉力大?。蜃鰣A周運動的半徑為R＝d
對小球在最低點由牛頓第二定律得
FT－mg＝
解得FT＝mg
(3)設繩長為l，繩斷時球的速度大小為v3，繩承受的最大拉力不變．由牛頓第二定律得
FT－mg＝
解得v3＝
繩斷后球做平拋運動，豎直位移為d－l，水平位移為x，時間為t1，則
豎直方向d－l＝gt12
水平方向x＝v3t1
解得x＝4
當l＝時，x有極大值，xmax＝d.
2019年高考物理一輪復習 第四章 曲線運動 萬有引力與航天 第3講 圓周運動學案.doc
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