（浙江專版）2018年高中數(shù)學(xué) 回扣驗(yàn)收特訓(xùn)（二）圓錐曲線與方程 新人教A版選修2-1.doc

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回扣驗(yàn)收特訓(xùn)（二） 圓錐曲線與方程 1．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線互相垂直，則該雙曲線的離心率是(　　) A．2　　　　　　　　　　 B． C． D． 解析：選C　由題可知y＝x與y＝－x互相垂直，可得－＝－1，則a＝b．由離心率的計(jì)算公式，可得e2＝＝＝2，e＝． 2．設(shè)斜率為2的直線l過拋物線y2＝ax(a≠0)的焦點(diǎn)F，且和y軸交于點(diǎn)A，若△OAF(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為4，則拋物線的方程為(　　) A．y2＝4x B．y2＝8x C．y2＝4x D．y2＝8x 解析：選B　由題可知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，于是過焦點(diǎn)且斜率為2的直線的方程為y＝2，令x＝0，可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為，所以S△OAF＝＝4，得a＝8，故拋物線的方程為y2＝8x． 3．已知一動圓P與圓O：x2＋y2＝1外切，而與圓C：x2＋y2－6x＋8＝0內(nèi)切，則動圓的圓心P的軌跡是(　　) A．雙曲線的一支 B．橢圓 C．拋物線 D．圓 解析：選A　由題意，知圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－3)2＋y2＝1，則圓C與圓O相離，設(shè)動圓P的半徑為R．∵圓P與圓O外切而與圓C內(nèi)切，∴R>1，且|PO|＝R＋1，|PC|＝R－1．又|OC|＝3，∴|PO|－|PC|＝2<|OC|，即點(diǎn)P在以O(shè)，C為焦點(diǎn)的雙曲線的右支上． 4．我們把由半橢圓＋＝1(x≥0)與半橢圓＋＝1(x<0)合成的曲線稱作“果圓”(其中a2＝b2＋c2，a>b>c>0)，如圖所示，其中點(diǎn)F0，F(xiàn)1，F(xiàn)2是相應(yīng)橢圓的焦點(diǎn)．若△F0F1F2是邊長為1的等邊三角形，則a，b的值分別為(　　) A．，1 B．，1 C．5,3 D．5,4 解析：選A　∵|OF2|＝＝，|OF0|＝c＝|OF2|＝，∴b＝1，∴a2＝b2＋c2＝1＋＝，得a＝． 5．已知拋物線的方程為y2＝4x，直線l的方程為x－y＋4＝0，在拋物線上有一動點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為d1，到直線l的距離為d2，則d1＋d2的最小值為(　　) A．＋2 B．＋1 C．－2 D．－1 解析：選D　因?yàn)閽佄锞€的方程為y2＝4x，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1．因?yàn)辄c(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為d1，所以到準(zhǔn)線的距離為d1＋1．又d1＋1＝|PF|，所以d1＋d2＝d1＋1＋d2－1＝|PF|＋d2－1．焦點(diǎn)F到直線l的距離記為d，則d＝＝＝，而|PF|＋d2≥d＝，所以d1＋d2＝|PF|＋d2－1≥－1，即d1＋d2的最小值為－1． 6．雙曲線與橢圓4x2＋y2＝64有公共焦點(diǎn)，它們的離心率互為倒數(shù)，則雙曲線方程為(　　) A．y2－3x2＝36 B．x2－3y2＝36 C．3y2－x2＝36 D．3x2－y2＝36 解析：選A　由4x2＋y2＝64得＋＝1， c2＝64－16＝48， ∴c＝4，e＝＝． ∴雙曲線中，c′＝4，e′＝＝． ∴a′＝c′＝6，b′2＝48－36＝12． ∴雙曲線方程為－＝1，即y2－3x2＝36． 7．已知橢圓＋＝1(a>b>0)，其上一點(diǎn)P(3，y)到兩焦點(diǎn)的距離分別是6．5和3．5，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________． 解析：由橢圓的定義，知2a＝6．5＋3．5＝10，a＝5． 又解得c＝， 從而b2＝a2－c2＝， 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1． 答案：＋＝1 8．已知直線l與拋物線y2＝4x交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若＝－4，則直線l恒過的定點(diǎn)M的坐標(biāo)是________． 解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2＋y1y2＝－4．當(dāng)直線l的斜率不存在時，設(shè)其方程為x＝x0(x0>0)，則x－4x0＝－4，解得x0＝2；當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋b，由得ky2－4y＋4b＝0，得y1y2＝，則x1x2＝＝，得＋＝－4，∴＝－2，有b＝－2k，直線y＝kx－2k＝k(x－2)恒過定點(diǎn)(2,0)．又直線x＝2也恒過定點(diǎn)(2,0)，得點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0)． 答案：(2,0) 9．已知A(0，－4)，B(3,2)，拋物線y2＝x上的點(diǎn)到直線AB的最短距離為________． 解析：直線AB為2x－y－4＝0，設(shè)拋物線y2＝x上的點(diǎn)P(t，t2)，d＝＝＝≥＝． 答案： 10．如圖，已知橢圓＋＝1(a>b>0)的長、短軸端點(diǎn)分別為A，B，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是其左、右焦點(diǎn)．從橢圓上一點(diǎn)M向x軸作垂線，恰好通過橢圓的左焦點(diǎn)F1，且與是共線向量． (1)求橢圓的離心率e； (2)設(shè)Q是橢圓上異于左、右頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，求∠F1QF2的取值范圍． 解：(1)∵F1(－c,0)，則xM＝－c，yM＝， ∴kOM＝－． 由題意，知kAB＝－， ∵與是共線向量，∴－＝－， ∴b＝c，得e＝． (2)設(shè)|F1Q|＝r1，|F2Q|＝r2，∠F1QF2＝θ， ∴r1＋r2＝2a． 又|F1F2|＝2c， 由余弦定理， 得cos θ＝＝＝－1≥－1＝0， 當(dāng)且僅當(dāng)r1＝r2時等號成立，∴cos θ≥0， ∴θ∈． 11．如圖，焦距為2的橢圓E的兩個頂點(diǎn)分別為A，B，且與n＝(，－1)共線． (1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)若直線y＝kx＋m與橢圓E有兩個不同的交點(diǎn)P和Q，且原點(diǎn)O總在以PQ為直徑的圓的內(nèi)部，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 解：(1)因?yàn)?c＝2，所以c＝1，又＝(－a，b)，且∥n， 所以b＝a，所以2b2＝b2＋1，所以b2＝1，a2＝2， 所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1． (2)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，把直線方程y＝kx＋m代入橢圓方程＋y2＝1， 消去y，得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0， 所以x1＋x2＝－，x1x2＝， Δ＝16k2－8m2＋8>0， 即m2<2k2＋1，(*) 因?yàn)樵c(diǎn)O總在以PQ為直徑的圓的內(nèi)部， 所以 <0， 即x1x2＋y1y2<0， 又y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝， 由＋<0得m2b>0)的離心率e＝，連接橢圓的四個頂點(diǎn)得到的菱形的面積為4． (1)求橢圓的方程； (2)設(shè)直線l與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A，B．已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－a,0)，點(diǎn)Q(0，y0)在線段AB的垂直平分線上，且＝4，求y0的值． 解：(1)由e＝＝，得3a2＝4c2． 再由c2＝a2－b2，得a＝2b． 由題意可知2a2b＝4，即ab＝2． 解方程組得a＝2，b＝1． 所以橢圓的方程為＋y2＝1． (2)由(1)可知A(－2,0)． 設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)為(x1，y1)，直線l的斜率為k，則直線l的方程為y＝k(x＋2)． 聯(lián)立方程組消去y并整理，得 (1＋4k2)x2＋16k2x＋(16k2－4)＝0． 由－2x1＝，得x1＝． 從而y1＝． 設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M， 則M的坐標(biāo)為． 以下分兩種情況： ①當(dāng)k＝0時，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0)，線段AB的垂直平分線為y軸，于是＝(－2，－y0)，＝(2，－y0)． 由＝4，得y0＝2． ②當(dāng)k≠0時，線段AB的垂直平分線方程為 y－＝－． 令x＝0，解得y0＝－． 由＝(－2，－y0)，＝(x1，y1－y0)． ＝－2x1－y0(y1－y0) ＝＋ ＝＝4， 整理得7k2＝2，故k＝．所以y0＝． 綜上，y0＝2或y0＝．