(浙江專用)2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)精準(zhǔn)提分 第二篇 重點(diǎn)專題分層練中高檔題得高分 第24練 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用試題.docx
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第24練導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用明晰考情1.命題角度:函數(shù)與方程、不等式的交匯是考查的熱點(diǎn),常以指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)為載體考查函數(shù)的零點(diǎn)(方程的根)、比較大小、不等式證明、不等式恒成立與能成立問(wèn)題.2.題目難度:偏難考點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)(方程的根)方法技巧求解函數(shù)零點(diǎn)(方程根)的個(gè)數(shù)問(wèn)題的基本思路:(1)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與x軸(或直線yk)在該區(qū)間上的交點(diǎn)問(wèn)題;(2)利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)性、極值(最值)、端點(diǎn)值等性質(zhì),進(jìn)而畫(huà)出其圖象;(3)結(jié)合圖象求解1設(shè)函數(shù)f(x)x3ax2bxc.(1)求曲線yf(x)在點(diǎn)(0,f(0)處的切線方程;(2)設(shè)ab4,若函數(shù)f(x)有三個(gè)不同零點(diǎn),求c的取值范圍解(1)由f(x)x3ax2bxc,得f(x)3x22axb.f(0)c,f(0)b,曲線yf(x)在點(diǎn)(0,f(0)處的切線方程為ybxc.(2)當(dāng)ab4時(shí),f(x)x34x24xc,f(x)3x28x4.令f(x)0,得3x28x40,解得x2或x.當(dāng)x變化時(shí),f(x)與f(x)在區(qū)間(,)上的變化情況如下:x(,2)2f(x)00f(x)cc當(dāng)c0且c0時(shí),f(4)c160,存在x1(4,2),x2,x3,使得f(x1)f(x2)f(x3)0.由f(x)的單調(diào)性知,當(dāng)且僅當(dāng)c時(shí),函數(shù)f(x)x34x24xc有三個(gè)不同零點(diǎn)2已知函數(shù)f(x)2lnx(aR,a0)(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(2)若函數(shù)f(x)有最小值,記為g(a),關(guān)于a的方程g(a)a1m有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)m的取值范圍解(1)f(x)(x0),當(dāng)a0時(shí),f(x)0時(shí),f(x),則f(x)在(0,)上單調(diào)遞減,在(,)上單調(diào)遞增(2)由(1)知,a0,f(x)minf()1lna,即g(a)1lna,方程g(a)a1m,即malna(a0),令F(a)alna(a0),則F(a)1,知F(a)在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,F(xiàn)(a)極大值Fln3,F(xiàn)(a)極小值Fln2ln3.依題意得實(shí)數(shù)m的取值范圍是.3已知aR,函數(shù)f(x)exax(e2.71828是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(e,1)上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)若函數(shù)F(x)f(x)(ex2ax2lnxa)在區(qū)間內(nèi)無(wú)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的最大值解(1)由f(x)exax,得f(x)exa且f(x)在R上單調(diào)遞增若f(x)在區(qū)間(e,1)上是減函數(shù),只需f(x)0在(e,1)上恒成立因此只需f(1)e1a0,解得a.又當(dāng)a時(shí),f(x)ex0,當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取等號(hào)所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.(2)由已知得F(x)a(x1)2lnx,且F(1)0,則F(x)a,x0.當(dāng)a0時(shí),F(xiàn)(x)0.所以F(x)在內(nèi)無(wú)零點(diǎn)當(dāng)a0時(shí),令F(x)0,得x.若,即a(0,4時(shí),則F(x)在上是減函數(shù)又x0時(shí),F(xiàn)(x).要使F(x)在內(nèi)無(wú)零點(diǎn),只需F2ln0,則0a4ln2.若4時(shí),則F(x)在上是減函數(shù),在上是增函數(shù)所以F(x)minF2a2ln,令(a)2a2ln,則(a)10.所以(a)在(4,)上是減函數(shù),則(a)(4)2ln220.因此Fg(x)在區(qū)間D上恒成立的基本方法是構(gòu)造函數(shù)h(x)f(x)g(x),然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性或者函數(shù)的最值證明函數(shù)h(x)0.其中找到函數(shù)h(x)f(x)g(x)的零點(diǎn)是解題的突破口4設(shè)函數(shù)f(x)lnxx1.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(2)證明:當(dāng)x(1,)時(shí),10),得f(x)1.令f(x)0,解得x1.當(dāng)0x0,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x1時(shí),f(x)0,f(x)單調(diào)遞減因此,f(x)在(0,1)上為增函數(shù),在(1,)上為減函數(shù)(2)證明當(dāng)x(1,)時(shí),1x,即為ln xx11時(shí),f(x)0恒成立,即f(x)在(1,)上單調(diào)遞減,可得f(x)f(1)0,即有l(wèi)n x1,則F(x)1ln x1ln x,當(dāng)x1時(shí),F(xiàn)(x)0,可得F(x)在(1,)上單調(diào)遞增,即有F(x)F(1)0,即有xln xx1.綜上,原不等式得證5(2018全國(guó))已知函數(shù)f(x)xalnx.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)若f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,證明:a2.(1)解f(x)的定義域?yàn)?0,),f(x)1.若a2,則f(x)0,當(dāng)且僅當(dāng)a2,x1時(shí),f(x)0,所以f(x)在(0,)上單調(diào)遞減若a2,令f(x)0,得x或x.當(dāng)x時(shí),f(x)0;當(dāng)x時(shí),f(x)0.所以f(x)在,上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增(2)證明由(1)知,f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)a2.由于f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2滿足x2ax10,所以x1x21,不妨設(shè)x1x2,則x21.由于1a2a2a,所以a2等價(jià)于x22lnx20.設(shè)函數(shù)g(x)x2lnx,由(1)知,g(x)在(0,)上單調(diào)遞減又g(1)0,從而當(dāng)x(1,)時(shí),g(x)0.所以x22lnx20,即a2.6設(shè)函數(shù)f(x)e2xalnx.(1)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù);(2)證明:當(dāng)a0時(shí),f(x)2aaln.(1)解f(x)的定義域?yàn)?0,),f(x)2e2x(x0)當(dāng)a0時(shí),f(x)0,f(x)沒(méi)有零點(diǎn);當(dāng)a0時(shí),設(shè)u(x)e2x,v(x),因?yàn)閡(x)e2x在(0,)上單調(diào)遞增,v(x)在(0,)上單調(diào)遞增,所以f(x)在(0,)上單調(diào)遞增又f(a)0,當(dāng)b滿足0b且b時(shí),f(b)0時(shí),f(x)存在唯一零點(diǎn)(2)證明由(1),可設(shè)f(x)在(0,)上的唯一零點(diǎn)為x0,當(dāng)x(0,x0)時(shí),f(x)0.故f(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減,在(x0,)上單調(diào)遞增,所以當(dāng)xx0時(shí),f(x)取得最小值,最小值為f(x0)由于0,所以f(x0)alnx02ax02ax0alnx02ax0aln2aaln.當(dāng)且僅當(dāng)x0時(shí),取等號(hào)故當(dāng)a0時(shí),f(x)2aaln.考點(diǎn)三不等式恒成立或有解問(wèn)題方法技巧不等式恒成立、能成立問(wèn)題常用解法(1)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求最值,不等式恒成立問(wèn)題在變量與參數(shù)易于分離的情況下,采用分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題,形如af(x)max或af(x)min.(2)直接轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題,在參數(shù)難于分離的情況下,直接轉(zhuǎn)化為含參函數(shù)的最值問(wèn)題,注意對(duì)參數(shù)的分類討論(3)數(shù)形結(jié)合,構(gòu)造函數(shù),借助函數(shù)圖象的幾何直觀性求解,一定要重視函數(shù)性質(zhì)的靈活應(yīng)用7已知函數(shù)f(x)exex2ax(aR)(1)若f(x)在(0,1)上單調(diào),求a的取值范圍;(2)若函數(shù)yf(x)exlnx的圖象恒在x軸上方,求a的最小整數(shù)解解(1)由題意知,f(x)ex2exa,令h(x)ex2exa,則h(x)ex2e,當(dāng)x(0,1)時(shí),h(x)0恒成立,令g(x)xlnx(x0),g(x),令t(x)ex1x,t(x)ex11,當(dāng)x1時(shí),t(x)0,t(x)單調(diào)遞增,當(dāng)0x1時(shí),t(x)0,t(x)單調(diào)遞減,t(x)t(1)0,ex1x0.當(dāng)x1時(shí),g(x)單調(diào)遞增,當(dāng)0x0,故a的最小整數(shù)解為1.8已知函數(shù)f(x)lnx.(1)若函數(shù)g(x)f(x)axx2有兩個(gè)極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)若關(guān)于x的方程f(x)m(x1)(mZ)有實(shí)數(shù)解,求整數(shù)m的最大值解(1)g(x)lnxaxx2(x0),則g(x),由題意得方程x2ax10有兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)根,設(shè)兩根為x1,x2,則a2.即a的取值范圍為(2,)(2)方程lnxm(x1),即m,設(shè)h(x)(x0),則h(x),令(x)lnx(x0),則(x)0,h(e2)0,h(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x(x0,)時(shí),h(x)0.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;(2)證明:若f(x)存在零點(diǎn),則f(x)在區(qū)間(1,上僅有一個(gè)零點(diǎn)(1)解函數(shù)的定義域?yàn)?0,)由f(x)klnx(k0),得f(x)x.由f(x)0,解得x(負(fù)值舍去)f(x)與f(x)在區(qū)間(0,)上隨x的變化情況如下表:x(0,)(,)f(x)0f(x)所以,f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,),單調(diào)遞增區(qū)間是(,)f(x)在x處取得極小值f(),無(wú)極大值(2)證明由(1)知,f(x)在區(qū)間(0,)上的最小值為f().因?yàn)閒(x)存在零點(diǎn),所以0,從而ke,當(dāng)ke時(shí),f(x)在區(qū)間(1,上單調(diào)遞減且f()0,所以x是f(x)在區(qū)間(1,上的唯一零點(diǎn);當(dāng)ke時(shí),f(x)在區(qū)間(1,上單調(diào)遞減且f(1)0,f()0,所以f(x)在區(qū)間(1,上僅有一個(gè)零點(diǎn)綜上可知,若f(x)存在零點(diǎn),則f(x)在區(qū)間(1,上僅有一個(gè)零點(diǎn)2已知函數(shù)f(x)lnxax2(2a1)x.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)當(dāng)a0,故f(x)在(0,)上單調(diào)遞增若a0;當(dāng)x時(shí),f(x)0.故f(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減綜上,當(dāng)a0時(shí),f(x)在(0,)上單調(diào)遞增;當(dāng)a0時(shí),f(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減(2)證明由(1)知,當(dāng)a0),則g(x)1.當(dāng)x(0,1)時(shí),g(x)0;當(dāng)x(1,)時(shí),g(x)0時(shí),g(x)0.從而當(dāng)a0恒成立,如果存在,求b的取值范圍,如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)函數(shù)f(x)的定義域是(0,),當(dāng)b4時(shí),f(x).若f(x)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增,則a.max1,a1;若f(x)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞減,則a,min在x時(shí)取得,即0.a0.綜上,a0或a1.(2)f(x)blnx0在xe,e2上恒成立,令ylnx,xe,e2,y0,函數(shù)ylnx在xe,e2上單調(diào)遞增,故當(dāng)xe時(shí),y取最小值10,故ylnx0在xe,e2上恒成立,故問(wèn)題轉(zhuǎn)化為b在xe,e2上恒成立,令h(x),xe,e2,h(x),令m(x)lnx1,xe,e2,m(x)0,而m(e)0,故存在x0e,e2,使得h(x)在e,x0)上單調(diào)遞減,在(x0,e2上單調(diào)遞增,h(x)maxh(e2)或h(e),h(e2).綜上,存在b滿足題意,此時(shí)b.- 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