（浙江專版）2018年高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.3 導(dǎo)數(shù)的幾何意義學(xué)案 新人教A版選修2-2.doc

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1．1.3　導(dǎo)數(shù)的幾何意義 　預(yù)習(xí)課本P6～8，思考并完成下列問題 (1)導(dǎo)數(shù)的幾何意義是什么？ 　 　 (2)導(dǎo)函數(shù)的概念是什么？怎樣求導(dǎo)函數(shù)？ 　 　 (3)怎么求過一點(diǎn)的曲線的切線方程？ 　 　 　 　　　 1．導(dǎo)數(shù)的幾何意義 (1)切線的概念：如圖，對于割線PPn，當(dāng)點(diǎn)Pn趨近于點(diǎn)P時(shí)，割線PPn趨近于確定的位置，這個(gè)確定位置的直線PT稱為點(diǎn)P處的切線． (2)導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)就是切線PT的斜率k，即k＝ ＝f′(x0)． 2．導(dǎo)函數(shù)的概念 (1)定義：當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)便是x的一個(gè)函數(shù)，我們稱它為f(x)的導(dǎo)函數(shù)(簡稱導(dǎo)數(shù))． (2)記法：f′(x)或y′，即f′(x)＝y(tǒng)′＝ . [點(diǎn)睛]　曲線的切線并不一定與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，可以有多個(gè)，甚至可以無窮多．與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線也不一定是曲線的切線． 1．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“”) (1)導(dǎo)函數(shù)f′(x)的定義域與函數(shù)f(x)的定義域相同．(　　) (2)直線與曲線相切，則直線與已知曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)．(　　) (3)函數(shù)f(x)＝0沒有導(dǎo)函數(shù)．(　　) 答案：(1)　(2)　(3) 2．設(shè)f′(x0)＝0，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線(　　) A．不存在　　　　　　　 　B．與x軸平行或重合 C．與x軸垂直 D．與x軸斜交 答案：B 3．已知曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為2x－y＋2＝0，則f′(1)＝(　　) A．4　　 　B．－4 C．－2　　　 D．2 答案：D 4．拋物線y2＝x與x軸、y軸都只有一個(gè)公共點(diǎn)，在x軸和y軸這兩條直線中，只有________是它的切線，而______不是它的切線． 答案：y軸　x軸 求曲線的切線方程 [典例]　已知曲線C：y＝x3＋，求曲線C上的橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)處的切線方程． [解] 　將x＝2代入曲線C的方程得y＝4， ∴切點(diǎn)P(2,4)． y′|x＝2＝ ＝ ＝[4＋2Δx＋(Δx)2]＝4. ∴k＝y(tǒng)′|x＝2＝4. ∴曲線在點(diǎn)P(2,4)處的切線方程為y－4＝4(x－2)， 即4x－y－4＝0. 1．過曲線上一點(diǎn)求切線方程的三個(gè)步驟 2．求過曲線y＝f(x)外一點(diǎn)P(x1，y1)的切線方程的六個(gè)步驟 (1)設(shè)切點(diǎn)(x0，f(x0))． (2)利用所設(shè)切點(diǎn)求斜率k＝f′(x0)＝ . (3)用(x0，f(x0))，P(x1，y1)表示斜率． (4)根據(jù)斜率相等求得x0，然后求得斜率k. (5)根據(jù)點(diǎn)斜式寫出切線方程． (6)將切線方程化為一般式．　　　　　 　[活學(xué)活用] 過點(diǎn)(1，－1)且與曲線y＝x3－2x相切的直線方程為(　　) A．x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0 B．x－y－2＝0 C．x－y－2＝0或4x＋5y＋1＝0 D．x－y＋2＝0 解析：選A　顯然點(diǎn)(1，－1)在曲線y＝x3－2x上， 若切點(diǎn)為(1，－1)，則由f′(1)＝ ＝ ＝[(Δx)2＋3Δx＋1]＝1， ∴切線方程為y－(－1)＝1(x－1)， 即x－y－2＝0. 若切點(diǎn)不是(1，－1)，設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)， 則k＝＝＝ ＝x＋x0－1， 又由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知 k＝f′(x0)＝ ＝ ＝3x－2， ∴x＋x0－1＝3x－2， ∴2x－x0－1＝0， ∵x0≠1，∴x0＝－. ∴k＝x＋x0－1＝－， ∴切線方程為y－(－1)＝－(x－1)， 即5x＋4y－1＝0，故選A. 求切點(diǎn)坐標(biāo) [典例]　 已知拋物線y＝2x2＋1分別滿足下列條件，請求出切點(diǎn)的坐標(biāo)． (1)切線的傾斜角為45. (2)切線平行于直線4x－y－2＝0. (3)切線垂直于直線x＋8y－3＝0. [解]　設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，則 Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1＝4x0Δx＋2(Δx)2， ∴＝4x0＋2Δx， 當(dāng)Δx→0時(shí)，→4x0，即f′(x0)＝4x0. (1)∵拋物線的切線的傾斜角為45， ∴斜率為tan 45＝1. 即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝， ∴切點(diǎn)的坐標(biāo)為. (2)∵拋物線的切線平行于直線4x－y－2＝0， ∴k＝4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1， ∴切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3)． (3)∵拋物線的切線與直線x＋8y－3＝0垂直， 則k＝－1，即k＝8， 故f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，∴切點(diǎn)坐標(biāo)為(2,9)． 求切點(diǎn)坐標(biāo)可以按以下步驟進(jìn)行 (1)設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)； (2)利用導(dǎo)數(shù)或斜率公式求出斜率； (3)利用斜率關(guān)系列方程，求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)； (4)把橫坐標(biāo)代入曲線或切線方程，求出切點(diǎn)縱坐標(biāo)．　　　　　　 [活學(xué)活用] 直線l：y＝x＋a(a≠0)和曲線C：y＝x3－x2＋1相切，則a的值為___________，切點(diǎn)坐標(biāo)為____________． 解析：設(shè)直線l與曲線C的切點(diǎn)為(x0，y0)， 因?yàn)閥′＝ ＝3x2－2x， 則y′|x＝x0＝3x－2x0＝1，解得x0＝1或x0＝－， 當(dāng)x0＝1時(shí)，y0＝x－x＋1＝1， 又(x0，y0)在直線y＝x＋a上， 將x0＝1，y0＝1代入得a＝0與已知條件矛盾舍去． 當(dāng)x0＝－時(shí)，y0＝3－2＋1＝， 則切點(diǎn)坐標(biāo)為，將代入直線y＝x＋a中得a＝. 答案：　 層級一　學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo) 1．下面說法正確的是(　　) A．若f′(x0)不存在，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處沒有切線 B．若曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處有切線，則f′(x0)必存在 C．若f′(x0)不存在，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線斜率不存在 D．若曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處沒有切線，則f′(x0)有可能存在 解析：選C　f′(x0)的幾何意義是曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處切線的斜率，當(dāng)切線垂直于x軸時(shí)，切線的斜率不存在，但存在切線． 2．曲線y＝在點(diǎn)的切線的斜率為(　　) A．2　　　　　　　　　　 　B．－2 C．4 D．－4 解析：選D　因?yàn)閥′＝ ＝ ＝ ＝－. 所以曲線在點(diǎn)的切線斜率為k＝y(tǒng)′|x＝＝－4. 3．曲線y＝x3－2在點(diǎn)處切線的傾斜角為(　　) A．1　　　 　B.　　　　C.　　　　D．－ 解析：選B　∵y′＝ ＝ ＝x2， ∴切線的斜率k＝y(tǒng)′|x＝1＝1. ∴切線的傾斜角為，故應(yīng)選B. 4．曲線y＝ax2在點(diǎn)(1，a)處的切線與直線2x－y－6＝0平行，則a等于(　　) A．1 B. C．－ D．－1 解析：選A　∵y′|x＝1＝ ＝ li ＝ (2a＋aΔx)＝2a， ∴2a＝2，∴a＝1. 5．過正弦曲線y＝sin x上的點(diǎn)的切線與y＝sin x的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為(　　) A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．無數(shù)個(gè) 解析：選D　由題意，y＝f(x)＝sin x， 則f′＝ ＝ . 當(dāng)Δx→0時(shí)，cos Δx→1， ∴f′＝0. ∴曲線y＝sin x的切線方程為y＝1，且與y＝sin x的圖象有無數(shù)個(gè)交點(diǎn)． 6．已知函數(shù)y＝f(x)的圖象在點(diǎn)M(1，f(1))處的切線方程是y＝x＋2，則f(1)＋f′(1)＝________. 解析：由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得f′(1)＝，由點(diǎn)M在切線上得f(1)＝1＋2＝，所以f(1)＋f′(1)＝3. 答案：3 7．已知曲線f(x)＝，g(x)＝過兩曲線交點(diǎn)作兩條曲線的切線，則曲線f(x)在交點(diǎn)處的切線方程為____________________． 解析：由，得 ∴兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)． 由f(x)＝， 得f′(x)＝ ＝ ＝， ∴y＝f(x)在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為y－1＝(x－1)． 即x－2y＋1＝0， 答案：x－2y＋1＝0 8．曲線y＝x2－3x的一條切線的斜率為1，則切點(diǎn)坐標(biāo)為________． 解析：設(shè)f(x)＝y(tǒng)＝x2－3x，切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)， f′(x0)＝ ＝ ＝2x0－3＝1，故x0＝2， y0＝x－3x0＝4－6＝－2，故切點(diǎn)坐標(biāo)為(2，－2)． 答案：(2，－2) 9．已知拋物線y＝x2，直線x－y－2＝0，求拋物線上的點(diǎn)到直線的最短距離． 解：根據(jù)題意可知與直線x－y－2＝0平行的拋物線y＝x2的切線對應(yīng)的切點(diǎn)到直線x－y－2＝0的距離最短，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，x)，則y′|x＝x0＝ ＝2x0＝1，所以x0＝，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為， 切點(diǎn)到直線x－y－2＝0的距離d＝＝，所以拋物線上的點(diǎn)到直線x－y－2＝0的最短距離為. 10．已知直線l：y＝4x＋a和曲線C：y＝x3－2x2＋3相切，求a的值及切點(diǎn)的坐標(biāo)． 解：設(shè)直線l與曲線C相切于點(diǎn)P(x0，y0)， ∵＝ ＝(Δx)2＋(3x0－2)Δx＋3x－4x0. ∴當(dāng)Δx→0時(shí)，→3x－4x0， 即f′(x0)＝3x－4x0， 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得3x－4x0＝4， 解得x0＝－或x0＝2. ∴切點(diǎn)的坐標(biāo)為或(2,3)， 當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)， 有＝4＋a， ∴a＝， 當(dāng)切點(diǎn)為(2,3)時(shí)，有3＝42＋a， ∴a＝－5， 當(dāng)a＝時(shí)，切點(diǎn)為； a＝－5時(shí)，切點(diǎn)為(2,3)． 層級二　應(yīng)試能力達(dá)標(biāo) 1.已知y＝f(x)的圖象如圖，則f′(xA)與f′(xB)的大小關(guān)系是(　　) A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)0，對于任意實(shí)數(shù)x，有f(x)≥0，則的最小值為________． 解析：由導(dǎo)數(shù)的定義，得f′(0)＝ ＝ ＝ (aΔx＋b)＝b. 又因?yàn)閷τ谌我鈱?shí)數(shù)x，有f(x)≥0， 則所以ac≥，所以c>0. 所以＝≥≥＝2. 答案：2 7．求曲線y＝和y＝x2在它們交點(diǎn)處的兩條切線與x軸所圍成的三角形的面積． 解：聯(lián)立兩曲線方程，得 解得即交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)． 曲線y＝在點(diǎn)(1,1)處的切線的斜率為 f′(1)＝ ＝ ＝－1， 所以曲線y＝在點(diǎn)(1,1)的切線方程為y－1＝－1(x－1)，即y＝－x＋2. 同理，曲線y＝x2在點(diǎn)(1,1)處的切線的斜率為 f′(1)＝ ＝ ＝ (2＋Δx)＝2. 所以曲線y＝x2在點(diǎn)(1,1)的切線方程為y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，兩條切線y＝－x＋2和y＝2x－1與x軸所圍成的圖形如圖所示．所以S＝1＝.故三角形的面積為. 8．過點(diǎn)P(－1,0)作拋物線y＝x2＋x＋1的切線，求切線方程． 解：設(shè)切線過拋物線上的點(diǎn)Q(x0，x＋x0＋1)，則y′|x＝x0＝ ＝ (2x0＋Δx＋1)＝2x0＋1，因?yàn)榍芯€過點(diǎn)P(－1,0)和點(diǎn)Q(x0，x＋x0＋1)，其斜率滿足＝2x0＋1，所以x＋2x0＝0，解得x0＝0或x0＝－2，所以點(diǎn)(0,1)，(－2,3)是拋物線上的點(diǎn)． 因此在點(diǎn)(0,1)的切線方程為y－1＝x，即x－y＋1＝0；在點(diǎn)(－2,3)的切線方程為y－3＝－3(x＋2)，即3x＋y＋3＝0.所以所求切線方程為x－y＋1＝0和3x＋y＋3＝0.