（浙江專用）2019高考數(shù)學二輪復習 課時跟蹤檢測（十二）“數(shù)列與數(shù)學歸納法”專題提能課.doc

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課時跟蹤檢測（十二） “數(shù)列與數(shù)學歸納法”專題提能課 A組——易錯清零練 1．已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S10＝10，S30＝130，則S40＝(　　) A．－510　　　　　　　 　B．400 C．400或－510 D．30或40 解析：選B　等比數(shù)列{an}中，S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比數(shù)列，且由題意知，S20>0，所以S10(S30－S20)＝(S20－S10)2，即10(130－S20)＝(S20－10)2，解得S20＝40，又(S20－S10)(S40－S30)＝(S30－S20)2，即30(S40－130)＝902，解得S40＝400. 2．在數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋2－an＝1＋(－1)n，那么S100的值為(　　) A．2 500 B．2 600 C．2 700 D．2 800 解析：選B　當n為奇數(shù)時，an＋2－an＝0?an＝1， 當n為偶數(shù)時，an＋2－an＝2?an＝n， 故an＝ 于是S100＝50＋＝2 600. 3．在數(shù)列{an}中，“an＝2an－1，n＝2,3,4，…”是“{an}是公比為2的等比數(shù)列”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選B　當an＝0時，也有an＝2an－1，n＝2,3，4，…，但{an}不是等比數(shù)列，因此充分性不成立；當{an}是公比為2的等比數(shù)列時，有＝2，n＝2,3,4，…，即an＝2an－1，n＝2,3,4，…，所以必要性成立． 4．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝n2＋1，數(shù)列{bn}滿足bn＝，則bn＝________. 解析：當n＝1時，a1＝S1＝2， 因為Sn＝n2＋1，Sn－1＝(n－1)2＋1(n≥2)， 兩式相減得an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)， 所以當n≥2時，an＝2n－1， 又a1＝2不符合上式，所以an＝ 因為bn＝，所以bn＝ 答案： 5．已知一個等比數(shù)列{an}的前4項之積為，第2,3項的和為，則數(shù)列{an}的公比q＝________. 解析：設數(shù)列{an}的前4項分別為a，aq，aq2，aq3， 則可得 所以(1＋q)4＝64q2，即(1＋q)2＝8q， 當q>0時，可得q2－6q＋1＝0， 解得q＝32， 當q<0時，可得q2＋10q＋1＝0， 解得q＝－52. 綜上，q＝32或q＝－52. 答案：32或－52 B組——方法技巧練 1．已知正項數(shù)列{an}中，a1＝1，且(n＋2)a－(n＋1)a＋anan＋1＝0，則它的通項公式為(　　) A．a(chǎn)n＝ B．a(chǎn)n＝ C．a(chǎn)n＝ D．a(chǎn)n＝n 解析：選B　因為(n＋2)a－(n＋1)a＋anan＋1＝0，所以[(n＋2)an＋1－(n＋1)an](an＋1＋an)＝0.又{an}為正項數(shù)列，所以(n＋2)an＋1－(n＋1)an＝0，即＝，則an＝…a1＝…1＝.故選B. 2．(2019屆高三豫南十校聯(lián)考)設f(x)是定義在R上的恒不為零的函數(shù)，且對任意的x，y∈R，都有f(x)f(y)＝f(x＋y)．若a1＝，an＝f(n)(n∈N*)，則數(shù)列{an}的前n項和Sn的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 解析：選C　在f(x)f(y)＝f(x＋y)中，令x＝n，y＝1，得f(n＋1)＝f(n)f(1)，又a1＝，an＝f(n)(n∈N*)，則an＋1＝an，所以數(shù)列{an}是首項和公比都是的等比數(shù)列，其前n項和Sn＝＝1－∈，故選C. 3．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項公式為________． 解析：因為an＋1＝(n∈N*)， 所以＝＋1， 設＋t＝3， 所以3t－t＝1， 解得t＝， 所以＋＝3， 又＋＝1＋＝， 所以數(shù)列是以為首項，3為公比的等比數(shù)列， 所以＋＝3n－1＝， 所以＝，所以an＝. 答案：an＝ 4．(2018惠州調(diào)研)已知數(shù)列{an}中，點(an，an＋1)在直線y＝x＋2上，且首項a1＝1. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，等比數(shù)列{bn}中，b1＝a1，b2＝a2，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，請寫出適合條件Tn≤Sn的所有n的值． 解：(1)根據(jù)已知a1＝1，an＋1＝an＋2， 即an＋1－an＝2＝d， 所以數(shù)列{an}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列， an＝a1＋(n－1)d＝2n－1. (2)數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2. 等比數(shù)列{bn}中，b1＝a1＝1，b2＝a2＝3， 所以q＝3，bn＝3n－1. 數(shù)列{bn}的前n項和Tn＝＝. Tn≤Sn即≤n2，又n∈N*， 所以n＝1或2. C組——創(chuàng)新應用練 1．(2018襄陽四校聯(lián)考)我國古代數(shù)學名著《九章算術》中，有已知長方形面積求一邊的算法，其方法的前兩步為： (1)構造數(shù)列1，，，，…，； ① (2)將數(shù)列①的各項乘以，得到一個新數(shù)列a1，a2，a3，a4，…，an. 則a1a2＋a2a3＋a3a4＋…＋an－1an＝(　　) A. B. C. D. 解析：選C　依題意可得新數(shù)列為，，，…，，所以a1a2＋a2a3＋…＋an－1an＝＝＝＝.故選C. 2．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝log(n＋1)(n＋2)(n∈N*)，我們把使乘積a1a2a3…an為整數(shù)的n叫做“優(yōu)數(shù)”，則在(0,2 018]內(nèi)的所有“優(yōu)數(shù)”的和為(　　) A．1 024 B．2 012 C．2 026 D．2 036 解析：選C　a1a2a3…an＝log23log34log45…log(n＋1)(n＋2)＝log2(n＋2)＝k，k∈Z，令00)的圖象上，若點Bn的坐標為(n,0)(n≥2，n∈N*)，記矩形AnBnCnDn的周長為an，則a2＋a3＋…＋a10＝(　　) A．208 B．212 C．216 D．220 解析：選C　由題意得|AnDn|＝|BnCn|＝n＋，設點Dn的坐標為，則有x＋＝n＋，得x＝(x＝n舍去)，即An，則|AnBn|＝n－，所以矩形的周長為an＝2(|AnBn|＋|BnCn|)＝2＋2＝4n，則a2＋a3＋…＋a10＝4(2＋3＋4＋…＋10)＝216. 5．(2018上海松江區(qū)聯(lián)考)在一個有窮數(shù)列的每相鄰兩項之間添加一項，使其等于兩相鄰項的和，我們把這樣的操作叫做該數(shù)列的一次“H擴展”．已知數(shù)列1,2第一次“H擴展”后得到數(shù)列1,3,2，第二次“H擴展”后得到數(shù)列1,4,3,5,2，那么第10次“H擴展”后得到的數(shù)列的所有項的和為(　　) A．88 572 B．88 575 C．29 523 D．29 526 解析：選B　記第n次“H擴展”后得到的數(shù)列所有項的和為Hn，則H1＝1＋2＋3＝6，H2＝1＋3＋2＋4＋5＝15，H3＝15＋5＋7＋8＋7＝42，從中發(fā)現(xiàn)H3－H2＝27＝33，H2－H1＝9＝32，歸納得Hn－Hn－1＝3n(n≥2)，利用累加法求和得Hn＝，n≥2，所以H10＝＝88 575，故選B. 6．(2018河北衡水中學檢測)對于數(shù)列{an}，定義Hn＝為{an}的“優(yōu)值”，現(xiàn)在已知某數(shù)列{an}的“優(yōu)值”Hn＝2n＋1，記數(shù)列{an－kn}的前n項和為Sn，若Sn≤S5對任意的n∈N*恒成立，則實數(shù)k的取值范圍為________． 解析：由題意知Hn＝＝2n＋1， 所以a1＋2a2＋…＋2n－1an＝n2n＋1， ① 當n≥2時，a1＋2a2＋…＋2n－2an－1＝(n－1)2n， ② ①－②得：2n－1an＝n2n＋1－(n－1)2n， 解得an＝2n＋2，n≥2， 當n＝1時，a1＝4也滿足上式，所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n＋2，且數(shù)列{an}為等差數(shù)列，公差為2. 令bn＝an－kn＝(2－k)n＋2，則數(shù)列{bn}也是等差數(shù)列， 由Sn≤S5對任意的n∈N*恒成立，知2－k<0，且b5＝12－5k≥0，b6＝14－6k≤0， 解得≤k≤. 答案： 7．設函數(shù)f(x)＝＋sin x的所有正的極小值點從小到大排成的數(shù)列為{xn}． (1)求數(shù)列{xn}的通項公式； (2)令bn＝，設數(shù)列的前n項和為Sn，求證：Sn<. 解：(1)f(x)＝＋sin x，令f′(x)＝＋cos x＝0，得x＝2kπ(k∈Z)， 由f′(x)>0?2kπ－0，所以c1＝1. 當n≥2時，c＋c＋c＋…＋c＝T， c＋c＋c＋…＋c＝T. 兩式相減，得c＝T－T ＝(Tn－Tn－1)(Tn＋Tn－1) ＝cn(Tn＋Tn－1)． 因為cn>0，所以c＝Tn＋Tn－1＝2Tn－cn. 顯然c1＝1適合上式， 所以當n≥2時，c＝2Tn－1－cn－1. 于是c－c＝2(Tn－Tn－1)－cn＋cn－1 ＝2cn－cn＋cn－1＝cn＋cn－1. 因為cn＋cn－1>0，所以cn－cn－1＝1， 所以數(shù)列{cn}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列， 所以cn＝n，Tn＝. 所以＝＝不為常數(shù)， 故數(shù)列{cn}不是“幸福數(shù)列”．