(江蘇專用)2019高考數(shù)學二輪復習 第二篇 第11練 空間幾何體的表面積與體積試題 理.docx
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第11練 空間幾何體的表面積與體積 [明晰考情] 1.命題角度:空間幾何體的表面積和體積,與球有關的組合體.2.題目難度:中檔難度. 考點一 空間幾何體的表面積 方法技巧 多面體的表面積為圍成多面體的各個面的面積之和.棱柱的表面積等于它的側面積加底面積;棱錐的表面積等于它的側面積加底面積;棱臺的表面積等于它的側面積加兩個底的面積. 1.若圓柱的底面直徑和高都與球的直徑相等,圓柱、球的表面積分別記為S1,S2,則S1∶S2=________. 答案 3∶2 解析 設球的直徑為2R,則S1∶S2=(2πR2+2πR2R)∶4πR2=3∶2. 2.若圓柱的側面積和體積的值都是12π,則該圓柱的高為________. 答案 3 解析 設圓柱的底面圓半徑為r,高為h,則 解得h=3,r=2,所以該圓柱的高為3. 3.一個圓柱和一個圓錐的軸截面分別是邊長為a的正方形和正三角形,則它們的表面積之比為________. 答案 2∶1 解析 ∵S圓柱=2π2+2πa=πa2, S圓錐=π2+πa=πa2, ∴S圓柱∶S圓錐=2∶1. 4.(2018南通最后一卷)如圖,已知圓錐的高是底面半徑的2倍,側面積為π,若正方形ABCD內接于底面圓O,則四棱錐P-ABCD的側面積為________. 答案 解析 設圓錐底面半徑為r,則高為h=2r,母線長為r, ∵圓錐的側面積為π, ∴πrr=π,r2=, 設正方形邊長為a,則2a2=4r2,a=r, 正四棱錐的斜高為=r, ∴正四棱錐的側面積為4ar=6r2=. 考點二 空間幾何體的體積 方法技巧 空間幾何體的體積可以通過轉換空間幾何體的底面和高,以利于計算. 5.(2018江蘇南京金陵中學期末)如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=3cm,AA1=2cm,則三棱錐A1-AB1D1的體積為________cm3. 答案 3 解析 根據題目條件,在長方體ABCD-A1B1C1D1中, =332=3(cm3), 所以三棱錐A1-AB1D1的體積為3 cm3. 6.已知正六棱錐P-ABCDEF的底面邊長為2,側棱長為4,則此六棱錐的體積為________. 答案 12 解析 由題意得棱錐的高h==2,所以V=2=12. 7.(2017江蘇)如圖,在圓柱O1O2內有一個球O,該球與圓柱的上、下底面及母線均相切.記圓柱O1O2的體積為V1,球O的體積為V2,則的值是________. 答案 解析 設球O的半徑為R, ∵球O與圓柱O1O2的上、下底面及母線均相切, ∴圓柱O1O2的高為2R,底面半徑為R. ∴==. 8.已知一個空間幾何體的所有棱長均為1cm,其表面展開圖如圖所示,則該空間幾何體的體積V=________cm3. 答案 1+ 解析 空間幾何體為一正方體和一正四棱錐的組合體,顯然,正方體的體積為1,正四棱錐的底面邊長為1,側棱長為1,所以,棱錐的高為,所以,正四棱錐的體積為,即組合體的體積為1+. 考點三 多面體與球 要點重組 (1)設球的半徑為R,球的截面圓半徑為r,球心到球的截面的距離為d,則有r=. (2)當球內切于正方體時,球的直徑等于正方體的棱長,當球外接于長方體時,長方體的體對角線長等于球的直徑;當球與正方體各棱都相切時,球的直徑等于正方體底面的對角線長. (3)若正四面體的棱長為a,則正四面體的外接球半徑為a,內切球半徑為a. 9.已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上,SA⊥平面ABC,SA=2,AB=1,AC=2,∠BAC=60,則球O的表面積為________. 答案 16π 解析 在△ABC中, BC2=AB2+AC2-2ABACcos60=3, ∴AC2=AB2+BC2,即AB⊥BC. 又SA⊥平面ABC, ∴三棱錐S-ABC可補成分別以AB=1,BC=,SA=2為長、寬、高的長方體, ∴球O的直徑為=4, 故球O的表面積為4π22=16π. 10.將棱長為2的正方體木塊削成一個體積最大的球,則該球的體積為________. 答案 解析 由題意知,此球是正方體的內切球,根據其幾何特征知,此球的直徑與正方體的棱長是相等的,故可得球的直徑為2,故半徑為1,其體積是π13=. 11.已知一個棱長為4的正方體,過正方體中兩條互為異面直線的棱的中點作直線,則該直線被正方體的外接球球面截在球內的線段長是________. 答案 2 解析 在正方體ABCD-A1B1C1D1中,以點D為坐標原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系D-xyz,如圖所示,球的半徑為2,球心O(2,2,2),M(4,0,2),N(0,2,4),MN的中點坐標為(2,1,3),球心到MN的距離為,所以該直線被正方體的外接球球面截在球內的線段長是2=2. 12.已知底面為正三角形的三棱柱內接于半徑為1的球,則此三棱柱的體積的最大值為________. 答案 1 解析 如圖,設球心為O,三棱柱的上、下底面的中心分別為O1,O2,底面正三角形的邊長為a, 則AO1=a=a. 由已知得O1O2垂直于底面,在Rt△OAO1中,由勾股定理得 OO1==, 所以V三棱柱=a22=. 令f(a)=3a4-a6(00;當a∈(,)時,f′(a)<0,所以函數(shù)f(a)在(0,)上單調遞增,在(,)上單調遞減. 所以f(a)在a=處取得極大值. 因為函數(shù)f(a)在區(qū)間(0,)上有唯一的極值點,所以a=也是最大值點.所以(V三棱柱)max==1. 1.正三棱錐的底面邊長為a,高為a,則此棱錐的側面積為________. 答案 a2 解析 如圖,在正三棱錐S—ABC中,過點S作SO⊥平面ABC于點O,則O為△ABC的中心,連結AO并延長與BC相交于點M,連結SM,SM即為斜高h′,在Rt△SMO中, h′==a, 所以側面積S=3aa=a2. 2.(2018揚州檢測)已知正四棱柱的底面邊長為2cm,側面的對角線長是cm,則這個正四棱柱的體積是________cm3. 答案 4 解析 設正四棱柱的高為h,∵正四棱柱的底面邊長為2, 側面的對角線長是, ∴=,解得h=, ∴這個正四棱柱的體積V=Sh=4=4(cm3). 3.一個圓錐過軸的截面為等邊三角形,它的頂點和底面圓周在球O的球面上,則該圓錐的體積與球O的體積的比值為________. 答案 解析 設等邊三角形的邊長為2a,球O的半徑為R, 則V圓錐=πa2a=πa3. 又R2=a2+(a-R)2,所以R=a, 故V球=3=πa3,故其體積比值為. 4.已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上,SC是球O的直徑.若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱錐S-ABC的體積為9,則球O的表面積為________. 答案 36π 解析 如圖,連結OA,OB. 由SA=AC,SB=BC,SC為球O的直徑知,OA⊥SC,OB⊥SC. 又由平面SCA⊥平面SCB,平面SCA∩平面SCB=SC知, OA⊥平面SCB. 設球O的半徑為r,則OA=OB=r,SC=2r, ∴三棱錐S-ABC的體積 V=OA=, 即=9,∴r=3,∴S球表=4πr2=36π. 1.將斜邊長為4的等腰直角三角形繞其斜邊所在直線旋轉一周,則所形成的幾何體的體積是________. 答案 解析 等腰直角三角形的斜邊長為4,斜邊的高為2. ∴旋轉后的幾何體為兩個大小相等的圓錐的組合體. 圓錐的底面半徑為2,高為2. ∴幾何體的體積V=2π42=. 2.已知圓錐的側面展開圖是一個圓心角為120且面積為3π的扇形,則該圓錐的體積為________. 答案 π 解析 設圓錐的底面半徑為r,高為h,母線長為l.則解得故h==2, 所以圓錐的體積V=πr2h=π122=π. 3.如圖,在正方體ABCD—A1B1C1D1中,三棱錐D1—AB1C的表面積與正方體的表面積的比為________. 答案 1∶ 解析 設正方體棱長為1,則其表面積為6,三棱錐D1—AB1C為正四面體,每個面都是邊長為的正三角形,其表面積為4=2,所以三棱錐D1—AB1C的表面積與正方體的表面積的比為1∶. 4.(2018蘇州調研)如圖,在體積為V1的圓柱中挖去以圓柱上、下底面為底面、共頂點的兩個圓錐,剩余部分的體積為V2,則=________. 答案 解析 設上、下圓錐的高分別為h1,h2,圓柱的底面圓的半徑為r,圓柱的高為h, 則===. 5.(2018江蘇)如圖所示,正方體的棱長為2,以其所有面的中心為頂點的多面體的體積為________. 答案 解析 由題意知所給的幾何體是棱長均為的八面體,它是由兩個有公共底面的正四棱錐組合而成的,正四棱錐的高為1,所以這個八面體的體積為2V正四棱錐=2()21=. 6.如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1是棱長為1的正方體,四棱錐S-ABCD是高為1的正四棱錐,若點S,A1,B1,C1,D1在同一個球面上,則該球的表面積為__________. 答案 π 解析 作如圖所示的輔助線,其中O為球心,設OG1=x,則OB1=SO=2-x,由正方體的性質知,B1G1=,則在Rt△OB1G1中,OB=G1B+OG,即(2-x)2=2+x2,解得x=,所以球的半徑R=OB1=, 所以球的表面積為S=4πR2=π. 7.如圖,側棱長為2的正三棱錐V-ABC中,∠AVB=∠BVC=∠CVA=40,過點A作截面△AEF,則截面△AEF的周長的最小值為____________. 答案 6 解析 沿著側棱VA把正三棱錐V-ABC展開在一個平面內,如圖, 則AA′即為截面△AEF周長的最小值,且∠AVA′=340=120. 在△VAA′中,由余弦定理可得AA′=6. 8.(2018泰州聯(lián)考)已知正四棱錐底面正方形的邊長為2,體積為,則此正四棱錐的側棱長為________. 答案 解析 設正四棱錐的高為h,則由題意得=22h, 解得h=1. 又正四棱錐底面正方形的對角線長為2, ∴正四棱錐的側棱長為=. 9.已知在三棱錐A-BCD中,AB=AC=BC=2,BD=CD=,點E是BC的中點,點A在平面BCD上的投影恰好為DE的中點F,則該三棱錐外接球的表面積為________. 答案 解析 連結BF,由題意,得△BCD為等腰直角三角形,E是外接圓的圓心. ∵點A在平面BCD上的投影恰好為DE的中點F, ∴BF==, ∴AF==. 設球心O到平面BCD的距離為h, 則1+h2=+2, 解得h=, ∴外接球的半徑r==, 故該三棱錐外接球的表面積為4π=. 10.(2018江蘇蘇州實驗中學期中)如圖,正四棱錐P-ABCD的底面一邊AB的長為2,側面積為8,則它的體積為________. 答案 4 解析 設正四棱錐的斜高為h,由題意得24h=8,所以h=2,則四棱錐的高H==1,所以該四棱錐的體積V=SH=(2)21=4. 11.(2018江蘇姜堰中學等聯(lián)考)正方形鐵片的邊長為8cm,以它的一個頂點為圓心,一邊長為半徑畫弧剪下一個頂角為的扇形,用這塊扇形鐵片圍成一個圓錐形容器,則這個圓錐形容器的容積為________cm3. 答案 π 解析 由題意知,弧長為8=2π, 即圍成圓錐形容器底面周長為2π, 所以圓錐底面半徑r=1, 可得圓錐高h=3, 所以容積V=πr2h=π13=π(cm3). 12.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB⊥BC,AB=3,BC=4,AA1=5,若三棱柱的所有頂點都在同一球面上,則該球的表面積為________. 答案 50π 解析 ∵ABC-A1B1C1是直三棱柱, ∴A1A⊥AC,又三棱柱的所有頂點都在同一球面上, ∴A1C是球的直徑, ∴R=.∵AB⊥BC, ∴AC==5, ∴A1C2=52+52=50. 故該球的表面積為S=4πR2=4π2=πA1C2=50π .- 配套講稿:
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