高中數(shù)學(xué) 第四講 變換的不變量與矩陣的特征向量 4.2 特征向量的應(yīng)用課件 新人教A版選修4-2.ppt

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二特征向量的應(yīng)用 1 利用矩陣A的特征值 特征向量給出An 的簡單的表示 并能用它來解決問題 2 會利用特征向量解決簡單的實(shí)際問題 1 2 1 An 的簡單表示設(shè)A是一個二階矩陣 是矩陣A的屬于特征值 的任意一個特征向量 則An n n N 名師點(diǎn)撥由此可把矩陣的乘方轉(zhuǎn)為實(shí)數(shù)的乘方 比較簡便 1 2 1 2 1 2 2 性質(zhì)設(shè) 1 2是二階矩陣A的兩個不同特征值 1 2是矩陣A的分別屬于特征值 1 2的特征向量 對于任意的非零平面向量 設(shè) t1 1 t2 2 其中t1 t2為實(shí)數(shù) 則對任意的正整數(shù)n 有名師點(diǎn)撥由于 1和 2是矩陣A的分別屬于特征值 1 2的特征向量 所以 1與 2不共線 由平面向量的基本定理 知平面內(nèi)的任意一個非零向量 都可以用 1和 2表示出來 即存在兩個實(shí)數(shù)t1 t2使 t1 1 t2 2 也就是 可以用特征向量表示出來 1 2 1 2 1 設(shè)二階矩陣A的兩個特征值 1 2對應(yīng)的兩個特征向量分別為 1 2 為二階矩陣A對應(yīng)的線性變換 為平面內(nèi)的任意一個向量 那么An n N 能否用 1和 2表示出來呢 剖析 因?yàn)?1 2是二階矩陣A的兩個特征向量 所以 1 2不共線 則平面內(nèi)的任意一個向量 就可以用 1 2表示出來 即存在實(shí)數(shù)t1 t2使得 t1 1 t2 2 A 1 1 1 A 2 2 2 所以 A A t1 1 t2 2 t1 A 1 t2 A 2 t1 1 1 t2 2 2 2 A2 A A A t1 1 1 t2 2 2 t1 1 A 1 t2 2 A 2 2 求An 的基本步驟是什么 剖析 第一步 由特征向量的定義A 求出特征值 和相應(yīng)的特征向量 第二步 把向量 改寫為用 1和 2表示 即 t1 1 t2 2 第三步 由性質(zhì)公式計(jì)算 題型一 題型二 題型一 題型二 題型一 題型二 反思利用特征值和特征向量的知識 可以方便地計(jì)算多次變換的結(jié)果 題型一 題型二 例2 當(dāng)兔子和狐貍處于同一棲息地時 忽略其他因素 只考慮兔子數(shù)量和狐貍數(shù)量的相互影響 為了簡便起見 不妨做如下假設(shè) 1 由于自然繁殖 兔子數(shù)每年增長10 狐貍數(shù)每年減少15 2 由于狐貍吃兔子 兔子數(shù)每年減少狐貍數(shù)的0 15倍 狐貍數(shù)每年增加兔子數(shù)的0 1倍 3 第n年時 兔子數(shù)量用Rn表示 狐貍數(shù)量用Fn表示 4 初始時刻 即第0年 兔子數(shù)量有R0 100只 狐貍數(shù)量有F0 30只 這樣 兔子和狐貍的生態(tài)模型為試用矩陣知識求出Rn Fn關(guān)于n的關(guān)系式 并討論當(dāng)n越來越大時 兔子和狐貍的數(shù)量是否能達(dá)到一個穩(wěn)定的平衡狀態(tài) 題型一 題型二 分析 根據(jù)已知條件首先要轉(zhuǎn)化為向量表示及其矩陣形式表示 其次求出矩陣的特征值及其特征向量 最后解答 題型一 題型二 和Fn分別趨向常量210和140 即隨著時間的增加 兔子和狐貍的數(shù)量逐漸增加 當(dāng)時間充分長后 兔子和狐貍的數(shù)量達(dá)到一個穩(wěn)定的平衡狀態(tài) 題型一 題型二 反思解決實(shí)際問題時 需要先從題目中提煉出信息 本題轉(zhuǎn)為矩陣表示 用矩陣及特征向量表示解答問題 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 5 自然界生物種群的成長受到多種條件因素的影響 比如出生率 死亡率 資源的可利用性以及競爭 捕食者的獵殺乃至自然災(zāi)害等等 因此它們和周邊環(huán)境是一種既相生又相克的生存關(guān)系 但是如果沒有任何限制 種群也會泛濫成災(zāi) 現(xiàn)假設(shè)兩個互相影響的種群X Y隨時間段變化的數(shù)量分別為 an bn 并有關(guān)系式 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5