高中數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式高效整合課件 新人教A版選修4-5.ppt

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知識(shí)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建 考綱考情點(diǎn)擊 課標(biāo)導(dǎo)航 1 本講的內(nèi)容一是數(shù)學(xué)歸納法 二是用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 主要題型是用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)n有關(guān)的等式 不等式 整除問題 幾何命題 數(shù)列中的歸納猜想并證明 以及用貝努利不等式證明一些簡單問題 2 本講的重點(diǎn)是數(shù)學(xué)歸納法的概念和證明等式和不等式問題 難點(diǎn)是與數(shù)列結(jié)合的證明題 題型屬于中檔題 與數(shù)列有關(guān)的證明屬于難度題 命題探究 熱點(diǎn)考點(diǎn)例析 開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法時(shí) 常常會(huì)遇到兩個(gè)困難 一是數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)不容易理解 二是歸納步驟的證明有時(shí)感到難以入手 本部分將對(duì)幾種常見的錯(cuò)誤及歸納步驟證明的基本方法進(jìn)行討論 進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)歸納法的原理 弄清它的實(shí)質(zhì) 明確如何正確使用數(shù)學(xué)歸納法 數(shù)學(xué)歸納法的使用 兩步缺一不可 1 缺第二步不可如果一個(gè)命題對(duì)于開始的一些正整數(shù)都成立 那么由P k 成立導(dǎo)出P k 1 成立是必然的 因此第二步歸納步驟是流于形式 證與不證似乎一樣 顯然這是不正確的 產(chǎn)生這種錯(cuò)誤想法的原因在于沒有認(rèn)識(shí)到歸納步驟所起的遞推作用 如果沒有遞推性 那么一個(gè)命題可能對(duì)于開始的許多正整數(shù)都成立 但是一般的并不成立 2 缺第一步也不可數(shù)學(xué)歸納法的第二步歸納步驟中有遞推作用 而且k又可以任意取值 這樣就夠了 有沒有第一步無關(guān)緊要 這種認(rèn)識(shí)也是錯(cuò)誤的 它忽視了第一步的奠基作用 因此如果沒有P 1 成立 歸納假設(shè)P k 成立就沒有了依據(jù) 因此遞推性也就成了無源之水 不要奠基步驟 我們來證明 n 1 2 n 2 2一定是偶數(shù) n N 解析 假設(shè)n k時(shí)命題成立 即 k 1 2 k 2 2是偶數(shù) 當(dāng)n k 1時(shí) k 1 1 2 k 1 2 2 k 2 2 k 1 2 4 k 1 4 k 1 2 k 2 2 4 k 2 由假設(shè) k 1 2 k 2 2是偶數(shù) 又4 k 2 也是偶數(shù) 所以上式是偶數(shù) 這就是說n k 1時(shí)命題也成立 由此 對(duì)于任意的正整數(shù)n n 1 2 n 2 2一定是偶數(shù) 技巧歸納 這個(gè)結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的 原因就在于證明中缺少第一步奠基步驟 實(shí)際上 n 1時(shí) 1 1 2 1 2 2 4 9 13不是偶數(shù) 這說明使用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)缺第一步不可 在使用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí) 一般說來 第一步驗(yàn)證比較簡明 而第二步歸納步驟情況較復(fù)雜 因此 熟悉歸納步驟的證明方法是十分重要的 其實(shí)歸納步驟可以看作是一個(gè)獨(dú)立的證明問題 歸納假設(shè) P k 是問題的條件 而命題P k 1 成立就是所要證明的結(jié)論 因此 合理運(yùn)用歸納假設(shè)這一條件就成了歸納步驟中的關(guān)鍵 下面簡要分析一些常用技巧 1 分析綜合法用數(shù)學(xué)歸納假設(shè)證明關(guān)于自然數(shù)n的不等式 從 P k 到 P k 1 常?？捎梅治鼍C合法 數(shù)學(xué)歸納法證題的常用技巧 方法技巧 在第二步的證明中 利用了分析法 思維導(dǎo)引 利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式關(guān)鍵是利用放縮 湊假設(shè) 湊結(jié)論 但要注意從n k變化到n k 1時(shí)增了多少項(xiàng) 少了多少項(xiàng) 一般用f k 1 f k 來研究增加或減少的項(xiàng)的多少 3 遞推法用數(shù)學(xué)歸納法證明與數(shù)列有關(guān)的問題時(shí) 有時(shí)要利用an與an 1的關(guān)系 實(shí)現(xiàn)從 n k 到 n k 1 的過渡 方法技巧 利用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題 關(guān)鍵是找出由n k到n k 1時(shí)的增量 5 湊成法用數(shù)學(xué)歸納法證明關(guān)于正整數(shù)的命題 尤其是整除 時(shí) 從 k 過渡到 k 1 常常用湊成法 由假設(shè)可知3 62k 3k 2 3k 是11的倍數(shù) 而33 62k也是11的倍數(shù) 即n k 1時(shí) 原命題成立 由 1 2 可知 對(duì)任意n N 原命題成立 方法技巧 利用數(shù)學(xué)歸納法證明等式或整除問題 關(guān)鍵是利用 加 減 項(xiàng) 拆 并 項(xiàng)等恒等變形的方法 去 湊 假設(shè) 湊 結(jié)論 1 特殊與一般思想人們對(duì)一類新事物的認(rèn)識(shí)往往是從這類事物中的個(gè)體開始的 通過對(duì)某些個(gè)體的認(rèn)識(shí)與研究 逐漸積累對(duì)這類事物的了解 逐漸形成對(duì)這類事物總體的認(rèn)識(shí) 發(fā)現(xiàn)特點(diǎn) 掌握規(guī)律 形成共識(shí) 由淺入深 由現(xiàn)象到本質(zhì) 由局部到整體 這種認(rèn)識(shí)事物的過程是由特殊到一般的認(rèn)識(shí)過程 這種由特殊到一般 由一般到特殊的研究數(shù)學(xué)問題的思想 就是數(shù)學(xué)研究中的特殊與一般思想 本章的許多問題都是從特殊開始 通過歸納總結(jié)得出結(jié)論 然后再用數(shù)學(xué)歸納法證明 數(shù)學(xué)歸納法中的數(shù)學(xué)思想 將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣 如右圖所示 按照以上排列的規(guī)律 第n行 n 3 從左向右的第3個(gè)數(shù)為 思維導(dǎo)引 觀察數(shù)陣知 從上到下是自然數(shù)列1 2 3 n 第n行的第一個(gè)數(shù)是前n 1行正整數(shù)的個(gè)數(shù)加1 方法技巧 此類問題解決的方法是通過觀察 比較 分析 總結(jié) 運(yùn)用歸納 類比推理獲得結(jié)論 最后證明結(jié)論正確 簡言之 歸納 猜想 數(shù)學(xué)歸納法 2 分類討論的思想方法所謂分類討論 就是當(dāng)問題所給的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí) 就需要對(duì)研究對(duì)象按某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)分類 然后對(duì)每一類分別研究得出每一類的結(jié)論 最后綜合各類結(jié)果得到整個(gè)問題的解答 實(shí)質(zhì)上 分類討論是 化整為零 各個(gè)擊破 再積零為整 的數(shù)學(xué)策略 本章中利用數(shù)學(xué)歸納法證明某些條件不等式問題時(shí) 常進(jìn)行分類討論 因?yàn)閍1 1 a2 1所以 a1 1 a2 1 0 即a1 a2 a1a2 1成立 由 得 所以當(dāng)n k 1時(shí) 命題成立 由 1 2 可知 對(duì)一切正整數(shù)n 如果n n為正整數(shù) 個(gè)正數(shù)a1 a2 an的乘積a1a2 an 1 那么它們的和a1 a2 an n 方法技巧 為了能夠利用歸納假設(shè) 把乘積看作一個(gè)數(shù)處理 這就是數(shù)學(xué)中的整體思想 希望大家重視