六年級奧數(shù)培優(yōu)資料教師.docx

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六年級奧數(shù)培優(yōu)資料教師 例題一、某印刷廠按計(jì)劃每天印刷50萬冊練習(xí)本，實(shí)際每天印刷56萬冊。這樣，不僅提前3天完成原計(jì)劃印刷的任務(wù)，而且還多印刷了120萬冊。這個(gè)印刷廠實(shí)際印制了多少萬冊練習(xí)本？ 解析：如果按原計(jì)劃的天數(shù)印刷，印刷的冊數(shù)就會比原計(jì)劃多563+120=288（萬冊），為什么會多印刷288萬冊呢？是因?yàn)槊刻於嘤∷⒘?6-50=6萬冊。因此，原計(jì)劃印刷的天數(shù)是2886=48天，實(shí)際印刷了5048+120=2520（萬冊） 也可以利用方程，設(shè)原計(jì)劃X天，計(jì)劃的本數(shù)做等量關(guān)系。 練習(xí): 1、 某部隊(duì)準(zhǔn)備開車從派出所到目的地執(zhí)行任務(wù)，原計(jì)劃每小時(shí)行40千米，實(shí)際每小時(shí)多行了10千米，這樣比原計(jì)劃提前2小時(shí)到達(dá)了乙地。甲、乙兩地相距多少千米？ 解析：（40+10）210=10（小時(shí)） 1040=400(千米) 2、 一個(gè)玩具廠原計(jì)劃每天做80個(gè)玩具，正好可以按期完成任務(wù)。由于工人們提高了工作效率，實(shí)際每天多做20個(gè)玩具。這樣不僅提前4天完成了任務(wù)，還多做了100個(gè)玩具。問他們實(shí)際做了多少個(gè)玩具？ 解析：（1004+100）（100-80）=25天 2580+100=2100（個(gè)） 例題二、甲倉的存油是乙倉的3倍，每天從甲倉運(yùn)出10噸存油，從乙倉運(yùn)出3噸存油。某天，甲倉的存油正好運(yùn)完，而乙倉還剩下8噸。問甲、乙兩倉原來各有存油多少噸？ 解析：假設(shè)乙倉的存油是原來的3倍，這樣就和甲倉的存油相等。在此前提下，再假設(shè)每天從乙倉運(yùn)出（3個(gè)3噸）9噸存油，根據(jù)題意，某天甲倉存油正好運(yùn)完時(shí)，這時(shí)的乙倉還剩存油（3個(gè)8噸）24噸。也就是說，當(dāng)甲、乙兩倉庫存油噸數(shù)相等時(shí)，每天從甲倉運(yùn)出10噸，從乙倉運(yùn)出9噸存油，甲倉運(yùn)完時(shí)，乙倉還剩下24噸，由此我們可以求出運(yùn)的天數(shù)，從而求出甲、乙兩倉原有的存油噸數(shù)。83（10-33）=24天，甲:1024=240（噸） 乙：324+8=80噸?；蛄蟹匠探?，設(shè)乙倉庫為X，天數(shù)為等量關(guān)系。 練習(xí)：1、甲倉庫存米是乙倉庫的3倍，每天從甲倉庫運(yùn)出10噸米，從乙倉庫運(yùn)出2噸米。若干天后，甲倉庫還剩下6噸，乙倉庫還剩下30噸。甲、乙兩倉庫原有糧食各多少噸？ 解析：（3030-6）（10-23）=21天 1021+6=216噸 221+30=72噸 練習(xí)：2、甲煤場的存煤是乙煤場的2倍，每天從甲煤場運(yùn)出12噸煤，從乙煤場運(yùn)出5噸煤。若干天后，甲煤場正好運(yùn)完，而乙煤場還剩下18噸。甲、乙兩個(gè)煤場原有存煤多少噸？ 解析：182（12-52）=18天 1218=216噸 518+18=108噸 例題三、甲城有177噸貨物。大卡車的載重量是5噸，小卡車的載重量是2噸。大小卡車跑一趟的耗油量分別是10升和5升。要跑一趟把這些貨物全部運(yùn)到乙城，需用大、小卡車各多少輛來運(yùn)輸時(shí)耗油量最少？ 解析：大卡車一次運(yùn)5噸，耗油10升，平均運(yùn)1噸貨耗油105=2升，小卡車一次運(yùn)2噸，耗油5升，平均運(yùn)1噸貨耗油52=2.5升。顯然，為耗油量最少應(yīng)該盡可能用大卡車。1775=35輛……2噸，余下的正好用小卡車運(yùn)。因此，用35輛大卡車和1輛小卡車運(yùn)耗油最少。因?yàn)?05<52，所以盡量用大卡車。 練習(xí)：某班有60人，其中42人會游泳，46人會騎車，50人會溜冰，55人會打乒乓球。可以肯定至少有多少人四項(xiàng)都會？ 解析：[（42+46+50+55）-60]4=33人……1 ，所以至少33人四項(xiàng)都會。 例題四、一艘輪船發(fā)生漏水事故，立即安裝兩臺抽水機(jī)向外抽水，此時(shí)已進(jìn)水800桶。一臺抽水機(jī)每分鐘抽水18桶，另一臺每分鐘抽水14桶，50分鐘把水抽完。求每分鐘進(jìn)水多少桶？ 解析：50分鐘內(nèi)，兩臺抽水機(jī)一共能抽水（18+14）50=1600桶。1600桶水中，有800桶是開始抽之前就漏進(jìn)的，另800桶是50分鐘內(nèi)又漏進(jìn)的。因此，每分鐘進(jìn)水80050=16（桶）。 練習(xí)：1、一個(gè)水池能裝8噸水，水池里裝有一個(gè)進(jìn)水管和一個(gè)出水管。兩管齊開，20分鐘能把一池子放完。已知進(jìn)水管每分鐘往池是進(jìn)水0.8噸，求出水管每分鐘放水多少噸？ 解析：（0.820+8）20=1.2噸 例題五、某次數(shù)學(xué)競賽共有12道題，做對一道題得10分，做錯(cuò)或不做一道題倒扣8分。小明最后得了66分。他做對了幾道題？ 解析：假設(shè)王毅12道題全部做對了，共得1012=120（分），比實(shí)際得分多算了120-66=54分。為什么？ 是因?yàn)榘彦e(cuò)題或者沒做的題看作對題時(shí)，每道題的扣分沒有扣，還得了分，多算了8+10=18分，多少道題多算54分？5418=3道。錯(cuò)了3道，對了12-3=9道。 1、 小娟、小軍二人玩投飛鏢比賽，規(guī)定每中一次記10分，脫靶一次倒扣6分。兩人各投10次，共得152分，其中小軍比小娟多得16分。問兩人各中多少次？ 解析：（152+16）2=84分 10-（1010-84）（10+6）=9次 小軍 152-84=68分 10-（1010-68）（10+6）=8次 小娟 2、 一張數(shù)學(xué)試卷，只有25道選擇題，做對一題得4分，做錯(cuò)一題倒扣1分，不做不得分也不扣分。小雨同學(xué)得了78分，那么他做對幾題？做錯(cuò)幾題？幾題未做？ 解析：784=19.5>19，就是說小雨至少做對20道題，假設(shè)她做對21題，即使其余4題全做錯(cuò)了，也應(yīng)得214-41=80分>78分，所以小雨做對20題，204-78=2（題）……錯(cuò)題，25-20-2=3（題）……未做題。 例題六、五年級某班有51個(gè)同學(xué)，他們要搬51張課桌椅。規(guī)定男生每人搬2張，女生兩人搬一張。求這個(gè)班有男生、女生各有多少人？ 解析：假設(shè)51個(gè)全是男生，能搬251=102張桌椅，比實(shí)際搬的多出了102-51=51（張）。把2個(gè)男生換成2個(gè)女生就少搬3張，513=17個(gè)，因此這個(gè)班有217=34（個(gè)）女同學(xué)。有51-34=17個(gè)男同學(xué)。 1. 某班有40個(gè)同學(xué)去種樹，男生平均每人種3棵，女生平均每人種2棵。已知男生比女生多種35棵，求男、女生各有多少人？ 解析：（403-35）（3+2）=17人 女生 40-17=23（人） 男生 2、100個(gè)和尚吃100個(gè)饅頭，大和尚一人吃3個(gè)，小和尚三人吃一個(gè)。問共有幾個(gè)大和尚？幾個(gè)小和尚？ 解析：假設(shè)一個(gè)大和尚和3個(gè)小和尚一組，則有100（3+1）=25組 大和尚是251=25個(gè)，小和尚是253=75個(gè)。 第二講 綜合行程問題突破 例題1、客車和貨車同時(shí)從A、B兩地相向開出，客車每小時(shí)行60千米，貨車每小時(shí)行80千米。兩車在距中點(diǎn)30千米處相遇。求A、B兩地相距多少千米？ 解析：兩車相遇時(shí)，貨車比客車多行了302=60千米，兩車同時(shí)出發(fā)，為什么貨車會比客車多行了60千米呢？因?yàn)樨涇嚸啃r(shí)比客車多行了80-60=20千米，60里包含3個(gè)20，所以此時(shí)兩車各行了3小時(shí)，A、B兩地的路程只要用（60+80）3得出420千米。 練習(xí)：1甲、乙兩輛汽車同時(shí)從A、B兩地相向開出，甲車每小時(shí)行56千米，乙車每小時(shí)行48千米。兩車在距中點(diǎn)32千米處相遇。A、B兩地相距多少千米? 解析：322(56-48)（56+48）=832（千米） 例題2、一輛汽車從甲地開往乙地，要行360千米。開始按計(jì)劃以每小時(shí)45千米的速度行駛，途中因汽車出了故障修車2小時(shí)。因?yàn)橐磿r(shí)到達(dá)乙地，修好車后必須每小時(shí)多行30千米。問汽車是在離甲地多遠(yuǎn)處修車的？ 解析：途中修車用了2小時(shí)，汽車就少行452=90千米。修車后，為了按時(shí)到達(dá)乙地，每小時(shí)必須多行30千米。90千米里面包含有3個(gè)30千米，也就是說，再行3小時(shí)就能把少行的90千米行完。因此，修車后再行（45+30）3=225千米就能到達(dá)乙地，汽車是在離甲地360-225=135千米處修車的。 45230=3小時(shí) 360-（45+30）3=135千米 練習(xí)：1、王老師家離學(xué)校3千米，他每天騎自行車以每分鐘200米的速度上班，正好準(zhǔn)時(shí)到達(dá)學(xué)校。有一天，他出發(fā)幾分鐘后，因遇到家長停車2分鐘，為了準(zhǔn)時(shí)能到學(xué)校上課，后面的路必須每分鐘多行100米，求王老師是在離學(xué)校多遠(yuǎn)處遇到家長的？ 解析：2002100（200+100）=1200米 2、一輛汽車以每小時(shí)30千米的速度從甲地出發(fā)，6小時(shí)后能到達(dá)乙地。汽車出發(fā)1小時(shí)后按原路返回甲地取東西，然后立即從甲地出發(fā)。為了能在原來的時(shí)間內(nèi)到達(dá)乙地，汽車必須以每小時(shí)多少千米的速度從甲地駛向乙地？ 解析：306（6-2）=45千米 例題3、一條長400米的環(huán)形跑道，張軍練習(xí)騎自行車，他每分鐘行560米，王強(qiáng)練長跑，他每分鐘跑240米。兩人同時(shí)從同地同向出發(fā)，求經(jīng)過多少分鐘兩人可以相遇？ 解析：這是一道追及問題，因?yàn)閮扇嗽谝粋€(gè)環(huán)形跑道上同時(shí)同地同向地跑，所以跑得快的人會把跑得慢的人越“丟”越遠(yuǎn)，最后就追上跑得慢的人，此時(shí)跑得快的人恰好比跑得慢的人多跑了一圈。所以400（560-240）=1.25分。 練習(xí)：有一圈長80米的圓形走廊，兄弟兩人同時(shí)同向，從同一處沿著走廊出發(fā)進(jìn)行鍛煉，弟弟以每秒1米的速度步行，哥哥以每秒5米的速度跑步。求哥哥在第二次追上弟弟時(shí)，所用的時(shí)間是多少秒？ 解析：802（5-1）=40秒 例題4、爸爸和小輝沿著600米長的環(huán)形跑道鍛煉，他們兩人同時(shí)在同一地點(diǎn)都按順時(shí)針方向跑步，每隔12分鐘相遇一次。若兩人速度不變，還是在原出發(fā)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，爸爸改為逆時(shí)針方向跑，則每隔4分鐘相遇一次。求兩人跑一圈各要幾分鐘？ 解析：要求兩人跑一圈各要幾分鐘，就要分別求出兩人的速度。根據(jù)同向而行，12分鐘相遇一次，可知這是追及問題，當(dāng)爸爸比小輝多跑一圈（600米）時(shí)兩人相遇。這樣我們可以求出父子的速度差。再根據(jù)相背而行，4分鐘相遇一次，可知這是相遇問題，當(dāng)父子合跑了一圈時(shí)，兩人相遇。這樣，我們又可以求得父子的速度和。根據(jù)父子兩人的速度和與速度差，可求得他們各自的速度。 爸爸的速度：（6004+60012）2=100米/分 小輝的速度：100-60012=50米/分 爸爸跑一圈所需時(shí)間：600100=6分鐘 小輝跑一圈所需時(shí)間：60050=12分 練習(xí)：在長600米的環(huán)形跑道上，甲、乙兩人同時(shí)同地同向出發(fā)，跑了400秒后，甲第一次追上乙。已知甲、乙的速度和為每秒6.5米，求甲、乙兩人的速度各是多少？ 解析：400秒內(nèi)甲比乙多走一圈。因此甲每秒比乙多跑600400=1.5米。知道了兩人的速度差為1.5米，又知道速度和為6.5米，速度分別為（6.5+1.5）2=4米。乙的速度為每秒6.5-4=2.5米。 例題5、在一個(gè)圓形的跑道上，小軍從A點(diǎn)、小強(qiáng)從B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反方向行走。6分鐘后，小軍與小強(qiáng)相遇；再過4分鐘，小軍到達(dá)B點(diǎn)；又通過8分鐘，與小強(qiáng)再次相遇。問小軍環(huán)行一周要多少分鐘？ 解析：小軍走4分鐘的路程，相當(dāng)于小強(qiáng)走6分鐘的路程。從第一次相遇到再次相遇，小軍走4+8=12分，當(dāng)然，小強(qiáng)也走了12分鐘，但是他走的這段路程，如果讓小軍走的話，只需8分鐘。又因?yàn)閺牡谝淮蜗嘤龅皆俅蜗嘤?，小?qiáng)走的路和小軍走的路剛好是一周。所以小軍環(huán)行一周要12+8=20分。 練習(xí)：兄弟兩人在周長400米的環(huán)形跑道上跑步，他們從同一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，背向而行，兄每秒跑6米，弟每秒跑4米，他們連續(xù)跑了10分鐘，那么在這段時(shí)間里他們一共相遇了多少次？ 解析：6010[400（6+4）]=15次 例題6、跑馬場一周長為1080米，甲、乙兩人騎自行車從同一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，朝同一個(gè)方向行駛，經(jīng)過54分鐘后，甲追上了乙。如果甲每分鐘減少50米，乙每分鐘增加30米，從同一地點(diǎn)同時(shí)背向而行，則經(jīng)過3分鐘后兩人相遇。求原來甲、乙兩人每分鐘各行多少米？ 解析：速度和:10803=360米，設(shè)甲現(xiàn)在每分鐘行X米，則原來每分鐘X+50米；乙現(xiàn)在每分鐘行（360-X）米，原來每分鐘行（360-X-30）米，列方程得： (X+50)54-（360-X-30）54=1080 X=150 甲每分鐘：150+50=200米 乙每分鐘：360-150-30=180米 練習(xí)：兩名運(yùn)動員在湖邊的環(huán)形道上練習(xí)長跑。甲每分鐘比乙多跑了50米。如果兩人同時(shí)同地同向出發(fā)，則經(jīng)過45分鐘甲第一次追上乙，如果兩人同時(shí)同地反方向出發(fā)，則經(jīng)過5分鐘兩人第一次相遇。求甲、乙兩人的速度？ 解析：設(shè)乙每分鐘跑X米，則甲每分鐘跑X+50米。方程： （X+50）45-45X=[（X+50）+X]5 X=200 甲：200+50=250米 練習(xí)：1、甲乙兩個(gè)同學(xué)在長方形圍墻外的兩角。如果他們同時(shí)開始繞著圍墻逆時(shí)針方向跑，甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，那么甲最少要跑多少秒才能看到乙？ 解析：甲要看到乙，甲乙間的最大 乙 A B 距離為20米，所以甲最少要比乙多跑15 15米 米，這需跑：15（5-4）=15秒，但還須 驗(yàn)證：甲跑15秒時(shí)是剛好處于B點(diǎn)或D點(diǎn)。 實(shí)際上，甲跑15秒時(shí)跑了75米，這時(shí)他在 AB邊上，距B點(diǎn)10米處。因此甲只要再跑2 秒即可到達(dá)B點(diǎn)，此時(shí)甲乙距離已經(jīng)小于 D 20米 C 甲 20米，所以17秒可看到。 2、甲、乙兩人在400米的環(huán)形跑道上跑步。甲以每分鐘300米的速度從起點(diǎn)跑出1分鐘時(shí)，乙也從起點(diǎn)同向跑出，從這時(shí)起甲用了5分鐘追上乙。求乙每分鐘跑多少米？ 解析：甲以每分鐘300米的速度從起點(diǎn)跑出1分鐘，這時(shí)甲距乙：400-3001=100米，甲用5分鐘比乙多跑100米，每分鐘應(yīng)比乙多跑：1005=20米。所以乙每分鐘跑300-20=280米。 第三講 較復(fù)雜的工程問題 例題一、三個(gè)隊(duì)合修一條公路，如果單獨(dú)去修，第一隊(duì)要10天，第二隊(duì)要12天，第三隊(duì)要15天，現(xiàn)在由第一、三隊(duì)合修若干天后，第二隊(duì)去修，三個(gè)隊(duì)合修兩天后，第一隊(duì)調(diào)走，由第二、三隊(duì)兩隊(duì)合修兩天完成。三個(gè)隊(duì)各修了多少天？ 解析:先求出三個(gè)隊(duì)合作2天所做的工作量，然后再求出二、三隊(duì)合作的工作量，從而得到第一、三隊(duì)合作的天數(shù)。 1-（++）2-（+）2= （+）=1（天） 第一隊(duì)修的天數(shù)為：1+2=3天，第二隊(duì)修的天數(shù)為2+2=4天，第三隊(duì)修的天數(shù)為1+2+2=5天。 練習(xí)：1、有一條公路，甲隊(duì)獨(dú)修需10天，乙隊(duì)獨(dú)修需12天，丙隊(duì)獨(dú)修需15天，現(xiàn)在讓3個(gè)隊(duì)合修，但中間甲隊(duì)撤出到另外工地，結(jié)果用了6天才把這條公路修完。當(dāng)甲隊(duì)撤出后，乙、丙兩隊(duì)又共同合修多少天才能完成任務(wù)？ 解析：[（++）6-1]=5天。 2、甲、乙、丙3隊(duì)合修一項(xiàng)工程，甲、乙合作要10天完成，乙、丙合作12天完成，甲、丙合作15天完成?，F(xiàn)在先由甲、乙、丙合作3天，余下的由甲隊(duì)單獨(dú)完成，甲隊(duì)還要做幾天？ 解析：（++）2= -= （1-3）=15天。 例題二、一項(xiàng)工作，甲、乙、丙3人合做6小時(shí)可以完成。如果甲工作6小時(shí)后，乙丙合作2小時(shí)，可以完成這項(xiàng)工作的；如果甲乙合作3小時(shí)后，丙做6小時(shí)，也可以完成這項(xiàng)工作的。如讓甲丙合作，需要幾個(gè)小時(shí)完成？ 解析：用分合法,把分開做的看成合作，（-2）（6-2）= 甲工效，（-3）（6-3）= 丙的工效。1（+）=7（小時(shí)）。 練習(xí)：1、一項(xiàng)工作，甲、乙、丙三人合作，4小時(shí)可以完成。如甲做4小時(shí)后，乙、丙合作2小時(shí)，可以完成這項(xiàng)工作的；如甲乙合作2小時(shí)，丙再做4小時(shí)，可以完成這項(xiàng)工作的。這項(xiàng)工作由甲、丙合作需要幾小時(shí)完成？ 解析：(-2)（4-2）= ，(-2)（4-2）=，1（+）=6小時(shí)。 2、一項(xiàng)工程，甲、乙、丙合作6天可以完成。如甲先做8天，乙丙再做3天完成工程的，如甲乙合作4天，丙做6天也完成了全工程的。這項(xiàng)工程如讓甲丙合作要幾天完成？ 解析：（-3）-（8-3）=，（-4）-（6-4）=，1（+）=10天。 例題3、兩列火車同時(shí)從甲、乙兩地相向而行，貨車從甲地開往乙地需要10小時(shí)，比客車從乙地開往甲地所需的時(shí)間多。兩車相遇時(shí)客車比貨車多行60千米，甲、乙兩地相距多遠(yuǎn)？ 如果能找出60千米所對應(yīng)的分率，問題便可解決。因?yàn)?0千米是兩車相遇時(shí)客車比貨車多行的。看來，先必須求出兩車相遇的時(shí)間，然后找60千米的對應(yīng)分率。10（1+）=8小時(shí)，貨車和客車相遇所需時(shí)間：1（+）=4小時(shí)。甲乙兩地相距：60（4-4）=540千米。 練習(xí)：1、一輛汽車從甲地開往乙地，如果車速提高20%，可以比原定時(shí)間提前1小時(shí)到達(dá)；如果以原速行駛120千米后，再將速度提高25%，則可提前40分鐘到達(dá)。那么，甲、乙兩地相遇多少千米？ 解析：因?yàn)闀r(shí)間和速度成反比，車速提高20%，所用的時(shí)間縮短為原來的。所以，以原速行駛?cè)绦栌脮r(shí)間為：1（1-）=6小時(shí)，同樣，車速提高25%,所用時(shí)間縮短為原來的，如果從開始時(shí)就提高車速，全程可提前：6（1-）=1小時(shí)。現(xiàn)在只提前40分鐘，少提前1-=（小時(shí)），這是因?yàn)榍?20千米是按原速行駛，即如果提高25%，行120千米可提前小時(shí)，則甲、乙兩地相距為1201=270千米。 例題4、兩支粗細(xì)、長短都不同的蠟燭，長的一支可以點(diǎn)4小時(shí)，短的可以點(diǎn)6小時(shí)，將它們同時(shí)點(diǎn)燃，兩小時(shí)后，兩支蠟燭所余下的長度正好相等。原來短蠟燭的長度是長蠟燭的幾分之幾？ 解析：根據(jù)條件可知長蠟燭、短蠟燭每小時(shí)各燃燒全長的和，由于點(diǎn)了兩小時(shí)，所以各剩下原來長度的和，由于所余下的長度正好相等，所以有長蠟燭原長=短蠟燭原長，即：短蠟燭原長：長蠟燭原長=：= 。 練習(xí)：在環(huán)形跑道上，兩人都按順時(shí)針方向跑，每12分鐘相遇一次，如果兩人速度不變，其中一人改成逆時(shí)針方向跑，每隔4分鐘相遇一次，問：兩人各跑一圈需要幾分鐘? 解析：同向12分鐘相遇，速度差，逆向4分鐘，速度和。 1[(+)2]=6分 1[(-)2]=12分 例題5、師徒加工一批零件，師傅單獨(dú)加工完要48小時(shí)，每小時(shí)要比徒弟多加工10個(gè)零件，現(xiàn)徒弟與師傅同時(shí)加工，完成任務(wù)時(shí)，師傅加工了750個(gè)零件，徒弟加工了450個(gè)零件。那么徒弟單獨(dú)加工，多少小時(shí)可以加工完這批零件？ 解析：完工時(shí)師傅加工了750個(gè)零件，徒弟加工了450個(gè)零件，又知師傅每小時(shí)比徒弟多加工10個(gè)零件，可求出師徒兩人共同完成這批零件所需的時(shí)間，列式為：（750-450）10=30小時(shí)，那么徒弟單獨(dú)完成的時(shí)間為：1（-）=80小時(shí)。 練習(xí)：師傅與徒弟共同加工750個(gè)零件，師傅先做6天，再由徒弟做3天則可完成任務(wù)；如果徒弟先做5天，則師傅再做5天可以完成任務(wù)。那么徒弟每天加工多少個(gè)零件？ 解析：師1天=徒2天，750（52+5）=50個(gè)。 例題6、生產(chǎn)一批零件，單獨(dú)完成，甲10小時(shí)，乙15小時(shí)，丙需要20小時(shí)?，F(xiàn)在由三人合作，中途甲因事停工幾個(gè)小時(shí)，結(jié)果6小時(shí)才將工作完成。問甲停工幾個(gè)小時(shí)？ 解析：假設(shè)甲不休息，三人都做了6小時(shí)，這樣所干的工作總量就會超過“1”，而超出的工作總量就是甲在停工時(shí)干的，用多的工作量甲的工作效率=甲停工時(shí)間。 [（++）6-1]=3小時(shí) 練習(xí)：完成一件工作，甲、乙兩人合作需20小時(shí)，乙、丙兩人合作需28小時(shí)，丙、丁兩人合作需30小時(shí)。甲、丁兩人合作需幾個(gè)小時(shí)？ 解析：（+++）3-=，1=54天 第四講 比和比例綜合應(yīng)用 例題一、甲、乙加工一批零件，甲先加工1.5小時(shí)，乙再加入，完成任務(wù)時(shí)，甲完成這批零件的，已知甲、乙工效比是3：2。甲單獨(dú)加工要幾小時(shí)？ 解析：由于甲、乙工程的比是3：2，所以在乙加工的同時(shí)，甲加工的個(gè)數(shù)應(yīng)是乙的倍，即甲在這一時(shí)間段內(nèi)加工了總數(shù)的（1-）=。這樣甲先1.5小時(shí)便加工了總數(shù)的-=。這樣就可求出甲單獨(dú)加工的時(shí)間。 1.5[-（1-）]=24小時(shí) 練習(xí)：有兩組工人要做790個(gè)零件，效率比是7：8，人數(shù)比是5:6，工作時(shí)間比是12：11。求兩組工人各做多少個(gè)零件？ （7512）：（8611）=35：44 790=350個(gè)，790-350=440個(gè) 例題二、甲、乙兩個(gè)倉庫原有糧食噸數(shù)的比是5：4，甲倉庫運(yùn)走36噸后，兩倉庫糧食噸數(shù)的比是3：4，甲倉庫原有糧食多少噸？ 解析：抓不變量，36噸對應(yīng)的是2份，36（5-3）5=90噸。 練習(xí)：1、甲、乙兩個(gè)倉庫存放的貨物重量比是4：3，把甲倉庫貨物的運(yùn)到乙倉庫，這是乙倉庫的貨物重量比甲倉庫多100噸，甲倉庫原有貨物多少噸？ 解析：100[（+）-（1-）]=240噸 2、兩個(gè)相同的瓶子裝滿酒精溶液，一個(gè)瓶中酒精與水的體積之比是3:1，而另一個(gè)瓶中酒精與水的比是4：1，若把兩瓶酒精溶液混合，混合液中酒精和水的體積之比是多少？ 解析：（+）：（+）=31：9 例題三、某車間有140名職工，分成三個(gè)生產(chǎn)作業(yè)組，已知第一組和第二組人數(shù)的比是2：3，第二組和第三組人數(shù)的比是4：5，這三個(gè)生產(chǎn)租各有多少人？ 解析：第一組和第二組人數(shù)的比是2：3=8：12，第二組和第三組人數(shù)的比是4：5=12：15.所以，第一組、第二組和第三組人數(shù)的連比是8：12：15。第一組為140=32人，第二組48人，第三組60人。 練習(xí)：有甲、乙、丙三家零售商店，已知某天甲店與乙店銷售額的比是3：4，乙店與丙店銷售額的比2.5：3，如果這天乙店的銷售額比甲、丙兩店的銷售總額少931元，求這天三家商店的銷售額各是多少元？ 解析：3：4=15：20，2.5：3=5：6=20：24，所以統(tǒng)一比后為15：20：24，931[（15+24）-20]=49元，甲：4915=735元，4920=980元，丙：4924=1176元 。 例題四、甲乙兩個(gè)瓶子裝的酒精溶液體積的比是2：5，甲瓶中酒精與水的體積比是3：1，乙瓶中酒精與水的體積的比是4：1，現(xiàn)在把兩瓶溶液倒入一大瓶中混合，這是酒精與水的體積比是多少？ 解析：甲瓶中酒精占甲瓶溶液體積的2=1，乙瓶中酒精占乙瓶溶液的5=4，把兩個(gè)瓶中溶液體積各看作“2”與“5”，則兩個(gè)瓶子溶液體積之和為2+5=7，其中酒精占：1+4=5，水占：7-5=1。因此比為5：1=11:3。 練習(xí)：1、某班在一次數(shù)學(xué)考試中，平均成績是78分，男、女生各自的平均成績是75.5分和81分，這個(gè)班男、女生人數(shù)的比是多少？ 解析：解設(shè)男X人，女Y人，75.5X+81Y=78(X+Y)，得出2.5X=3Y，所以X:Y=6：5。 2、甲走的路程比乙多，乙用的時(shí)間卻比甲多，求甲、乙的速度比。 解析：S之比為4：3，T之比為4:5，所以速度比為5：3。 例題五、一輛汽車從甲地開往乙地，每小時(shí)行40千米，返回時(shí)每小時(shí)行50千米，結(jié)果返回時(shí)比去的時(shí)間少48分鐘，求甲、乙兩地之間的路程。 解析：汽車往返于甲、乙兩地，兩次行駛路程一定，所以速度與時(shí)間成反比例，求出速度比，可推出時(shí)間比，再根據(jù)時(shí)間差是40分鐘，可求出時(shí)間，再求出路程。 去時(shí)速度：返回速度=40：50=4：5 去的時(shí)間：返回時(shí)間=5:4 去的時(shí)間：（1-）=4小時(shí) 甲乙路程：404=160千米 練習(xí)：一輛汽車從甲地開往乙地，去時(shí)每小時(shí)行48千米，返回時(shí)，每小時(shí)行56千米，返回比去時(shí)少用1小時(shí)，求甲、乙兩地的路程。 解析：48：56=6：7，1（1-）48=336千米。 例題六、在一群學(xué)生中，如果走了15名女生，那么剩下的男女人數(shù)比為2：1。在這之后，如果再走45名男生，那么剩下的男女人數(shù)比為1：5，問原來有多少女生？ 解析：這道題可由剩下的男女人數(shù)之比=1：5 建立等量關(guān)系式，從而求出原來有多少女生？ 設(shè)原有X名女生，那么原先則有（X-15）2名男生， （X-15）2-45：（X-15）=1：5,求出X=40。 練習(xí)：甲、乙兩廠原有人數(shù)的比是7：6，從甲廠調(diào)走36人后，甲乙兩廠人數(shù)的比是2：3，甲、乙兩廠原來各有多少人？ 第四講 假設(shè)法解難題 例題一、兩根鐵絲，第一根長度是第二根的3倍，兩根各用去6米，第一根剩下的長度是第二根剩下長度的5倍，第二根原來有多少米？ 解析：假設(shè)第一根用去63=18米，那么第一根剩下的長度仍是第二根剩下長度的3倍，而事實(shí)上第一根比假設(shè)少用去63-6=12米，也就多剩下第二根剩下長度的5-3=2倍。 （63-6）（5-3）+6=12米 練習(xí)：1、丁曉原有書的本數(shù)是王陽的5倍，若兩人同時(shí)各借出5本給其他同學(xué)，則丁曉書的本數(shù)是王陽的10倍，兩人原來各有書多少本？ 解析：王陽：(55-5)（10-5）+5=9本，丁曉：95=45本。 2、在植樹勞動中，光明中學(xué)植樹的棵樹是光明小學(xué)的3倍，如果中學(xué)增加450棵，小學(xué)增加400棵，則中學(xué)是小學(xué)的2倍。求中、小學(xué)原來各植樹多少棵？ 解析：小學(xué)：（4003-450）（3-2）-400=350棵，中學(xué)3503=1050棵。 例題2、足球賽門票15元一張，降價(jià)后觀眾增加一倍，收入增加，問一張門票降價(jià)多少元？ 解析：初看似乎缺少觀眾人數(shù)這個(gè)條件，實(shí)際上觀眾人數(shù)與答案無關(guān)，我們可以隨便假設(shè)一個(gè)觀眾人數(shù)。為了方便，假設(shè)原來只有一個(gè)觀眾，收入為15元，那么降價(jià)后有兩個(gè)觀眾，收入為[15（1+）]=18元，則降價(jià)后每張票價(jià)為182=9元，每張票降價(jià)15-9=6元。 練習(xí)：1、某班一次考試，平均分為70分，其中及格，及格的同學(xué)平均分為80分，那么不及格的同學(xué)平均分是多少？ 解析：704-803=40分。 2、游泳池里參加游泳的學(xué)生中，小學(xué)生占30%，又來了一批學(xué)生后，學(xué)生總數(shù)增加20%,小學(xué)生占學(xué)生總數(shù)的40%，小學(xué)生增加百分之幾？ 解析：10030%=30人，100(1+20%)=120人 12040%=48人，（48-30）30=60% 例題三、一個(gè)運(yùn)動員以每分鐘200米的速度從甲地跑到乙地，又以每分鐘240米的速度從乙地返回到甲地，又以每分鐘150米的速度返回到乙地，然后再以每分鐘200米的速度從乙地跑回甲地，問這一運(yùn)動員的平均速度是多少？ 解析：題中四個(gè)速度的最小公倍數(shù)是1200，設(shè)一個(gè)單程為1200米，則求出四個(gè)單程的時(shí)間分別是6分，5分，8分，6分，平均速度為4800（6+5+8+6）=192米。 練習(xí)：1、某人以每小時(shí)80千米的速度開車從甲地到乙地，辦完事又以每小時(shí)60千米的速度原路返回，求此人去回的平均速度。 解析：設(shè)一個(gè)單程為240千米，24080=3小時(shí)，24060=4小時(shí)，2402（3+4）=68千米/時(shí)。 2、張師傅騎自行車往返A(chǔ)、B兩地。去時(shí)每小時(shí)行15千米，返回時(shí)逆風(fēng)，每小時(shí)只行10千米。張師傅往返途中的平均速度是每小時(shí)多少千米？解析：3015=2小時(shí)，3010=3小時(shí)，302（3+2）=12千米/時(shí)。 3、小王騎摩托車往返A(chǔ)、B兩地。平均速度為每小時(shí)48千米。如果他去時(shí)每小時(shí)行42千米，那么他返回時(shí)的平均速度是每小時(shí)行多少千米?解析：設(shè)一個(gè)單程為336千米，336248=14小時(shí)，33642=8小時(shí)，336（14-8）=56千米/時(shí)。 例題四、某幼兒園中班的小朋友平均身高115厘米，其中男孩比女孩多，女孩平均身高比男孩高10%，這個(gè)班男孩平均身高是多少？ 解析：題中沒有男孩、女孩的人數(shù)，我們可以假設(shè)女孩有5人，則男孩有6人。 （1） 總身高：115[5+5（1+）]=1265厘米 （2） 由于女孩平均身高是男孩的1+10%=，所以5個(gè)女孩的身高相當(dāng)于5=5.5個(gè)男孩的身高是男孩的1+10%=，所以5個(gè)女孩的身高相當(dāng)于5=5.5個(gè)男孩的身高，因此，男孩的平均身高為：1265[（1+10%）5+6]=110厘米。 練習(xí)：1、某班男生人數(shù)是女生的，男生平均身高為138厘米，全班平均身高為132厘米。問：女生平均身高是多少厘米？ 解析：設(shè)全班共有5人，則：（1325-1382）3=128厘米。 2、某班男生人數(shù)是女生的，女生的平均身高比男生高15%，全班的平均身高是130厘米，求男、女生的平均身高各是多少？ 解析：設(shè)女生有5人，男生有4人，男生的身高為單位1，則女生的身高為（1+15%）。男：130（4+5）[4+5（1+15%）]=120厘米，女：120（1+15%）=138厘米。 例題五、狗跑5步的時(shí)間馬跑3步，馬跑4步的距離狗跑7步，現(xiàn)在狗已跑出30米，馬開始追它。問：狗再跑多遠(yuǎn)，馬可以追到它？ 解析：設(shè)馬跑一步的距離為7，則狗跑一步的距離為4，再設(shè)馬跑3步的時(shí)間為1，則狗跑5步的時(shí)間是1，推知狗的速度為20，馬的速度為21。那么：20[30（21-20）]=600米。 練習(xí)：獵狗前面26步遠(yuǎn)處一野兔，獵狗追之。兔跑8步的時(shí)間狗只跑5步，但兔跑9步的距離僅等于狗跑4步的距離。問：兔跑幾步后，被狗抓獲？ 解析：設(shè)狗的步長為1，則兔的步長為，設(shè)兔跑一步的時(shí)間為1，則狗跑一步的時(shí)間為。26（1-）=144步。 2、獵人帶獵狗去捕獵，發(fā)現(xiàn)兔子剛跑出40米，獵狗去追兔子。已知獵狗跑2步的時(shí)間兔子跑3步，獵狗跑4步的距離與兔子跑7步的距離相等，求兔再跑多遠(yuǎn)，獵狗可以追到它？ 解析：設(shè)狗的步長為7，則兔的步長為4，再設(shè)狗跑2步的時(shí)間為1，則兔跑3步的時(shí)間也為1，推出狗的速度是14，兔的速度是12。12[40（14-12）]=240米。 14 / 14