高中數學 第二章 柯西不等式與排序不等式及其應用 2.2 排序不等式課件 新人教B版選修4-5.ppt

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2 2排序不等式 1 了解排序不等式的數學思想和背景 2 了解排序不等式的結構與基本原理 3 理解排序不等式的簡單應用 1 排序不等式定義 設a1 a2 an b1 b2 bn為兩組實數 c1 c2 cn為b1 b2 bn的任一排列 稱a1b1 a2b2 anbn為這兩個實數組的順序積之和 簡稱順序和 稱a1bn a2bn 1 anb1為這兩個實數組的反序積之和 簡稱反序和 稱a1c1 a2c2 ancn為這兩個實數組的亂序積之和 簡稱亂序和 定理 排序原理 又稱為排序不等式 設a1 a2 an b1 b2 bn為兩組實數 c1 c2 cn為b1 b2 bn的任一排列 則有a1bn a2bn 1 anb1 a1c1 a2c2 ancn a1b1 a2b2 anbn 等號成立 反序和等于順序和 a1 a2 an或b1 b2 bn 排序原理可簡記作 反序和 亂序和 順序和 名師點撥 1 排序原理是對不同的兩個數組來研究不同的乘積和的問題 能構造的和按數組中的某種 搭配 的順序被分為三種形式 順序和 反序和 亂序和 對這三種不同的搭配形式只需注重是怎樣的 次序 兩種較為簡單的是 順與反 而亂序和也就是不按 常理 的順序了 對于排序原理的記憶 我們只需記住用特殊例子的方法來說大小關系 2 學習排序不等式要抓住它的本質含義 兩實數序列同方向單調 同時增加或同時減少 時所得兩兩乘積之和最大 反方向單調 一增一減 時所得兩兩乘積之和最小 注意等號成立的條件是其中一序列為常數序列 做一做1 1 已知兩組數a1 a2 a3 a4 a5 b1 b2 b3 b4 b5 其中a1 2 a2 7 a3 8 a4 9 a5 12 b1 3 b2 4 b3 6 b4 10 b5 11 將bi i 1 2 3 4 5 重新排列記為c1 c2 c3 c4 c5 則a1c1 a2c2 a5c5的最大值和最小值分別是 A 132 6B 304 212C 22 6D 21 36解析 由排序不等式可知 最大值應為a1b1 a2b2 a3b3 a4b4 a5b5 304 最小值為a1b5 a2b4 a3b3 a4b2 a5b1 212 答案 B 做一做1 2 設a1 a2 a3 0 且a1 a2 a3的任一排列為 A 3B 6C 9D 12 答案 A 2 切比曉夫不等式設a1 a2 an b1 b2 bn為任意兩組實數 上述兩式中等號當且僅當a1 a2 an或b1 b2 bn時成立 做一做2 已知a1 a2 a3 b1 b2 b3 R 且a1 a2 a3 b1 b2 b3 則3 a1b1 a2b2 a3b3 a1 a2 a3 b1 b2 b3 填 號 解析 由a1 a2 a3 b1 b2 b3 根據定理可知 即3 a1b1 a2b2 a3b3 a1 a2 a3 b1 b2 b3 當且僅當a1 a2 a3或b1 b2 b3時等號成立 答案 1 對排序不等式的證明如何理解 剖析 在排序不等式的證明中 用到了 探究 猜想 檢驗 證明 的思維方法 這是探索新知識 新問題常用到的基本方法 對于數組涉及的 排序 及 乘積 的問題 又使用了 一一搭配 這樣的描述 這實質上也是使用最接近生活常識的處理問題的方法 所以可以結合像平時班級排隊等一些常識的事例來理解 對于出現的 逐步調整比較法 則要引起注意 研究數組這種帶 順序 的乘積的和的問題時 這種方法對理解相關問題時是比較簡單易懂的 2 排序原理的思想是什么 剖析 在解答數學問題時 常常涉及一些可以比較大小的量 它們之間并沒有預先規(guī)定大小順序 那么在解答問題時 我們可以利用排序原理的思想方法 將它們按一定順序排列起來 繼而利用不等關系來解題 因此 對于排序原理 我們要記住的是處理問題的這種思想及方法 同時要學會善于利用這種比較經典的結論來處理實際問題 題型一 題型二 題型三 題型四 所證不等式中字母的大小順序已確定的情況 分析 由于題目條件中已明確a b 0 因此可以直接構造兩個數組證明 反思可以直接利用a b 0這一條件構造兩個數組 用排序不等式證明 題型一 題型二 題型四 題型三 需對所證不等式中所給的字母順序作出假設的情況 題型一 題型二 題型四 題型三 反思利用排序原理解答相關問題 必須構造出相應的數組 并且要排列出大小順序 因此比較出數組中各數間的大小關系是解題的關鍵 題型一 題型二 題型三 題型四 對所證不等式中字母的大小順序需要加以討論 例3 若x 0 求證 1 x x2 x2n 2n 1 xn 分析 題目中只給出了x 0 但對于x 1 x 1沒有明確 因而需要進行分類討論 證明 1 當x 1時 1 x x2 xn 由排序原理 順序和 反序和 得1 1 x x x2 x2 xn xn 1 xn x xn 1 xn 1 x xn 1 即1 x2 x4 x2n n 1 xn 因為x x2 xn 1為序列1 x x2 xn的一個排列 所以再次由排序原理 亂序和 反序和 得1 x x x2 xn 1 xn xn 1 1 xn x xn 1 xn 1 x xn 1 得x x3 x2n 1 xn n 1 xn 將 和 相加 得1 x x2 x2n 2n 1 xn 題型一 題型二 題型三 題型四 2 當0 x x2 xn 但 仍然成立 于是 也成立 綜合 1 2 可知1 x x2 xn 2n 1 xn 反思在沒有給定字母大小的情況下 要使用排序不等式 必須限定字母的大小順序 而只有具有對稱性的式子才可以直接限定字母的大小順序 否則要根據具體情況分類討論 題型一 題型二 題型三 題型四 易錯辨析易錯點 應用排序不等式時 因忽視等號成立的條件致錯 例4 已知a1 a2 a3 b1 b2 b3 1 2 且a1 a2 a3不全相等 b1 b2 b3不全相等 試求式子a1b1 a2b2 a3b3的取值范圍 錯解 不妨設1 a1 a2 a3 2 c1 c2 c3為b1 b2 b3的一個排列 且1 c1 c2 c3 2 則a1c3 a2c2 a3c1 a1b1 a2b2 a3b3 a1c1 a2c2 a3c3 3 a1b1 a2b2 a3b3 12 a1b1 a2b2 a3b3的取值范圍為 3 12 錯因分析 由于a1 a2 a3不全相等 且b1 b2 b3也不全相等 故排序不等式中的等號不成立 題型一 題型二 題型三 題型四 正解 以上解答同錯解中的過程 3 a1b1 a2b2 a3b3 12 又 a1 a2 a3不全相等 且b1 b2 b3不全相等 等號不成立 a1b1 a2b2 a3b3的取值范圍為 3 12 123 1設a b 0 P a3 b3 Q a2b ab2 則P與Q之間的大小關系是 A P QB P QC P QD P Q答案 B 123 2設a1 a2 an都是正數 b1 b2 bn是a1 a2 an的任一排列 則 答案 B 123 3車間里有5臺機床同時出了故障 從第1臺到第5臺的修復時間依次為4min 8min 6min 10min 5min 每臺機床停產1min損失5元 如果一次只能修理1臺機床 則經合理安排損失最少為 元 A 420B 400C 450D 570解析 利用排序原理求得5臺機床修復時間最少為84min 所以最少損失為84 5 420元 答案 A