混凝土有限元分析.doc

《混凝土有限元分析.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《混凝土有限元分析.doc（8頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

混凝土有限元分析 廖奕全 （06級防災減災工程及防護工程，06114249） 摘要：用傳統(tǒng)的理論解析方法分析鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)，只能解決一些非常簡單的構(gòu)件或結(jié)構(gòu)的非線性問題，對大量的鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)的非線性分析問題只能用數(shù)值方法解決，因此，有限元方法作為一個強有力的數(shù)值分析工具，在鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)的非線性分析中得到了廣泛地應用。隨著有限元理論和計算機技術(shù)的進步，鋼筋混凝土非線性有限元分析方法也得以迅速的發(fā)展并發(fā)揮出巨大的作用。 關(guān)鍵詞：鋼筋混凝土 有限元分析 有限元模型 鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)是土木工程中應用最廣泛的一種建筑結(jié)構(gòu)。相比其它材料結(jié)構(gòu)，鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)有以下特點：①造價低，往往是建筑結(jié)構(gòu)的首選材料；②易于澆注成各種形狀，滿足建筑功能及各種工藝的要求；⑧充分發(fā)揮鋼筋和混凝土的作用，結(jié)構(gòu)受力合理：④材料的重度與強度之比不大；⑤材料性能復雜，一般的計算模型難與實際結(jié)構(gòu)的受力情況相符。正因為鋼筋混凝土材料的這些優(yōu)缺點，長期以來，鋼筋混凝土在工程中的應用如此廣泛；為了滿足工程需要所建立的反映混凝土材料性能的計算模型也不斷完善。然而，混凝土是一種由水泥、水、砂、石及各種摻合料、外加劑混合而成的成分復雜、性能多樣的材料。到目前為止，還沒有一 種公認的、能全面反映混凝土的力學行為和性質(zhì)的計算模型或本構(gòu)關(guān)系。因此，對鋼筋混凝土的力學性能研究還需要學術(shù)界和工程人員繼續(xù)努力。長期以來，人們用線彈性理論來分析鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)的受力和變形，以極限狀態(tài)的設(shè)計方法來確定構(gòu)件的承載能力。這種設(shè)計方法在一定程度上能滿足工程的要求。隨著國民經(jīng)濟的發(fā)展，越來越多大型、復雜的鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)需要修建，而且對設(shè)計周期和工程質(zhì)量也提出了更高的要求。這樣一來，常規(guī)的線彈性理論分析方法用于鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)和構(gòu)件的設(shè)計就力不從心。設(shè)計人員常有“算不清楚”以及“到底會不會倒”的困惑。為此，鋼筋混凝土非線性有限元分析方法開始受到重視。同時，隨著有限元理論和計算機技術(shù)的進步，鋼筋混凝土非線性有限元分析方法也得以迅速的發(fā)展并發(fā)揮出巨大的作用。 一、鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)有限元分析的意義 鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)是目前各種建筑結(jié)構(gòu)物的主要結(jié)構(gòu)形式，由于鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)受到較大的荷載(如地震荷載)作用時其非線性特性對結(jié)構(gòu)的性能影響很大，所以鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)的非線性分析在結(jié)構(gòu)抗震工程領(lǐng)域中十分重要并成為一個研究熱點。用傳統(tǒng)的理論解析方法分析鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)，只能解決一些非常簡單的構(gòu)件或結(jié)構(gòu)的非線性問題，對大量的鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)的非線性分析問題只能用數(shù)值方法解決，因此，有限元方法作為一個強有力的數(shù)值分析工具，在鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)的非線性分析中得到了廣泛地應用。由于鋼筋混凝土是由兩種性質(zhì)不同的材料—— 混凝土和鋼筋組合而成的，它的性能明顯地依賴于這兩種材料的性能以及它們的相互作用，特別是在非線性階段，混凝土鋼筋本身的各種非線性性能，都不同程度地在這種組合材料中反映出來。以下是與鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)計算分析有關(guān)的一些非線性問題： 1)由于鋼筋和混凝土的抗拉強度相差很大，鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)在正常使用狀態(tài)下，大部分受彎構(gòu)件都已經(jīng)開裂而進入非線性狀態(tài)。2)混凝土和鋼筋在一個結(jié)構(gòu)中共同工作的條件是兩者之間的變形協(xié)調(diào)而且沒有相對的滑移，但實際上，這種條件并不能完全滿足，特別是在反復加載下光圓鋼筋與混凝土之間的粘結(jié)往往會被破壞，某些情況下會導致變形過大。3)與其他任何結(jié)構(gòu)形式的結(jié)構(gòu)一樣，結(jié)點連接是保證鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)能作為一個復雜體系承受外力的基本條件，而傳統(tǒng)的彈性結(jié)構(gòu)分析將結(jié)點理想化為剛接或者鉸接，均不能反映結(jié)點的復雜受力狀態(tài)和變形情況，從而難以為設(shè)計提供正確的信息。4)在長期荷載作用下，混凝土會產(chǎn)生一定的徐變變形，這時，結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和變形就發(fā)生了變化。5)強震作用下，鋼筋和混凝土材料都進入強塑性變形階段，混凝土裂縫已發(fā)展很大。這是本研究主要針對的非線性問題。 由于存在這些問題，按彈性分析求得的內(nèi)力和變形就不能反映實際情況，鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)的非線性分析就顯得特別重要，受到越來越多研究和工程設(shè)計人員的重視。有限元方法作為一個強有力的數(shù)值分析工具，在鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)的非線性分析中起到了越來越大的作用。 用有限元方法進行鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)的非線性分析，主要有以下優(yōu)點： 1)可以在計算模型中分別反映混凝土和鋼筋材料的非線性特性；2)可以考慮或模擬鋼筋與混凝土之間的粘結(jié)；3)可以在一定程度上模擬結(jié)點的構(gòu)造和邊界條件；4)可以提供大量的結(jié)構(gòu)反映信息，例如應力、變形的全過程，結(jié)構(gòu)開裂以后的各種狀態(tài)。借助于先進的計算機圖形顯示技術(shù)，還可以直觀地看到結(jié)構(gòu)受荷載后從彈性變形到開裂破壞的全過程，為進行合理的設(shè)計提供依據(jù)；5)可以部分代替試驗進行大量的參數(shù)分析，為制定設(shè)計規(guī)范和標準提供依據(jù)。 正由于上述這些優(yōu)點，有限元非線性分析方法在鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計和分析中有著廣泛的應用前景。作為一種強有力的研究工具，它可以用來計算分析在試驗中難以解明的各種問題的機理。它還可以應用于模擬施工過程的計算分析，例如混凝土壩體，由于施工程序多，工期長，混凝土的徐變在施工過程中和交付使用后一直存在，因此用有限元分析方法就可以模擬全過程的受力性能、應力及應變分布以及徐變后的應力分布，為設(shè)計和施工提供參考信息。 二、鋼筋混凝土有限元分析原理 最早把有限元方法用于鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)分析的是Ngo和ScordeliS。他們在早期進行的研究已包含了鋼筋混凝土有限元分析的基本原理。這個原理可以概括如下： (1)把鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)分割成有限個小的結(jié)構(gòu) 元。這些小的結(jié)構(gòu)單元可以是混凝土與鋼筋的混合體，也可以分別是混凝上或鋼筋。 (2)通過設(shè)置彈簧或阻尼器來模擬鋼筋和混凝土之問的粘結(jié)滑移關(guān)系，這些特殊的“裝置”稱為粘結(jié)單元。彈簧和阻尼器的力～位移關(guān)系可以是線性的，也可以是非線性的。 (3)對混凝土和鋼筋采用適當?shù)谋緲?gòu)關(guān)系模型，也就常說的應力～應變關(guān)系。 (4)與一般有限元方法相同，確定各單元的單元剛度矩陣，并組合成結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣。根據(jù)結(jié)構(gòu)所受的荷載和約束，解出節(jié)點的未知位移，進而求出單元的應力。隨著荷載和作用的不斷增加，可以得到鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)自開始受荷到破壞的整個過程的位移、應變、應力、裂縫的形成和發(fā)展、鋼筋和混凝土結(jié)合面的粘結(jié)位移、鋼筋的屈服和強化以及混凝土壓碎破壞等人量有用的數(shù)據(jù)，為研究結(jié)構(gòu)的性能和合理的設(shè)計方法提供可靠的依據(jù)。 要進行鋼筋混凝土的非線性有限元分析，需要解決混凝土的破壞準則、本構(gòu)模型、鋼筋與混凝土之間的關(guān)系模型、裂縫問題以及有限元分析的計算機程序等幾個問題。 三、鋼筋混凝土有限元模型 經(jīng)常提及的模型是線彈性模型，該模型也是工程上一般材料所采用的普遍關(guān)系模型，為許多設(shè)計人員所接受和熟悉。線彈性類本構(gòu)模型也是最簡單、最基本的材料本構(gòu)模型。材料變形在加載和卸載時都沿同一直線變化，完全卸載后無殘余變形。因而，應力和應變有確定的一一對應的關(guān)系。其比值為材料的彈性常數(shù)，稱為彈性模量。當然，混凝土的變形特性，如單向的受拉和受壓，以及多軸應力一應變曲線都是非線性的，從原則上講線彈性模型不適用。但是，在一些特定的情況下，采用線彈性模型仍不失為一種簡捷、有效的方法。能夠比較正確地模擬混凝土材料性質(zhì)的模型是非線性類本構(gòu)模型，主要有非線性彈性本構(gòu)模型和彈塑性本構(gòu)模型。非線性彈性本構(gòu)的優(yōu)點是能反映混凝土受力變形的主要特點：計算公式和參數(shù)值都來自試驗數(shù)據(jù)的回歸分析，在單調(diào)比例加載的情況下有很高的計算精度：模型的表達式簡明、直觀，易于理解和應用。因而，這種模型在工程中應用最廣 。但它也有的缺點：不能反映卸載和加載的區(qū)別，卸載后沒有殘余變形等，故不能應用于加、卸載循環(huán)和非比例加載等情況。彈朔性本構(gòu)模型以塑性力學理論為基礎(chǔ)，可以模擬混凝土在卸載和周期加荷時的變形特性。但是，其所作的假設(shè)跟混凝上的實際性能仍然有較大的區(qū)別，而且模型的數(shù)學模型不直觀，計算過于復雜，不便于工程師接受和應用。 鋼筋混凝土的有限元分析一般有三種離散模型: 分離式, 組合式, 整體式。 （1）分離式有限元模型 這是由不同材料構(gòu)成一個結(jié)構(gòu)時通用的計算方式，很自然地引入鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)的分析中。其特點是混凝土單元剛度矩陣、鋼筋單元剛度矩陣是分別計算的，然后統(tǒng)一集成到整體剛度矩陣中去。其優(yōu)點是可按實際配筋劃分單元，必要時可在鋼筋與混凝土之間嵌入粘結(jié)單元。該單元的缺點是，當配筋量大且不規(guī)則時，劃分單元的數(shù)量很大。 分離式模型 （2）組合式有限元模型 這一單元模型中已包含了鋼筋與混凝土兩種材料，在推導單元剛度矩陣時，采用了統(tǒng)一的位移函數(shù)，但考慮了不同的材料特性，同時計算單元剛度矩陣，單元剛度矩陣中已包括了混凝土和鋼筋兩種材料對單元剛度矩陣的貢獻。這種模型的特點是單元數(shù)量減少，但計算精度可提高。但對每一個單元剛度的計算比較麻煩，當單元中鋼筋布置不規(guī)則時，沒有通用公式可用，要自己推導，遇到配筋類別很多時，單元剛度的計算很麻煩。所以，這種單元是三種模式中應用較少的一種。 分層組合式 （3）整體式有限元模型 這一模型的單元也包括了兩種材料對單元剛度矩陣的貢獻，但它不再分別計算，而是將鋼筋化為等效的混凝土，然后按一種材料計算單元剛度矩陣。這一模型的優(yōu)點是單元劃分少，計算量小，可適應復雜配筋的情況。故目前在一般實際工程結(jié)構(gòu)計算中均采用這模型。這一模型的缺點是只能求得鋼筋在所在單元中的平均應力，且不能計算鋼筋與混凝土之間的粘結(jié)應力。 四、有限元分析方法和計算步驟 （1）將結(jié)構(gòu)離散化 所謂離散化，是將所要分析的結(jié)構(gòu)分割成有限單元體，使相鄰單元僅在節(jié)點處相連接，分析對象由這個單元結(jié)合體代替原有結(jié)構(gòu)。 （2）單元分析 在桿件結(jié)構(gòu)中，桿件的節(jié)點力與節(jié)點位移之間的關(guān)系可用結(jié)構(gòu)力學的方法，通過平衡（應力與外力）、協(xié)調(diào)（位移與變形）和物理（應力與應變）關(guān)系求得。 在連續(xù)體（非桿件）結(jié)構(gòu)中，單元節(jié)點力與結(jié)構(gòu)位移之間的關(guān)系式（單元剛度矩陣）一般很難用結(jié)構(gòu)力學的方法推導出來，而是假設(shè)位移模式，再用虛功原理來推導。 （3）以節(jié)點為隔離體，建立平衡方程 在有限元計算中不必逐個節(jié)點建立平衡方程，而是通過集合單元剛度矩陣為整體剛度矩陣來完成。 （4）施加荷載 如是非節(jié)點荷載可由靜力平衡條件轉(zhuǎn)化為節(jié)點荷載。 （5）引入邊界條件 未經(jīng)引入邊界條件時，剛度矩陣是奇異的。從力學角度來看，這是由于沒有邊界約束的結(jié)構(gòu)可以產(chǎn)生剛體位移，因而在一定的荷載作用下無法確定其位移的大小。 （6）求解方程 求得節(jié)點位移。 (7) 對每個單元循環(huán) 由單元節(jié)點位移通過單元剛度矩陣求得單元應力或桿件內(nèi)力。 下面以壓（彎）構(gòu)件的截面分析為例，說明有限元分析方法具體在混凝土中的應用。首先得對構(gòu)件作一些基本假設(shè)。為了便于非線性分析，作如下基本假設(shè)：(1)平截面假設(shè)，即橫截面在受力前為平面，受力后仍然保持平面，縱向纖維的應變沿截面高度呈線性分布；(2)忽略剪切變形對梁截面變形的貢獻；(3)梁不發(fā)生受彎破壞之外的其他形式的破壞；(4)無粘結(jié)預應力梁在受載過程中，預應力筋和孔道之間無摩擦損失。 結(jié)構(gòu)離散化：采用組合單元模型如圖（a） 單元分析：截面任一點處（x，y）的應變 截面離散后各單元的應變和應變增量的向量可表示為 引入混凝土和鋼筋的本構(gòu)關(guān)系，得應力增量向量 截面上各應力的總和既為截面內(nèi)力，平衡方程 用增量形式和矩陣符號可改寫為 截面離散化 代入關(guān)系式后 式中 五、鋼筋混凝土有限元分析的發(fā)展和應用 在混凝土破壞準則方面：在早期的有限元分析中，比較多的是才采用莫爾-庫侖破壞準則。這一準則有兩個材料常數(shù)，它在應力空間可以表示為一個多角錐體。而在近代混凝土三軸破壞實驗表明，多角錐不能精確地反映混凝土的破壞曲面。于是，三參數(shù)、四參數(shù)和五參數(shù)破壞準則相繼被提出來。已有的實驗結(jié)果證明，某些四參數(shù)和五參數(shù)公式已能很好地反映出混凝土在三軸應力狀態(tài)下的破壞特征，可以用于實際工程分析，并具有足夠的精度 在混凝土的本構(gòu)關(guān)系方面：各國學者提出了多種多樣的模型，如線彈性理論、非線彈性理論、彈塑性理論、內(nèi)時理論、粘彈性和粘塑性理論等，但彼此之間差異較大。近年來，利用斷裂力學和損傷力學的方法進行混凝土構(gòu)件和結(jié)構(gòu)分析，也取得了進展?？墒?，由于缺乏足夠的實驗基礎(chǔ)，至今還沒有一種公認的理論或本構(gòu)模型，可以廣泛用于各種條件下的混凝土結(jié)構(gòu)分析。 在鋼筋與混凝土間的粘結(jié)單元模型方面：已提出了多種不同的粘結(jié)單元模型，例如雙彈簧連接單元、粘結(jié)斜桿單元、無厚度四節(jié)點或六節(jié)點粘結(jié)單元和斜彈簧單元等。而在粘結(jié)-滑移關(guān)系方面，在分析中初期采用的是線性關(guān)系，隨后發(fā)展為非線性關(guān)系，提出了多種粘結(jié)-滑移曲線的數(shù)學表達式。由于影響因素較多，問題復雜，目前尚無完善的計算模式。 在裂縫處理方面初期的混凝土有限元分析采用分離式裂縫，即裂縫置于單元之間，一旦裂縫發(fā)展，則需要重新劃分網(wǎng)格，這是很費時的，限制了它的進一步擴大應用。Franklin H A 于1970年提出了“彌散裂縫”的概念和處理方法，可以自動追蹤裂縫的發(fā)展，這為有限元分析混凝土結(jié)構(gòu)提供了有力的手段，得到了廣泛的應用。20世紀80年代，人們又將斷裂力學和損傷力學用于混凝土的裂縫分析，也取得可喜的進展。 在求解非線性有限元方程組方面：已經(jīng)發(fā)展了多種有效的數(shù)值解法，最常用的是增量法和迭代法。但是，由于混凝土的應力-應變?nèi)€具有下降段，結(jié)構(gòu)在達到極限承載力后產(chǎn)生“軟化”現(xiàn)象。目前針對處理這種軟化現(xiàn)象雖然已經(jīng)發(fā)表了不少成果，但大多數(shù)還只是針對一些特定的情況，至今還有很多學者對此進行研究，不斷有新的方法被推出。在考慮結(jié)構(gòu)軟化現(xiàn)象后，數(shù)值解法的穩(wěn)定性和收斂性問題更缺乏理論上的論證。 六、鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)有限元分析的特點與國內(nèi)外研究現(xiàn)狀 考慮大地震作用下進入強塑性階段的鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)的有限元分析與其他固體有限元分析的不同之處主要表現(xiàn)在以下幾個方面： 1)需要模擬混凝土的開裂與裂縫的發(fā)展過程，特別是反復荷載作用下裂縫的開裂和閉合過程。2)需要在模型中正確地反映鋼筋與混凝土之間的粘結(jié)和滑移機理。3)需要模擬混凝土材料在達到峰值應力以后的性能(因一個部位的混凝土達到峰值應力并不能說明整個結(jié)構(gòu)達到極限狀態(tài))。同理也應模擬鋼筋屈服以后的性能。4)對于復雜的鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)，材料非線性問題與幾何非線性問題同時存在。使得計算的難度大大增加。5)分析結(jié)果很大程度上依賴于混凝土材料和鋼筋材料的本構(gòu)關(guān)系以及鋼筋與混凝土之間的粘結(jié)滑移本構(gòu)關(guān)系。 對本構(gòu)關(guān)系的深入研究和全面正確的描述是保證鋼筋混凝土有限元分析結(jié)果可靠并能應用于工程實際的前提條件。正由于以上特點，鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)有限元分析作為一個相對獨立的研究領(lǐng)域，受到土木工程界越來越廣泛的重視。最早用有限元方法分析鋼筋混凝土梁的，主要還是基于線彈性理論，但是根據(jù)試驗觀察結(jié)果，在混凝土梁中預先設(shè)置了裂縫，并且用無幾何尺寸的彈簧來模擬鋼筋和混凝土之間的粘結(jié)關(guān)系。這一研究獲得了成功，引起了很大的反響。從那以后，許多學者在這一領(lǐng)域進行研究，發(fā)表了大量的研究成果。在近年的研究成果中，特別值得注目的是Okamura(岡村)和Maekawa(前川)以及Cervenca等人的研究。前川等在彌散裂縫模型(Smeared Crack Mode1)基礎(chǔ)上提出的鋼筋混凝土本構(gòu)關(guān)系模型，通過引入動態(tài)裂縫坐標的概念，在與裂縫平行和垂直的方向建立了混凝土的拉、壓、剪應力一應變關(guān)系，并與鋼筋的本構(gòu)模型迭加，較好地描述了反復靜、動荷載作用下鋼筋混凝土材料的力學性能。前川等的研究成果已在日本工程界得到廣泛的認可并被越來越多地應用于復雜結(jié)構(gòu)的抗震設(shè)計和檢算。 我國是應用鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)很廣的國家，70年代開始對鋼筋混凝土的有限元分析進行了廣泛而深入的研究，取得了許多重要成果。近幾年來。國內(nèi)的學者在鋼筋混凝土非線性有限元分析方面的研究主要取得了以下進展： 胡倍雷、宋玉普、趙國藩對普通混凝土經(jīng)高溫后在兩向壓荷載作用下的變形和強度特征進行了試驗研究。薛偉辰、張志鐵對普通鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)和預應力混凝土結(jié)構(gòu)在單調(diào)荷載及低周反復荷載下的受力全過程進行模擬分析。汪基偉、巫昌海等進行了混凝土三維等效單軸應變本構(gòu)模型的研究，由試驗反演出相應于最大應力的等效單軸應變值，并回歸得到三軸受壓時的計算式。胡文法、朱伯龍、黃鼎業(yè)對受損剪力墻進行了計算分析、并與試驗結(jié)果進行了對比分析。 七、鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)有限元分析的發(fā)展趨勢 鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)非線性有限元分析的目的，第一是認識鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)在各類荷載作用下的受力性能和破壞機理；第二是為鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)的合理設(shè)計提供依據(jù)。為更加合理地描述鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)的受力性能和破壞機理，目前認為有必要對以下一些基本問題進行深入的研究： 1)在多軸應力狀態(tài)下混凝土本構(gòu)關(guān)系的試驗及分析模型的建立。2)在反復荷載作用下混凝土受力性能的試驗及滯回關(guān)系模型的描述。3)粘結(jié)、開裂及剪切機理的進一步研究和有限元描述。4)各種單元的最優(yōu)選擇，例如是選擇鋼筋與混凝土的組合單元還是單獨選擇混凝土單元和鋼筋單元等。5)裂縫模式的最優(yōu)選擇，例如選擇離散裂縫模式或者彌散裂縫模式的條件和適用場合，以及這種選擇對計算結(jié)果的影響等。6)非線性計算的各種算法及其穩(wěn)定性問題。 為更好地用非線性有限元分析方法解決鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計中的各種復雜問題。還需要在下列問題上進行深入研究：1)研制大型、開放的鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)非線性分析程序。2)比較和選擇各種分析模型、計算方法。3)評價和改進現(xiàn)有抗震規(guī)范設(shè)計方法。 參考文獻 [1] 　康清梁. 鋼筋混凝土有限元分析[M] . 北京: 中國水利水電出版社, 1996 [2] 　劉盛遠. 淺析鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)的非線性問題.山西建筑.2006.6 第11期 [3] 　凌廣,吳同樂,賈永剛.鋼筋混凝土有限元分析.四川建筑.2003.10第5期 [4] 　過鎮(zhèn)海，時旭東.鋼筋混凝土原理和分析.清華大學出版社，2003. [5] 陳燕. 鋼筋混凝土的非線性有限元分析.廣東建材.2006第2期.