（全國通用）2019年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第四章 圖形的認(rèn)識(shí) 4.3 等腰三角形與直角三角形（試卷部分）課件.ppt

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2014 2018年全國中考題組考點(diǎn)一等腰三角形 五年中考 1 2018福建 5 4分 如圖 等邊三角形ABC中 AD BC 垂足為D 點(diǎn)E在線段AD上 EBC 45 則 ACE等于 A 15 B 30 C 45 D 60 答案A由等邊三角形ABC中 AD BC 垂足為點(diǎn)D 可得 ACB 60 且點(diǎn)D是BC的中點(diǎn) 所以AD垂直平分BC 所以EC EB 根據(jù)等邊對(duì)等角 得到 ECB EBC 45 故 ACE ACB ECB 60 45 15 2 2017吉林 5 2分 如圖 在 ABC中 以點(diǎn)B為圓心 以BA長為半徑畫弧交邊BC于點(diǎn)D 連接AD 若 B 40 C 36 則 DAC的度數(shù)是 A 70 B 44 C 34 D 24 答案C由作圖知BA BD BAD BDA 70 BDA C DAC DAC BDA C 34 故選C 3 2017天津 9 3分 如圖 將 ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60 得 DBE 點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E恰好落在AB的延長線上 連接AD 下列結(jié)論一定正確的是 A ABD EB CBE CC AD BCD AD BC 答案C ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60 得到 DBE ABD CBE 60 AB BD ABD是等邊三角形 DAB 60 DAB CBE AD BC 故選C 解題關(guān)鍵熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵 4 2016湖北武漢 10 3分 平面直角坐標(biāo)系中 已知A 2 2 B 4 0 若在坐標(biāo)軸上取點(diǎn)C 使 ABC為等腰三角形 則滿足條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是 A 5B 6C 7D 8 答案A如圖 當(dāng)AB AC時(shí) 以點(diǎn)A為圓心 AB長為半徑作圓 與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn) 點(diǎn)B除外 即O 0 0 C0 0 4 其中點(diǎn)C0與A B兩點(diǎn)共線 不符合題意 當(dāng)AB BC時(shí) 以點(diǎn)B為圓心 AB長為半徑作圓 與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn) 均符合題意 當(dāng)AC BC時(shí) 作AB的垂直平分線 與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn) 均符合題意 所以滿足條件的點(diǎn)C有5個(gè) 故選A 5 2018四川成都 11 4分 等腰三角形的一個(gè)底角為50 則它的頂角的度數(shù)為 答案80 解析 等腰三角形的兩底角相等 180 50 2 80 頂角為80 6 2018天津 17 3分 如圖 在邊長為4的等邊 ABC中 D E分別為AB BC的中點(diǎn) EF AC于點(diǎn)F G為EF的中點(diǎn) 連接DG 則DG的長為 答案 解析連接DE 在等邊 ABC中 D E分別是AB BC的中點(diǎn) DE AC DE EC AC 2 DEB C 60 EF AC EFC 90 FEC 30 EF DEG 180 60 30 90 G是EF的中點(diǎn) EG 在Rt DEG中 DG 7 2017湖北黃岡 12 3分 已知 如圖 在正方形ABCD的外側(cè) 作等邊三角形ADE 則 BED 答案45 解析 四邊形ABCD是正方形 AB AD BAD 90 三角形ADE是等邊三角形 AD AE DAE AED 60 BAE BAD DAE 90 60 150 AB AE AEB ABE 180 BAE 2 15 BED AED AEB 60 15 45 8 2017黑龍江哈爾濱 24 8分 已知 ACB和 DCE都是等腰直角三角形 ACB DCE 90 連接AE BD交于點(diǎn)O AE與DC交于點(diǎn)M BD與AC交于點(diǎn)N 1 如圖1 求證 AE BD 2 如圖2 若AC DC 在不添加任何輔助線的情況下 請(qǐng)直接寫出圖2中四對(duì)全等的直角三角形 圖1圖2 解析 1 證明 ACB和 DCE都是等腰直角三角形 ACB DCE 90 AC BC DC EC ACB ACD DCE ACD 即 BCD ACE ACE BCD AE BD 2 ACB DCE AON DOM AOB DOE NCB MCE 9 2017內(nèi)蒙古呼和浩特 18 6分 如圖 等腰三角形ABC中 BD CE分別是兩腰上的中線 1 求證 BD CE 2 設(shè)BD與CE相交于點(diǎn)O 點(diǎn)M N分別為線段BO和CO的中點(diǎn) 當(dāng) ABC的重心到頂點(diǎn)A的距離與底邊長相等時(shí) 判斷四邊形DEMN的形狀 無需說明理由 解析 1 證明 AB AC是等腰三角形ABC的兩腰 AB AC BD CE是中線 AD AC AE AB AD AE 又 A A ABD ACE BD CE 2 四邊形DEMN為正方形 提示 由MN DE分別是 OBC ABC的中位線可得四邊形DEMN是平行四邊形 由 1 知BD CE 故可證OE OD 從而四邊形DEMN是矩形 再由 ABC的重心到頂點(diǎn)A的距離與底邊長相等可知四邊形DEMN為正方形 1 2018陜西 6 3分 如圖 在 ABC中 AC 8 ABC 60 C 45 AD BC 垂足為D ABC的平分線交AD于點(diǎn)E 則AE的長為 A 2B 3C D 考點(diǎn)二直角三角形 答案D AC 8 C 45 AD BC AD ACsin45 4 過點(diǎn)E作EF AB于點(diǎn)F BE是 ABC的平分線 DE EF ABC 60 AD BC BAE 30 在Rt AEF中 EF AE 又 AD 4 DE EF AE AD 故選D 思路分析首先利用AC的長及 C的正弦求出AD的長 進(jìn)而通過角平分線的性質(zhì)及直角三角形中30度角的性質(zhì)確定DE和AE的數(shù)量關(guān)系 最后求出AE的長 2 2017內(nèi)蒙古包頭 12 3分 如圖 在Rt ABC中 ACB 90 CD AB 垂足為D AF平分 CAB 交CD于點(diǎn)E 交CB于點(diǎn)F 若AC 3 AB 5 則CE的長為 A B C D 答案A過F作FG AB于點(diǎn)G AF平分 CAB ACB 90 FC FG 易證 ACF AGF AC AG 5 6 90 B 6 90 5 B 3 1 5 4 2 B 1 2 3 4 CE CF AC 3 AB 5 BC 4 在Rt BFG中 設(shè)CF x x 0 則FG x BF 4 x 又BG AB AG 5 3 2 由BF2 FG2 BG2 得 4 x 2 x2 22 解得x CE CF 選A 3 2016四川南充 7 3分 如圖 在Rt ABC中 A 30 BC 1 點(diǎn)D E分別是直角邊BC AC的中點(diǎn) 則DE的長為 A 1B 2C D 1 答案A在Rt ABC中 A 30 BC 1 AB 2 點(diǎn)D E分別是BC AC的中點(diǎn) DE AB 2 1 4 2018重慶 16 4分 如圖 把三角形紙片折疊 使點(diǎn)B 點(diǎn)C都與點(diǎn)A重合 折痕分別為DE FG 得到 AGE 30 若AE EG 2厘米 則 ABC的邊BC的長為厘米 答案 6 4 解析過E作EH AG于H AGE 30 AE EG 2 EH GH EGcos30 3 AG 6 GC AG 6 易知BE AE EG 2 BC BE EG GC 6 4 厘米 5 2018福建 13 4分 如圖 Rt ABC中 ACB 90 AB 6 D是AB的中點(diǎn) 則CD 答案3 解析依題意可知CD是直角三角形ABC斜邊上的中線 由 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 可得CD AB 3 6 2016遼寧沈陽 16 3分 如圖 在Rt ABC中 A 90 AB AC BC 20 DE是 ABC的中位線 點(diǎn)M是邊BC上一點(diǎn) BM 3 點(diǎn)N是線段MC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) 連接DN ME DN與ME相交于點(diǎn)O 若 OMN是直角三角形 則DO的長是 答案或 解析 A 90 AB AC BC 20 AB AC 10 DE是 ABC的中位線 DE BC DE BC 10 BD CE 5 當(dāng)DN BC時(shí) OMN為直角三角形 如圖 易知 BDN為等腰直角三角形 BN DN 5 BM 3 MN 2 DE BC ODE ONM 即 解得OD 當(dāng)DN ME時(shí) OMN為直角三角形 如圖 過點(diǎn)E作EF BC 垂足為點(diǎn)F 易知 CEF為等腰直角三角形 EF FC 5 BM 3 MF 20 3 5 12 在Rt MFE中 ME 13 DE BC DEO EMF DOE EFM 90 ODE FEM 即 解得OD 綜上所述 DO的長是或 7 2016內(nèi)蒙古呼和浩特 21 7分 已知 如圖 ACB和 ECD都是等腰直角三角形 ACB ECD 90 D為AB邊上一點(diǎn) 1 求證 ACE BCD 2 求證 2CD2 AD2 DB2 證明 1 ACB和 ECD都是等腰直角三角形 CD CE AC BC ECD ACB 90 ECD ACD ACB ACD 即 ECA DCB 1分 在 ACE與 BCD中 3分 ACE BCD 4分 2 ACE BCD AE BD 5分 EAC BAC 45 EAD 90 在Rt EAD中 ED2 AD2 AE2 ED2 AD2 BD2 6分 又ED2 EC2 CD2 2CD2 2CD2 AD2 DB2 7分 考點(diǎn)一等腰三角形 教師專用題組 1 2018河北 8 3分 已知 如圖 點(diǎn)P在線段AB外 且PA PB 求證 點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上 在證明該結(jié)論時(shí) 需添加輔助線 則作法不正確的是 A 作 APB的平分線PC交AB于點(diǎn)CB 過點(diǎn)P作PC AB于點(diǎn)C且AC BCC 取AB中點(diǎn)C 連接PCD 過點(diǎn)P作PC AB 垂足為C 答案B無論作 APB的平分線PC交AB于點(diǎn)C 還是取AB中點(diǎn)C 連接PC或過點(diǎn)P作PC AB 垂足為C 都可以通過等腰三角形三線合一得出結(jié)論 選項(xiàng)A C D的作法正確 故選B 2 2017內(nèi)蒙古包頭 6 3分 若等腰三角形的周長為10cm 其中一邊長為2cm 則該等腰三角形的底邊長為 A 2cmB 4cmC 6cmD 8cm 答案A當(dāng)腰長為2cm時(shí) 底邊長為6cm 但是2 2 4 6 即兩邊之和小于第三邊 不合題意 當(dāng)?shù)走呴L為2cm時(shí) 腰長為4cm 符合題意 故選A 3 2016河北 16 2分 如圖 AOB 120 OP平分 AOB 且OP 2 若點(diǎn)M N分別在OA OB上 且 PMN為等邊三角形 則滿足上述條件的 PMN有 A 1個(gè)B 2個(gè)C 3個(gè)D 3個(gè)以上 答案D如圖所示 過點(diǎn)P分別作OA OB的垂線 垂足分別為C D 連接CD 則 PCD為等邊三角形 在OC DB上分別取M N 使CM DN 則 PCM PDN 所以 CPM DPN PM PN MPN 60 則 PMN為等邊三角形 因?yàn)闈M足CM DN的M N有無數(shù)個(gè) 所以滿足題意的三角形有無數(shù)個(gè) 4 2015吉林長春 6 3分 如圖 在 ABC中 AB AC 過點(diǎn)A作AD BC 若 1 70 則 BAC的大小為 A 30 B 40 C 50 D 70 答案B AB AC B C AD BC 1 C 70 B 70 BAC 40 故選B 5 2014江蘇蘇州 10 3分 如圖 AOB為等腰三角形 頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為 2 底邊OB在x軸上 將 AOB繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度后得 A O B 點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A 在x軸上 則點(diǎn)O 的坐標(biāo)為 A B C D 答案C過A作OB邊的垂線AC 垂足為C 過O 作BA 邊的垂線O D 垂足為D 因?yàn)轫旤c(diǎn)A的坐標(biāo)為 2 所以C點(diǎn)坐標(biāo)為 2 0 所以O(shè)C 2 AC 在Rt OAC中 根據(jù)勾股定理得OA 3 所以AB 3 因?yàn)?AOB為等腰三角形 所以C為OB的中點(diǎn) 所以B點(diǎn)坐標(biāo)為 4 0 故BO BO 4 在Rt O BD和Rt O A D中 O B2 BD2 O A 2 A D2 設(shè)BD x 則有42 x2 32 3 x 2 解得x 所以BD 所以O(shè) D 又OD 4 故O 點(diǎn)的坐標(biāo)為 故選C 6 2018吉林 14 3分 我們規(guī)定 等腰三角形的頂角與一個(gè)底角度數(shù)的比值叫做等腰三角形的 特征值 記作k 若k 則該等腰三角形的頂角為度 答案36 解析設(shè)等腰三角形的頂角為x度 則一個(gè)底角的度數(shù)為2x度 由x 2 2x 180 x 36 故頂角為36度 7 2017四川綿陽 17 3分 將形狀 大小完全相同的兩個(gè)等腰三角形如圖所示放置 點(diǎn)D在AB邊上 DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn) 腰DF和底邊DE分別交 CAB的兩腰CA CB于M N兩點(diǎn) 若CA 5 AB 6 AD AB 1 3 則MD 的最小值為 答案2 解析 B BDN BND 180 BDN FDE ADM 180 B FDE BND ADM 又 B A BDN AMD DN AM MD BD AD AB 1 3 BD AB 4 DN AM 4MD 設(shè)MD x 則MD MD x 2 2 2 2 當(dāng) 即x 時(shí) MD 取得最小值 為2 8 2014江蘇揚(yáng)州 10 3分 若等腰三角形的兩條邊長分別為7cm和14cm 則它的周長為cm 答案35 解析等腰三角形的兩腰相等 若第三邊長為7cm 則7 7 14cm 不能構(gòu)成三角形 若第三邊長為14cm 則7 14 21cm 14cm 符合三角形三邊關(guān)系 所以周長為7 14 14 35cm 9 2014山西 16 3分 如圖 在 ABC中 BAC 30 AB AC AD是BC邊上的中線 ACE BAC CE交AB于點(diǎn)E 交AD于點(diǎn)F 若BC 2 則EF的長為 答案 1 解析在DF上取點(diǎn)G 使DG DC 連接CG AB AC AD為BC邊上的中線 AD BC CAD BAD BAC 15 CDG為等腰直角三角形 DCG 45 ACE BAC ACE CAD AF CF ACE BAC 15 DCG 45 ACB 75 FCG 75 15 45 15 BAD FCG 又 AFE CFG AF CF AFE CFG ASA EF FG AB AC AD為BC邊上的中線 CD BC 1 DCF 75 15 60 DF DC 又 DG DC 1 EF FG DF DG 1 10 2014內(nèi)蒙古呼和浩特 13 3分 等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為36 則該等腰三角形的底角的度數(shù)為 答案63 或27 解析在三角形ABC中 設(shè)AB AC BD AC于D 若三角形是銳角三角形 則 A 90 36 54 此時(shí) 底角 180 54 2 63 若三角形是鈍角三角形 則 BAC 36 90 126 此時(shí) 底角 180 126 2 27 綜上 該等腰三角形底角的度數(shù)是63 或27 11 2017北京 19 5分 如圖 在 ABC中 AB AC A 36 BD平分 ABC交AC于點(diǎn)D 求證 AD BC 證明 AB AC A 36 ABC C 72 BD平分 ABC ABD 36 ABD A AD BD BDC A ABD 72 BDC C BD BC AD BC 12 2015北京 20 5分 如圖 在 ABC中 AB AC AD是BC邊上的中線 BE AC于點(diǎn)E 求證 CBE BAD 證明 AB AC AD是BC邊上的中線 AD BC BAD CAD BE AC BEC ADC 90 CBE 90 C CAD 90 C CBE CAD CBE BAD 13 2014浙江杭州 18 8分 在 ABC中 AB AC 點(diǎn)E F分別在AB AC上 AE AF BF與CE相交于點(diǎn)P 求證 PB PC 并直接寫出圖中其他相等的線段 解析在 AFB和 AEC中 AF AE A為公共角 AB AC 所以 AFB AEC 所以 ABF ACE 因?yàn)锳B AC 所以 ABC ACB 所以 PBC PCB 所以PB PC 其余相等的線段有 BF CE PE PF BE CF 1 2017四川綿陽 11 3分 如圖 直角 ABC中 B 30 點(diǎn)O是 ABC的重心 連接CO并延長交AB于點(diǎn)E 過點(diǎn)E作EF AB交BC于點(diǎn)F 連接AF交CE于點(diǎn)M 則的值為 A B C D 考點(diǎn)二直角三角形 答案D 在Rt ABC中 點(diǎn)O是 ABC的重心 OC CE CE AE EB B BCE 30 CAE ECA 60 CAE是等邊三角形 EF AB FEB 90 CEF 30 CF EF AF平分 CAB AM垂直平分CE CM CE MO CE CM MF CM tan30 CM 故選D 2 2015北京 6 3分 如圖 公路AC BC互相垂直 公路AB的中點(diǎn)M與點(diǎn)C被湖隔開 若測(cè)得AM的長為1 2km 則M C兩點(diǎn)間的距離為 A 0 5kmB 0 6kmC 0 9kmD 1 2km 答案D AC BC M是AB的中點(diǎn) MC AB AM 1 2km 故選D 3 2018河南 15 3分 如圖 MAN 90 點(diǎn)C在邊AM上 AC 4 點(diǎn)B為邊AN上一動(dòng)點(diǎn) 連接BC A BC與 ABC關(guān)于BC所在直線對(duì)稱 點(diǎn)D E分別為AC BC的中點(diǎn) 連接DE并延長交A B所在直線于點(diǎn)F 連接A E 當(dāng) A EF為直角三角形時(shí) AB的長為 答案4或4 解析 1 當(dāng)點(diǎn)A 在直線DE下方時(shí) 如圖1 CA F 90 EA F CA F A EF為鈍角三角形 不符合 2 當(dāng)點(diǎn)A 在直線DE上方時(shí) 如圖2 當(dāng) A FE 90 時(shí) DE AB EDA 90 A B AC 由對(duì)稱知四邊形ABA C為正方形 AB AC 4 當(dāng)點(diǎn)A 在直線DE上方時(shí) 如圖3 當(dāng) A EF 90 時(shí) A E AC 所以 A EC ACE A CE A C A E A E EC A CE為等邊三角形 ACB A CB 60 在Rt ACB中 AB AC tan60 4 當(dāng)點(diǎn)A 在直線DE上方時(shí) EA F CA B 不可能為90 綜上所述 當(dāng) A EF為直角三角形時(shí) AB的長為4或4 圖1 圖2圖3 4 2015貴州遵義 16 4分 我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理 創(chuàng)制了一幅 弦圖 后人稱其為 趙爽弦圖 如圖 1 圖 2 由弦圖變化得到 它是由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成 記圖中正方形ABCD 正方形EFGH 正方形MNKT的面積分別為S1 S2 S3 若正方形EFGH的邊長為2 則S1 S2 S3 答案12 解析設(shè)AH a AE b EH c 則c 2 所以S1 S2 S3 a b 2 c2 a b 2 2 a2 b2 c2 3c2 3 22 12 5 2015江西南昌 14 3分 如圖 在 ABC中 AB BC 4 AO BO P是射線CO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) AOC 60 則當(dāng) PAB為直角三角形時(shí) AP的長為 答案2或2或2 解析由題意知 滿足條件的點(diǎn)P有三個(gè)位置 如圖 APB 90 因?yàn)镺A OB 2 所以O(shè)P OA 2 又因?yàn)?AOC 60 所以 POA為等邊三角形 所以AP 2 如圖 APB 90 因?yàn)镺A OB 2 所以O(shè)P OA OB 2 又 AOC BOP 60 所以 OBP為等邊三角形 所以 OBP 60 所以 OAP 30 所以AP AB cos OAP 4 2 如圖 ABP 90 因?yàn)?BOP AOC 60 所以BP OB tan60 2 在Rt ABP中 AP 2 綜上所述 AP的長為2或2或2 6 2014貴州貴陽 15 4分 如圖 在Rt ABC中 BAC 90 AB AC 16cm AD為BC邊上的高 動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā) 沿A D方向以cm s的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng) 設(shè) ABP的面積為S1 矩形PDFE的面積為S2 運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒 0 t 8 則t 秒時(shí) S1 2S2 答案6 解析由題意可知Rt ADC Rt APE和Rt EFC都是等腰直角三角形 AD DC BD 8cm 因?yàn)锳P tcm 所以DP EF FC 8 t cm DF tcm 所以S1 AP BD t 8 8tcm2 S2 PD DF 8 t t 2t2 16t cm2 所以當(dāng)S1 2S2時(shí) 有8t 4t2 32t 解得t 6 7 2014湖北武漢 16 3分 如圖 在四邊形ABCD中 AD 4 CD 3 ABC ACB ADC 45 則BD的長為 答案 解析作AD AD 且使AD AD 連接CD DD 如圖 由已知條件可得 BAC CAD DAD CAD 即 BAD CAD 在 BAD與 CAD 中 BAD CAD SAS BD CD 又 DAD 90 由勾股定理得DD 4 易知 D DA ADC 90 由勾股定理得CD BD CD 8 2018安徽 23 14分 如圖1 Rt ABC中 ACB 90 點(diǎn)D為邊AC上一點(diǎn) DE AB于點(diǎn)E 點(diǎn)M為BD的中點(diǎn) CM的延長線交AB于點(diǎn)F 1 求證 CM EM 2 若 BAC 50 求 EMF的大小 3 如圖2 若 DAE CEM 點(diǎn)N為CM的中點(diǎn) 求證 AN EM 圖1圖2 解析 1 證明 由已知 在Rt BCD中 BCD 90 M為斜邊BD的中點(diǎn) CM BD 又DE AB 同理 EM BD CM EM 4分 2 由已知得 CBA 90 50 40 又由 1 知CM BM EM CME CMD DME 2 CBM EBM 2 CBA 2 40 80 EMF 180 CME 100 9分 3 證明 DAE CEM CME DEA 90 DE CM AE EM 又CM DM EM DM DE EM DEM是等邊三角形 MEF DEF DEM 30 證法一 在Rt EMF中 EMF 90 MEF 30 又 NM CM EM AE FN FM NM EF AE AE EF AF 又 AFN EFM AFN EFM NAF MEF AN EM 14分 證法二 連接AM 則 EAM EMA MEF 15 AMC EMC EMA 75 又 CMD EMC EMD 30 且MC MD ACM 180 30 75 由 可知AC AM 又N為CM的中點(diǎn) AN CM 又 EM CF AN EM 14分 9 2017北京 28 7分 在等腰直角 ABC中 ACB 90 P是線段BC上一動(dòng)點(diǎn) 與點(diǎn)B C不重合 連接AP 延長BC至點(diǎn)Q 使得CQ CP 過點(diǎn)Q作QH AP于點(diǎn)H 延長QH交AB于點(diǎn)M 1 若 PAC 求 AMQ的大小 用含 的式子表示 2 用等式表示線段MB與PQ之間的數(shù)量關(guān)系 并證明 解析 1 ACB是等腰直角三角形 CAB 45 PAB 45 QH AP AMQ 90 PAB 45 2 線段MB與PQ之間的數(shù)量關(guān)系為PQ MB 證明 連接AQ 過點(diǎn)M作MN BQ于點(diǎn)N 如圖 則 MNB為等腰直角三角形 MB MN AC BQ CQ CP AP AQ QAC PAC QAM BAC QAC 45 QAC 45 PAC AMQ QA QM MQN APQ PAC APQ 90 MQN PAC MQN QAC Rt QAC Rt MQN QC MN PQ 2QC 2MN MB 10 2016北京 23 5分 如圖 在四邊形ABCD中 ABC 90 AC AD M N分別為AC CD的中點(diǎn) 連接BM MN BN 1 求證 BM MN 2 若 BAD 60 AC平分 BAD AC 2 求BN的長 解析 1 證明 在 ABC中 ABC 90 M為AC的中點(diǎn) BM AC N為CD的中點(diǎn) MN AD AC AD BM MN 2 BAD 60 AC平分 BAD BAC CAD 30 由BM AM 可得 BMC 2 BAC 60 由MN AD 可得 CMN CAD 30 BMN BMC CMN 90 AC AD 2 BM MN 1 在Rt BMN中 BN 11 2016廣東 21 7分 如圖 Rt ABC中 B 30 ACB 90 CD AB交AB于D 以CD為較短的直角邊向 CDB的同側(cè)作Rt DEC 滿足 E 30 DCE 90 再用同樣的方法作Rt FGC FCG 90 繼續(xù)用同樣的方法作Rt HIC HCI 90 若AC a 求CI的長 解析 Rt ABC中 B 30 ACB 90 A 60 1分 CD AB ADC 90 ACD 30 2分 AC a Rt ADC中 AD AC CD AD a 4分 同理可得 Rt DFC中 DF CD a CF DF a 5分 Rt FHC中 FH CF a CH FH a 6分 Rt CHI中 CI CH a 7分 評(píng)析本題考查直角三角形的基本性質(zhì)與運(yùn)算 12 2016安徽 23 14分 如圖1 A B分別在射線OM ON上 且 MON為鈍角 現(xiàn)以線段OA OB為斜邊向 MON的外側(cè)作等腰直角三角形 分別是 OAP OBQ 點(diǎn)C D E分別是OA OB AB的中點(diǎn) 1 求證 PCE EDQ 2 延長PC QD交于點(diǎn)R 如圖2 若 MON 150 求證 ABR為等邊三角形 如圖3 若 ARB PEQ 求 MON的大小和的值 解析 1 證明 點(diǎn)C D E分別是OA OB AB的中點(diǎn) DE OC CE OD 四邊形ODEC為平行四邊形 OCE ODE 又 OAP OBQ都是等腰直角三角形 PCO QDO 90 PCE PCO OCE QDO ODE EDQ 又 PC AO CO ED CE OD OB DQ PCE EDQ 5分 2 證明 如圖 連接OR PR與QR分別為線段OA與OB的中垂線 AR OR BR ARC ORC ORD BRD 在四邊形OCRD中 OCR ODR 90 MON 150 CRD 30 ARB ARO BRO 2 CRO 2 ORD 2 CRD 60 ABR為等邊三角形 9分 由 1 知EQ PE DEQ CPE 又 AO ED CED ACE PEQ CED CEP DEQ ACE CEP CPE ACE RCE ACR 90 即 PEQ為等腰直角三角形 ARB PEQ ARB 90 于是在四邊形OCRD中 OCR ODR 90 CRD ARB 45 MON 135 此時(shí)P O B在一條直線上 PAB為直角三角形且 APB為直角 所以AB 2PE 2 PQ PQ 則 14分 A組2016 2018年模擬 基礎(chǔ)題組考點(diǎn)一等腰三角形 三年模擬 1 2018云南昆明盤龍模擬 4 如圖 在 ABC中 B C AD平分 BAC AB 5 BC 6 則AD A 3B 4C 5D 6 答案B B C AB AC AD平分 BAC AD BC BD CD BC 3 在Rt ABD中 AB 5 BD 3 AD 4 故選B 2 2016河北石家莊裕華 9 已知等腰三角形的頂角是84 則一腰上的高與底邊所成的角的度數(shù)是 A 42 B 60 C 36 D 46 答案A如圖 在 ABC中 AB AC BD是邊AC上的高 A 84 且AB AC ABC C 180 84 2 48 在Rt BDC中 BDC 90 C 48 DBC 90 48 42 故選A 3 2018湖北襄陽谷城模擬 15 四邊形ABCD是正方形 點(diǎn)E是直線AB上的一動(dòng)點(diǎn) 且 AEC是以AC為腰的等腰三角形 則 BCE的度數(shù)為 答案67 5 或45 或22 5 解析 當(dāng)AC AE時(shí) 以A為圓心 AC為半徑作圓 交直線AB于點(diǎn)E 當(dāng)E在BA的延長線上時(shí) 如圖1 易知 EAC 135 ACE BEC 22 5 BCE BCA ACE 67 5 圖1當(dāng)E在AB的延長線上時(shí) 如圖2 易知 EAC 45 ACE 67 5 BCE ACE ACB 22 5 圖2 當(dāng)AC CE時(shí) 以C為圓心AC為半徑作圓 交直線AB于點(diǎn)E 如圖3 圖3 EAC CEA 45 CBE 90 BCE 45 綜上 BCE的度數(shù)為67 5 或45 或22 5 4 2017黑龍江哈爾濱南崗 19 若一個(gè)等腰三角形的兩條邊的長度之比為3 2 則這個(gè)等腰三角形底角的正切值為 答案2或 解析如圖 作AD BC于點(diǎn)D 則BD CD BC 若AB BC 3 2 則設(shè)AB 3x x 0 則BC 2x BD x AD 2x 則tanB 2 若BC AB 3 2 則設(shè)BC 3x x 0 則AB 2x BD x AD x 則tanB 故答案為2或 5 2018海南?？谀M 23 已知 ABC是等邊三角形 D E分別是AB BC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn) 與點(diǎn)A B C不重合 且始終保持BD CE 1 當(dāng)點(diǎn)D E運(yùn)動(dòng)到如圖1所示的位置時(shí) 連接CD AE 求證 CD AE 2 把圖1中的 ACE繞著A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60 到 ABF的位置 如圖2 分別連接DF EF 找出圖2中所有的等邊三角形 ABC除外 并對(duì)其中一個(gè)給予證明 試判斷四邊形CDFE的形狀 并說明理由 圖1圖2 解析 1 證明 ABC是等邊三角形 BC CA B ECA 60 又 BD CE BCD CAE CD AE 2 題圖2中有2個(gè)等邊三角形 ABC除外 分別是 BDF AFE 現(xiàn)證明 BDF為等邊三角形 由題設(shè) 知 ACE ABF CE BF ECA ABF 60 又 BD CE BD CE BF BDF是等邊三角形 提示 證明AF AE FAE 60 從而得出 AFE是等邊三角形 四邊形CDFE是平行四邊形 理由如下 FDB ABC 60 FD EC 又 FD FB EC 四邊形CDFE是平行四邊形 6 2016黑龍江龍東 26 在 ABC中 AB AC BAC 60 點(diǎn)E為直線AC上一點(diǎn) 點(diǎn)D為直線BC上一點(diǎn) 且DA DE 當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí) 如圖 易證 BD AB AE 當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長線上時(shí) 如圖 圖 猜想線段BD AB和AE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系 寫出你的猜想 并選擇一種給予證明 解析題圖 中 結(jié)論 BD AE AB 證明 作EM AB交BC于M 如圖 ABC是等邊三角形 ABC C BAC 60 AB BC AC CEM CAB 60 CME CBA 60 CME是等邊三角形 CE CM EM EMC 60 AE BM DA DE DAE DEA BAC DAB C EDM DAB EDM 由EM AB 可知 ABD EMD 在 ABD和 DME中 ABD DME DB EM CM 又AE BM DB AE CM BM BC AB 題圖 中 結(jié)論 BD AE AB 證明 作EM AB交CB的延長線于M 如圖 ABC是等邊三角形 ABC C BAC 60 AB BC AC CEM CAB 60 CME CBA 60 CME是等邊三角形 CE CM EM EMC MEC 60 AE BM DA DE DAE DEA C ADC MEC DEM ADB DEM 由EM AB可知 ABD EMD 在 ABD和 DME中 ABD DME DB EM CM 又AE BM DB AE CM BM BC AB 1 2018云南昭通昭陽模擬 2 若一直角三角形兩邊長分別為12和5 則第三邊的長為 A 13B 13或C 13或15D 15 考點(diǎn)二直角三角形 答案B當(dāng)斜邊長是12時(shí) 第三邊的長是 當(dāng)一直角邊長是12時(shí) 第三邊的長是 13 故選B 2 2016黑龍江龍東 8 如圖 在 ABC中 ACB 90 BE平分 ABC ED AB于D 如果 A 30 AE 6cm 那么CE等于 A cmB 2cmC 3cmD 4cm 答案C ED AB A 30 AE 2ED AE 6cm ED 3cm ACB 90 BE平分 ABC ED CE 3cm 故選C 3 2017上海靜安 18 一張直角三角形紙片ABC ACB 90 AB 24 tanB 將它沿EF折疊 使直角頂點(diǎn)C與斜邊AB的中點(diǎn)D重合 那么折痕EF的長為 答案13 解析連接CD 交EF于點(diǎn)O CD是斜邊AB上的中線 DC DB AB 12 DCB B 由題意得 EF是CD的垂直平分線 OEC OCE 90 CO OD 6 又 DCB OCE 90 OEC DCB B tanB tan OEC 設(shè)CF 2x x 0 則CE 3x 由勾股定理得 EF x 則 2x 3x x 6 解得x 舍去x 0 EF 13 故答案為13 4 2016吉林長春 12 如圖 在Rt ABC中 ABC 90 按如下步驟作圖 分別以點(diǎn)B C為圓心 大于AB的長為半徑作弧 兩弧相交于點(diǎn)M和N 作直線MN 交AC于點(diǎn)D 連接BD 若AC 8 則BD的長為 答案4 解析由題意可得MN是線段BC的垂直平分線 則AB MN MN垂直平分BC D是AC的中點(diǎn) BD是直角三角形ABC斜邊上的中線 BD AC 4 5 2018湖北襄陽?？?月模擬 18 1 探究發(fā)現(xiàn) 如圖1 ABC為等邊三角形 點(diǎn)D為AB邊上的一點(diǎn) DCE 30 DCF 60 且CF CD 求 EAF的度數(shù) DE與EF相等嗎 請(qǐng)說明理由 2 類比探究 如圖2 ABC為等腰直角三角形 ACB 90 點(diǎn)D為AB邊上的一點(diǎn) DCE 45 CF CD CF CD 請(qǐng)直接寫出 EAF的度數(shù) 線段AE ED DB之間的數(shù)量關(guān)系 解析 1 ABC是等邊三角形 AC BC BAC B ACB 60 DCF 60 ACB DCF ACF BCD 在 ACF和 BCD中 ACF BCD SAS CAF B 60 EAF BAC CAF 120 DE EF 理由如下 DCF 60 DCE 30 FCE 60 30 30 DCE FCE 在 DCE和 FCE中 DCE FCE SAS DE EF 2 ABC是等腰直角三角形 ACB 90 AC BC BAC B 45 DCF 90 ACB DCF ACF BCD 在 ACF和 BCD中 ACF BCD SAS CAF B 45 AF DB EAF BAC CAF 90 AE2 DB2 DE2 理由如下 DCF 90 DCE 45 FCE 90 45 45 DCE FCE 在 DCE和 FCE中 DCE FCE SAS DE EF 在Rt AEF中 AE2 AF2 EF2 又 AF DB AE2 DB2 DE2 B組2016 2018年模擬 提升題組 時(shí)間 40分鐘分值 50分 一 選擇題 每小題3分 共6分 1 2018天津河?xùn)|一模 11 如圖 在底邊BC為2 腰AB為2的等腰三角形ABC中 DE垂直平分AB 交AB于點(diǎn)D 交BC于點(diǎn)E 則 ACE的周長為 A 2 B 2 2C 4D 3 答案B DE垂直平分AB BE AE AE CE BC 2 ACE的周長 AC AE CE AC BC 2 2 故選B 2 2016遼寧大連 8 如圖 在 ABC中 C 90 AC 2 點(diǎn)D在BC上 ADC 2 B AD 則BC的長為 A 1B 1C 1D 1 答案D C 90 DC 1 ADC B BAD ADC 2 B B BAD BD AD BC 1 3 2018貴州黔南州一模 19 如圖 已知O為坐標(biāo)原點(diǎn) 四邊形OABC為矩形 A 10 0 C 0 4 點(diǎn)D是OA的中點(diǎn) 點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng) 當(dāng) ODP是腰長為5的等腰三角形時(shí) 則P點(diǎn)的坐標(biāo)為 二 填空題 每小題3分 共15分 答案 2 4 或 3 4 或 8 4 解析當(dāng)OD PD P在D右邊 時(shí) 如圖1 過P作PQ x軸于Q 圖1在Rt DPQ中 PQ 4 PD OD OA 5 根據(jù)勾股定理得DQ 3 故OQ OD DQ 5 3 8 則此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為 8 4 當(dāng)OD PD P在D左邊 時(shí) 如圖2 過P作PQ x軸于Q 圖2在Rt DPQ中 PQ 4 PD OD 5 根據(jù)勾股定理得 QD 3 故OQ OD QD 5 3 2 則此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為 2 4 當(dāng)PO OD時(shí) 如圖3 過P作PQ x軸于Q 圖3在Rt OPQ中 OP OD 5 PQ 4 根據(jù)勾股定理得 OQ 3 則此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為 3 4 綜上 滿足題意的P點(diǎn)坐標(biāo)為 2 4 或 3 4 或 8 4 4 2018湖北武漢武昌一模 15 如圖 四邊形ABDC中 AB CD AC BC DC 4 AD 6 則BD 答案2 解析如圖 延長BC至點(diǎn)E 使CE BC 連接DE BC CD CD BC CE 4 BDE 90 BE 8 AC BC ABC BAC AB CD ABC DCB BAC BAC DCA 180 又 DCB DCE 180 DCE DCA 在 ECD與 ACD中 DCE DCA SAS ED AD 6 在Rt BDE中 BE 8 ED 6 BD 2 5 2017湖北武漢 15 如圖 點(diǎn)A的坐標(biāo)為 0 1 點(diǎn)B是x軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) 以AB為邊作等腰直角三角形ABC 使 BAC 90 取BC的中點(diǎn)P 當(dāng)點(diǎn)B從點(diǎn)O沿x軸正半軸移動(dòng)到點(diǎn)M 2 0 時(shí) 點(diǎn)P移動(dòng)的距離為 答案 解析如圖1所示 過P作PD x軸于D 作PE y軸于E 則 DPE 90 AEP BDP 90 連接AP 圖1 ABC是等腰直角三角形 P是BC的中點(diǎn) AP BC BP 且AP BC 即 APB 90 APE BPD 在 AEP和 BDP中 AEP BDP AAS PE PD 點(diǎn)P沿 AOM的平分線的方向移動(dòng) 如圖2所示 當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)O重合時(shí) AB AO 1 OC OP OC 圖2如圖3所示 當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)M重合時(shí) 過P作PD x軸于D 作PE y軸于E 連接AP OP 圖3 由 AEP BDP 可得AE BD 設(shè)AE BD x x 0 則OE 1 x OD 2 x 易知四邊形ODPE是正方形 OD OE 即2 x 1 x 解得x OD 2 在等腰直角三角形OPD中 OP OD 當(dāng)點(diǎn)B從點(diǎn)O沿x軸正半軸移動(dòng)到點(diǎn)M時(shí) 點(diǎn)P移動(dòng)的距離為 6 2016遼寧撫順 16 如圖 Rt ABC中 ACB 90 A 30 BC 2 將 ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度后得到 EDC 點(diǎn)D在AB邊上 DE交AC于點(diǎn)F 則圖中陰影部分的面積為 答案 解析 ABC是直角三角形 ACB 90 A 30 BC 2 B 60 AB 2BC 4 AC 2 EDC是由 ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度后得到的 CD BC 2 又 B 60 BCD是等邊三角形 BCD 60 DCF 30 DFC 90 DE AC DE BC BD AB 2 DF是 ABC的中位線 DF BC 2 1 CF AC 2 S陰影 DF CF 1 7 2016江蘇徐州 16 如圖 在Rt ABC中 ABC 90 AB BC 將 ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60 得到 MNC 連接BM 則BM的長是 答案 1 解析如圖 設(shè)AC與BM相交于點(diǎn)D 連接AM 由題意知 ABC為等腰直角三角形 所以 BAC BCA 45 易知 AMC是等邊三角形 所以CM AM 易證 BMC BMA 所以 CBM ABM 45 CMB AMB 30 所以 CDM CDB 90 在Rt CDB中 CD CB sin45 1 所以BD CD 1 在Rt CDM中 DM 所以BM DM BD 1 8 2018湖北荊門模擬 19 如圖 ABD和 ACE都是直角三角形 其中 ABD ACE 90 C在AB上 連接DE M是DE的中點(diǎn) 求證 MC MB 三 解答題 共29分 證明延長CM DB 設(shè)交點(diǎn)為G ABD和 ACE都是直角三角形 且 ACE ABD 90 CE BD 即CE DG CEM GDM MCE MGD M是DE的中點(diǎn) DM EM ECM DGM CM MG G在DB的延長線上 CBG是直角三角形 在Rt CBG中 BM CG CM 9 2017湖北天門 24 如圖 已知 BAD和 BCE均為等腰直角三角形 BAD BCE 90 點(diǎn)M為DE的中點(diǎn) 過點(diǎn)E與AD平行的直線交射線AM于點(diǎn)N 1 當(dāng)A B C三點(diǎn)在同一直線上時(shí) 如圖1 求證 M為AN的中點(diǎn) 2 將圖1中的 BCE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn) 當(dāng)A B E三點(diǎn)在同一直線上時(shí) 如圖2 求證 ACN為等腰直角三角形 3 將圖1中的 BCE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到圖3的位置 此時(shí)A B M三點(diǎn)在同一直線上 2 中的結(jié)論是否仍然成立 若成立 試證明該結(jié)論 若不成立 請(qǐng)說明理由 解析 1 證明 EN AD MAD MNE ADM NEM 點(diǎn)M為DE的中點(diǎn) DM EM 在 ADM和 NEM中 ADM NEM AM MN M為AN的中點(diǎn) 2 證明 BAD和 BCE均為等腰直角三角形 AB AD CB CE CBE CEB 45 AD NE DAE NEA 180 DAE 90 NEA 90 NEC 135 A B E三點(diǎn)在同一直線上 ABC 180 CBE 135 ABC NEC 由 1 知 ADM NEM AD NE AD AB AB NE 在 ABC和 NEC中 ABC NEC AC NC ACB NCE ACN BCE 90 ACN為等腰直角三角形 3 ACN仍為等腰直角三角形 證明 由 1 知 ADM NEM AD NE AD AB AB NE AD NE AD AN AN NE 在四邊形BCEN中 BCE BNE 90 NBC NEC 360 180 180 NBC ABC 180 ABC NEC 在 ABC和 NEC中 ABC NEC AC NC ACB NCE ACN BCE 90 ACN為等腰直角三角形 解析 1 在Rt ABE和Rt AGE中 AE AE AB AG Rt ABE Rt AGE BAE GAE 同理 GAF DAF EAF BAD 45 2 MN2 ND2 DH2 理由如下 由題意得 BAM DAH B ADH BAM DAN 45 HAN DAH DAN 45 HAN MAN 又 AM AH AN AN AMN AHN MN HN BAD 90 AB AD ABD ADB 45 HDN HDA ADB 90 HN2 ND2 DH2 MN2 ND2 DH2