北京市西城區(qū)中考復(fù)習《圖形變換》建議講義及練習.doc

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北京市西城區(qū)重點中學(xué)2015-2016學(xué)年度第二學(xué)期初三數(shù)學(xué)中考復(fù)習 《圖形變換》復(fù)習建議 平移、軸對稱和旋轉(zhuǎn)是幾何變換中的基本變換. 通過平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)變換可以使復(fù)雜圖形簡單化、一般圖形特殊化, 分散條件集中化. 從圖形變換的角度思考問題, 可以整體把握圖形的性質(zhì), 解決問題的思路更加簡明、清晰. 當圖形運動變化的時候, 從運動變換的角度分析圖形, 更容易發(fā)現(xiàn)不變量和特殊圖形. 一、2016年《考試說明》的要求 考試內(nèi)容 考試要求 A B C 圖形的變化 圖形的平移 了解平移的概念; 理解平移的基本性質(zhì). 能畫出簡單平面圖形平移后的圖形; 能利用平移的性質(zhì)解決有關(guān)簡單問題. 運用平移的有關(guān)內(nèi)容解決有關(guān)問題 圖形的軸對稱 了解軸對稱的概念; 理解軸對稱的基本性質(zhì); 了解軸對稱圖形的概念. 能畫出簡單平面圖形關(guān)于給定對稱軸的對稱圖形; 探索等腰三角形、矩形、菱形、正多邊形、圓的軸對稱性質(zhì); 能利用軸對稱的性質(zhì)解決有關(guān)簡單問題. 運用軸對稱的有關(guān)內(nèi)容解決有關(guān)問題 圖形的旋轉(zhuǎn) 認識平面圖形關(guān)于旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn); 理解旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì); 了解中心對稱、中心對稱圖形的概念; 理解中心對稱的基本性質(zhì). 能畫出簡單平面圖形關(guān)于給定旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)圖形; 探索線段、平行四邊形、正多邊形、圓的中心對稱性質(zhì); 能利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)解決有關(guān)簡單問題. 運用旋轉(zhuǎn)的有關(guān)內(nèi)容解決有關(guān)問題 二、圖形變換在近年中考中的呈現(xiàn)方式 顯性: 題目以圖形變換的語言敘述或圖形本身具有變換的特征. 隱性: 解決問題時需利用圖形變換的觀點分析和思考, 并能適當添加輔助線構(gòu)造所需圖形. 三、對圖形變換的認識過程 1. 掌握圖形變換的概念和性質(zhì); 2. 對已學(xué)圖形和常用輔助線的再認識: (1) 從圖形的構(gòu)成和圖形特點分析圖形的軸對稱性、中心對稱和旋轉(zhuǎn)對稱性. (2) 從圖形變換的角度分析添加輔助線后構(gòu)造出的圖形性質(zhì). 3. 掌握基本輔助線: (1) 中點、中線——中心對稱——倍長中線——中位線 (2) 等腰三角形、角平分線、垂直平分線——軸對稱——截長補短; (3) 平行四邊形、梯形——平移; (4) 正多邊形、共端點的等線段——旋轉(zhuǎn); 4. 利用圖形變換的觀點分析和思考問題并能適當添加輔助線構(gòu)造特殊圖形. 5. 用變換的性質(zhì)解決坐標系中的圖形變換問題, 用變換的觀點研究函數(shù)的平移和對稱. 四、復(fù)習建議 1. 基本概念明晰 平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)都是全等變換, 只改變圖形的位置, 不改變圖形的形狀和大小. 由于變換方式的不同, 故變換前后具有各自的性質(zhì). (1) 平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn) 平移 軸對稱 旋轉(zhuǎn) 相同點 都是全等變換, 即變換前后的圖形全等. 不 同 點 定義 把一個圖形沿某一方向移動一定距離的圖形變換, 叫~. 把一個圖形沿著某一條直線折疊的圖形變換叫~. 把一個圖形繞著某一定點轉(zhuǎn)動一個角度的圖形變換叫~. 圖形 要素 平移方向 平移距離 對稱軸 旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、 旋轉(zhuǎn)角度 性質(zhì) 連接各組對應(yīng)點的線段平行(或共線)且相等. 任意一對對應(yīng)點所連線段被對稱軸垂直平分. 對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等; 對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角. 即: 對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角彼此相等. (2) 旋轉(zhuǎn)與中心對稱 中心對稱是一種特殊的旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)180), 滿足旋轉(zhuǎn)的性質(zhì), 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以得到 中心對稱性質(zhì). 旋轉(zhuǎn) 中心對稱 圖 形 性質(zhì) 1 對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角. 對稱點所連線段都經(jīng)過對稱中心. 2 對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等. 對稱點所連線段被對稱中心所平分. 3 旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等. 關(guān)于中心對稱的兩個圖形是全等圖形 2. 三種變換之間的一些聯(lián)系. ①連續(xù)兩次對稱軸平行的軸對稱變換可實現(xiàn)一次平移. ②以兩垂直直線為對稱軸, 連續(xù)做軸對稱變換可實現(xiàn)中心對稱變換. ③以兩相交直線為對稱軸, 連續(xù)做軸對稱變換可實現(xiàn)旋轉(zhuǎn)變換. 例: 已知△ABC, 直線PQ、PR, 作△ABC關(guān)于PQ的對稱圖形△ABC, 再作△ABC關(guān)于PR的對稱圖形△ABC, 則△ABC與△ABC的關(guān)系是以P為中心將△ABC旋轉(zhuǎn)2∠QPR得到△ABC . 由此可知, 將一個圖形關(guān)于兩條相交直線軸對稱兩次, 則可得到原圖形關(guān)于兩直線交點的旋轉(zhuǎn)兩倍夾角后的圖形. 3. (1) 常見的平移有: 平移梯形的腰、對角線、高、平行四邊形等. (2) 涉及到“對稱”均可考慮對稱變換. 如沿等腰三角形的底邊上的高翻折, 沿角的平分線翻折等. (3) 常用到旋轉(zhuǎn)的有繞等邊三角形的一個頂點旋轉(zhuǎn)60, 繞正方形的一個頂點旋轉(zhuǎn)90、 繞等腰三角形的頂點旋轉(zhuǎn), 旋轉(zhuǎn)角等于等腰三角形的頂角等. 五、專題復(fù)習 A B C O y x 平移變換 1. (2011湖北黃岡) 如圖, 把Rt△ABC放在直角坐標系內(nèi), 其中 ∠CAB=90, BC=5, 點A、B的坐標分別為(1, 0) 、(4, 0) , 將△ABC沿x軸向右平移, 當點C落在直線y=2x-6上時, 線段 BC掃過的面積為( C ) A. 4 B. 8 C. 16 D. 8 2. 如圖, 在梯形ABCD中, AD∥BC, ∠B=90, ∠C=45, AD=1, BC=4, E 為AB中點, EF //DC交BC于點F, 求EF的長． 3. (2007北京) 如圖, 已知△ABC. (1) 請你在BC邊上分別取兩點D, E(BC的中點除外) , 連結(jié)AD, AE, 寫出使此圖中只存在兩對面積相等的三角形的相應(yīng)條件, 并表示出面積相等的三角形; C B D E A A B C (2) 請你根據(jù)使(1) 成立的相應(yīng)條件, 證明AB+AC > AD+AE. 4. 如圖, 在Rt△ABC中, AD=BC, CD=BE. 求∠BOE的度數(shù)? 45 B O A D C E 軸對稱變換 ●軸對稱計算． 5. (2014懷柔二模) 如圖(a) , 有一張矩形紙片ABCD, 其中AD=6cm, 以AD為直徑的半圓, 正好與對邊BC相切,將矩形紙片ABCD沿DE折疊, 使點A落在BC上, 如圖(b), 則半圓被覆蓋部分(陰影部分) 的面積為________. (a) C B F E A A D D 6. (2012江蘇南京) 如圖, 菱形紙片ABCD中, ∠A=60, 將紙片折疊, 點A、D分別落在A、D 處, 且AD 經(jīng)過B, EF為折痕, 當D FCD時, 的 值為( A ) A. B. C. D. 7. (1) 如圖, 在直角坐標系中, 將矩形OABC沿OB對折, 使點A落在點處, 若OA =, , 則點A 的坐標是多少? (,) (2) 如圖, 把矩形紙片OABC放入平面直角坐標系中, 使OA、OC分別落在x軸、y軸上, 連結(jié)OB, 將紙片OABC沿OB折疊, 使點A落在A 的位置, 若OB =,, 則點A 的坐標是多少? ●最短路徑問題． 基本圖形已經(jīng)歸納總結(jié)在總復(fù)習書中 8.(2010天津)在平面直角坐標系中, 矩形的頂點O在坐標原點, 頂點A、B分別在x軸、 y軸的正半軸上, , , D為邊OB的中點. A B C O D D E y x x y C B D O A (Ⅰ) 若為邊上的一個動點, 當△的周長最小時, 求點的坐標; (1, 0) (Ⅱ) 若、為邊上的兩個動點, 且, 當四邊形的周長最小時, 求點、的坐標. (, 0), (, 0) 9. 如圖1, 已知等邊△ABC的邊長為1, D、E、F分別是AB、BC、AC邊上的點(均不與點A、B、C重合) , 記△DEF的周長為. (1) 若D、E、F分別是AB、BC、AC邊上的中點, 則=_____; (2) 若D、E、F分別是AB、BC、AC邊上任意點, 則的取值范圍是 . ≤ p < 3 小亮和小明對第(2) 問中的最小值進行了討論, 小亮先提出了自己的想法: 將△ABC以AC邊為軸翻折一次得, 再將以為軸翻折一次得, 如圖2所示. 則由軸對稱的性質(zhì)可知, , 根據(jù)兩點之間線段最短, 可得. 老師聽了后說: “你的想法很好, 但的長度會因點D的位置變化而變化, 所以還得不出我們想要的結(jié)果.”小明接過老師的話說: “那我們繼續(xù)再翻折3次就可以了”.請參考他們的想法, 寫出你的答案. ●軸對稱證明題． 10. (2012西城)已知: 在如圖1所示的銳角三角形ABC中, CH⊥AB于點H, 點B關(guān)于直線CH的對稱點為D, AC邊上一點E滿足∠EDA=∠A, 直線DE交直線CH于點F． (1) 求證: BF∥AC; (2) 若AC邊的中點為M, 求證: ; (3) 當AB=BC時(如圖2) , 在未添加輔助線和其它字母的條件下, 找出圖2中所有與BE相等的線段, 并證明你的結(jié)論． 圖2 圖1 旋轉(zhuǎn)變換 ●旋轉(zhuǎn)變換的常見應(yīng)用 (一) 以等邊三角形為背景的旋轉(zhuǎn)問題 11.如圖, C為BD上一點,分別以BC, CD為邊向同側(cè)作等邊△ABC與△ECD, AD, BE相交于點M. ①探究線段BE和AD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系. 在圖中你還發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論? ②當△ECD繞點C在平面內(nèi)順時針轉(zhuǎn)動到如圖所示的位置時, 線段BE和AD有何關(guān)系. 在轉(zhuǎn)動的過程中, 特別是在一些特殊的位置, 你還會發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論? 有哪些結(jié)論是不隨圖形位置的變化而改變的呢? ③如圖, A、D、E在一直線上, △ABC、△CDE是等邊三角形, 若BE=15cm, AE=6cm, 求CD的長度及∠AEB的度數(shù). 9cm, 60 A B C D E M A B E D C A B C D E M 12. 如圖, D是等邊△ABC內(nèi)一點, 將△ADC繞C點逆時針旋轉(zhuǎn), 使得A、D兩點的對應(yīng)點分別為B、E, 則旋轉(zhuǎn)角為_60_, 圖中除△ABC外, 還有等邊三角形是_△DEC __. 13. 已知E為正△ABC內(nèi)任意一點. 求證: 以AE、BE、CE為邊可以構(gòu)成一個三角形. 若∠BEC=113, ∠AEC=123, 求構(gòu)成三角形的各角度數(shù). 63, 53, 64 第13題圖 第12題圖 14. 如圖, △ABC是等邊三角形, BM = 2, CM = 3, 求AM的最大值、最小值. 5, 1 M C A B M M C B A (二) 以正方形或等腰直角三角形為背景的旋轉(zhuǎn)問題 15. 如圖①, B,C,E是同一直線上的三個點, 四邊形ABCD與四邊形CEFG都是正方形. 連接BG,DE. (1) 探究BG與DE之間的大小關(guān)系, 并證明你的結(jié)論; (2) 當正方形CEFG繞點C在平面內(nèi)順時針轉(zhuǎn)動到如圖②所示 的位置時, 線段BG和ED有何關(guān)系? 在轉(zhuǎn)動的過程中, 特別是在一些特殊的位置, 你還會發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論? 有哪些結(jié)論是不隨圖形位置的變化而改變的呢? A B C D E F G A B C D E F G 圖② 圖① 16. 如圖1, 已知點D在AC上, △ABC和△ADE都是等腰直角三角形, 點M為EC的中點. (1) 求證: △BMD為等腰直角三角形. (2) 將△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn), 如圖2, (1)中的“△BMD為等腰直角三角形”成立嗎?. (3) 我們是否可以猜想, 將△ADE繞點A任意旋轉(zhuǎn)一定的角度, 如圖3, (1)中的“△BMD為等腰直角三角形”均成立？(不用說明理由) . 圖3 圖2 圖1 (三) 以一般等腰三角形為背景的旋轉(zhuǎn)問題 A B C P Q 17. (1)如圖①, 已知在△ABC中, AB=AC, P是△ABC內(nèi)部任意一點, 將AP繞A順時針旋轉(zhuǎn)至AQ, 使∠QAP =∠BAC, 連接BQ、CP. 求證: BQ = CP. A B C P Q (2) 如圖②,將點P移到等腰三角形ABC之外, (1)中的 條件不變, “BQ=CP” 還成立嗎? 圖① 圖② 18. 在等腰△ABC中, AB=AC, D是△ABC內(nèi)一點, ∠ADB =∠ADC. 求證: ∠DBC =∠DCB. 小結(jié): (1) 只要圖形中存在公共端點的等線段, 就可能形成旋轉(zhuǎn)型問題. (2) 當旋轉(zhuǎn)角是60時, 作一個圖形旋轉(zhuǎn)后的圖形的存在等邊三角形; 當旋轉(zhuǎn)角是90時, 存在等腰直角三角形. 反之, 如果圖形中存在兩個等邊三角形或等腰直角三角形, 可以從圖形旋轉(zhuǎn)的角度分析圖形關(guān)系. ●旋轉(zhuǎn)變換在綜合題中的應(yīng)用 19. 在Rt△ABC中, ∠ACB=90, tan∠BAC = , 點D在邊AC上(不與A, C重合) , 連結(jié)BD, F為BD中點. (1) 若過點D作DE⊥AB于E, 連結(jié)CF、EF、CE, 如圖1． 設(shè), 則k = ; 1 (2) 若將圖1中的△ADE繞點A旋轉(zhuǎn), 使得D、E、B三點共線, 點F仍為BD中點, 如圖2所示. 求證: BE - DE = 2CF; (3) 若BC=6, 點D在邊AC的三等分點處, 將線段AD繞點A旋轉(zhuǎn), 點F始終為BD中點, 求線段CF長度的最大值. 4 ? 20. △ABC和△DBE是繞點B旋轉(zhuǎn)的兩個相似三角形, 其中ABC與DBE、A與D為對應(yīng)角. (1) 如圖1, 若△ABC和△DBE分別是以ABC與DBE為頂角的等腰直角三角形, 且兩三角形旋轉(zhuǎn)到使點B、C、D在同一直線上的位置時, 請直接寫出線段AD與線段EC的關(guān)系; 垂直相等 A B C D E (2) 若△ABC和△DBE為含有30角的兩直角三角形, 且兩個三角形旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時, 試確定線段AD與EC線段的關(guān)系, 并說明理由; AD⊥EC, 圖2 圖3 圖1 A B C D E 30 30 A B E D C (3) 若△ABC和△DBE為如圖3的兩個三角形, 且ACB = a, BDE = b, 在繞點B旋轉(zhuǎn)的過程中, 直線AD與EC夾角的度數(shù)是否改變? 若不改變, 直接寫出用含a、b 的式子表示夾角的度數(shù); 若改變, 請說明理由. 180 ? α – β 21. (2008北京) 請閱讀下列材料: 問題: 如圖1, 在菱形ABCD和菱形BEFG中, 點A, B, E在同一條直線上, P是線段DF的中點, 連結(jié)PG, PC. 若ABC = BEF = 60, 探究PG與PC的位置關(guān)系及的值. 小聰同學(xué)的思路是: 延長GP交DC于點H, 構(gòu)造全等三角形, 經(jīng)過推理使問題得到解決. 請你參考小聰同學(xué)的思路, 探究并解決下列問題: (1) 寫出上面問題中線段PG與PC的位置關(guān)系及的值; (2) 將圖1中的菱形BEFG繞點B順時針旋轉(zhuǎn), 使菱形BEFG的對角線BF恰好與菱形ABCD的邊AB在同一條直線上, 原問題中的其他條件不變(如圖2) . 你在(1) 中得到的兩個結(jié)論是否發(fā)生變化? 寫出你的猜想并加以證明. (3) 若圖1中ABC =BEF = 2α (0 < α < 90), 將菱形BEFG繞點B順時針旋轉(zhuǎn)任意角度, C B G F A P D E 原問題中的其他條件不變, 請你直接寫出的值(用含α的式子表示) . C B F E A P D G 圖2 圖1 函數(shù)與變換 1 x y -1 O 1 2 3 4 -2 -4 -1 -3 2 3 4 -2 -3 -4 22. (2014房山二模) 已知關(guān)于x的一元二次方程 x2 – 3x + k – 1 = 0有實數(shù)根, k為正整數(shù). (1) 求k的值; (2) 當此方程有兩個不為0的整數(shù)根時, 將關(guān)于 x的二次函數(shù)y = x2 – 3x + k – 1的圖象向下平移 2個單位, 求平移后的函數(shù)圖象的解析式; (3) 在(2) 的條件下, 將平移后的二次函數(shù)圖象 位于y軸左側(cè)的部分沿x軸翻折, 圖象的其余 部分保持不變, 得到一個新的圖象G. 當直線 y = 5x + b與圖象G有3個公共點時, 請你直接寫出b的取值范圍. 23. (2012北京)已知二次函數(shù)在與的函數(shù)值相等. (1) 求二次函數(shù)的解析式; (2) 若一次函數(shù)y = kx + 6的圖象與二次函數(shù)的圖象都經(jīng)過點A(, ) , 求m與k的值; (3) 設(shè)二次函數(shù)的圖象與x軸交于點B, C(點B在點C的左側(cè) ) , 將二次函數(shù)的圖象B, C間的 部分(含點B和點C) 向左平移n () 個單位后得到的圖象記為G, 同時將(2) 中得到的 直線y = kx + b向上平移n個單位. 請結(jié)合圖象回答: 平移后的直線與圖象G有公共點時, n的取值范圍. 24. (2014豐臺二模) 如圖, 經(jīng)過原點的拋物線 y = -x2 + bx (b > 2) 與x軸的另一交點為A, 過點P(1, ) 作直線PN⊥x軸于點N, 交拋物線于點B. 點B關(guān)于拋物線對稱軸的 對稱點為C. 連結(jié)CB, CP. (1) 當b = 4時, 求點A的坐標及BC的長; (2) 連結(jié)CA, 求b的適當?shù)闹? 使得CA⊥CP; (3) 當b = 6時, 如圖2, 將△CBP繞著點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn), 得到△CBP, CP與拋物線 對稱軸的交點為E, 點M為線段BP (包含端點) 上任意一點, 請直接寫出線段EM長度 的取值范圍. 圖2 圖1