2018年高考數(shù)學(xué) 專題04 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用教學(xué)案 理

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1、專題4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用【2018年高考考綱解讀】高考對(duì)本內(nèi)容的考查主要有：(1)導(dǎo)數(shù)的幾何意義是考查熱點(diǎn)，要求是B級(jí)，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線上在某點(diǎn)處的切線的斜率，能夠解決與曲線的切線有關(guān)的問(wèn)題；(2)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的基礎(chǔ)，要求是B級(jí)，熟練掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則、常用導(dǎo)數(shù)公式及復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，一般不單獨(dú)設(shè)置試題，是解決導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的第一步；(3)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值是導(dǎo)數(shù)的核心內(nèi)容，要求是B級(jí)，對(duì)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值要達(dá)到相等的高度.(4)導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用為函數(shù)應(yīng)用題注入了新鮮的血液，使應(yīng)用題涉及到的函數(shù)模型更加寬廣，要求是B級(jí)；(5)導(dǎo)數(shù)還經(jīng)常作為高考的壓軸題，

2、能力要求非常高，它不僅要求考生牢固掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，還要求考生具有較強(qiáng)的分析能力和計(jì)算能力估計(jì)以后對(duì)導(dǎo)數(shù)的考查力度不會(huì)減弱作為導(dǎo)數(shù)綜合題，主要是涉及利用導(dǎo)數(shù)求最值解決恒成立問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式等，常伴隨對(duì)參數(shù)的討論，這也是難點(diǎn)之所在.【重點(diǎn)、難點(diǎn)剖析】 1導(dǎo)數(shù)的幾何意義(1)函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)就是曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線的斜率，即kf(x0)(2)曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線方程為yf(x0)f(x0)(xx0)2基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和運(yùn)算法則(1)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)cf(x)0f(x)xn(nR)f

3、(x)nxn1f(x)sin xf(x)cos xf(x)cos xf(x)sin xf(x)ax(a0且a1)f(x)axln af(x)exf(x)exf(x)logax(a0且a1)f(x)f(x)ln xf(x)(2)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算u(x)v(x)u(x)v(x)；u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)；(v(x)0)3函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)如果已知函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增(減)，則這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在這個(gè)區(qū)間上大(小)于零恒成立在區(qū)間上離散點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)等于零，不影響函數(shù)的單調(diào)性，如函數(shù)yxsin x .4函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與極值對(duì)可導(dǎo)函數(shù)而言，某點(diǎn)導(dǎo)數(shù)等于零是函數(shù)在該點(diǎn)取得極值的必要條件例如f

4、(x)x3，雖有f(0)0，但x0不是極值點(diǎn)，因?yàn)閒(x)0恒成立，f(x)x3在(，)上是單調(diào)遞增函數(shù)，無(wú)極值5閉區(qū)間上函數(shù)的最值在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)，一定有最大值和最小值，其最大值是區(qū)間的端點(diǎn)處的函數(shù)值和在這個(gè)區(qū)間內(nèi)函數(shù)的所有極大值中的最大者，最小值是區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值和在這個(gè)區(qū)間內(nèi)函數(shù)的所有極小值中的最小值6函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用(1)若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增，則f(x)0在區(qū)間(a，b)上恒成立；(2)若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞減，則f(x)0在區(qū)間(a，b)上恒成立；(3)可導(dǎo)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上為增函數(shù)是f(x)0的必要不充分條件.【題型示例】題型1

5、、導(dǎo)數(shù)的幾何意義【例1】【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則 【答案】【解析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，對(duì)求導(dǎo)得，設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，與曲線相切于點(diǎn)，則，由點(diǎn)在切線上得，由點(diǎn)在切線上得，這兩條直線表示同一條直線，所以，解得.【感悟提升】函數(shù)圖像上某點(diǎn)處的切線斜率就是函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值求曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最值的基本方法是“平行切線法”，即作出與直線平行的曲線的切線，則這條切線到已知直線的距離即為曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最值，結(jié)合圖形可以判斷是最大值還是最小值【舉一反三】(2015陜西，15)設(shè)曲線yex在點(diǎn)(0，1)處的切線與曲線y(x0)上點(diǎn)P處的切線垂直，則P的坐

6、標(biāo)為_解析(ex)e01，設(shè)P(x0，y0)，有1，又x00，x01，故xP(1，1)答案(1，1)【變式探究】 (1)曲線yxex1在點(diǎn)(1,1)處切線的斜率等于()A2eBeC2D1(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若曲線yax2(a，b為常數(shù))過(guò)點(diǎn)P(2，5)，且該曲線在點(diǎn)P處的切線與直線7x2y30平行，則ab的值是_【命題意圖】(1)本題主要考查函數(shù)求導(dǎo)法則及導(dǎo)數(shù)的幾何意義(2)本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，意在考查考生的運(yùn)算求解能力【答案】(1)C(2)3【解析】(1)yex1xex1(x1)ex1，故曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線斜率為yx12.(2)由曲線yax2過(guò)點(diǎn)P(2，5)，可得

7、54a.又y2ax，所以在點(diǎn)P處的切線斜率4a.由解得a1，b2，所以ab3.【感悟提升】1求曲線的切線要注意“過(guò)點(diǎn)P的切線”與“在點(diǎn)P處的切線”的差異，過(guò)點(diǎn)P的切線中，點(diǎn)P不一定是切點(diǎn)，點(diǎn)P也不一定在已知曲線上，而在點(diǎn)P處的切線，必以點(diǎn)P為切點(diǎn)2利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題，主要是利用導(dǎo)數(shù)、切點(diǎn)坐標(biāo)、切線斜率之間的關(guān)系來(lái)進(jìn)行轉(zhuǎn)化以平行、垂直直線斜率間的關(guān)系為載體求參數(shù)的值，則要求掌握平行、垂直與斜率之間的關(guān)系，進(jìn)而和導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來(lái)求解題型2、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【例2】【2017課標(biāo)II，理】已知函數(shù)，且。(1)求；(2)證明：存在唯一的極大值點(diǎn)，且?！敬鸢浮?1)；(2)證明略?！窘馕觥浚?）

8、的定義域?yàn)樵O(shè)，則等價(jià)于因?yàn)槿鬭=1，則.當(dāng)0x1時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)x1時(shí)，0，單調(diào)遞增.所以x=1是的極小值點(diǎn)，故綜上，a=1（2）由（1）知設(shè)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增又，所以在有唯一零點(diǎn)x0，在有唯一零點(diǎn)1，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.因?yàn)?，所以x=x0是f(x)的唯一極大值點(diǎn)由由得因?yàn)閤=x0是f(x)在（0,1）的最大值點(diǎn)，由得所以【變式探究】【2016高考山東理數(shù)】(本小題滿分13分)已知.（I）討論的單調(diào)性；（II）當(dāng)時(shí)，證明對(duì)于任意的成立.【答案】（）見解析；（）見解析【解析】（）的定義域?yàn)椋?當(dāng)， 時(shí)，單調(diào)遞增；，單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，.（1），當(dāng)或時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞

9、減；（2）時(shí)，在內(nèi)，單調(diào)遞增；（3）時(shí)，當(dāng)或時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在 內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增.又，設(shè)，則在單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以在上存在使?時(shí)，時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，由于，因此，當(dāng)且僅當(dāng)取得等號(hào)，所以，即對(duì)于任意的恒成立?！靖形蛱嵘看_定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間要特別注意函數(shù)的定義域，不要從導(dǎo)數(shù)的定義域確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，在某些情況下函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義域與原函數(shù)的定義域不同【舉一反三】(2015福建，10)若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(0)1，

10、其導(dǎo)函數(shù)f(x)滿足f(x)k1，則下列結(jié)論中一定錯(cuò)誤的是()Af BfCf Df【變式探究】(2014新課標(biāo)全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)exex2x.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)設(shè)g(x)f(2x)4bf(x)，當(dāng)x0時(shí)，g(x)0，求b的最大值；(3)已知1.414 20，g(x)0；當(dāng)b2時(shí)，若x滿足2exex2b2，即0xln(b1)時(shí)，g(x)0.而g(0)0，因此當(dāng)0xln(b1)時(shí)，g(x)0，ln 20.692 8；當(dāng)b1時(shí)，ln(b1)ln ，g(ln)2(3 2)ln 2 0，ln 20時(shí)，xf(x)f(x)0，則使得f(x)0成立的x的取值范圍是()A(，1)(0，1)

11、B(1，0)(1，)C(，1)(1，0)D(0，1)(1，)答案A【舉一反三】(2015江蘇，19)已知函數(shù)f(x)x3ax2b(a，bR)(1)試討論f(x)的單調(diào)性；(2)若bca(實(shí)數(shù)c是與a無(wú)關(guān)的常數(shù))，當(dāng)函數(shù)f(x)有三個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍恰好是(，3)，求c的值解(1)f(x)3x22ax，令f(x)0，解得x10，x2.當(dāng)a0時(shí)，因?yàn)閒(x)3x20(x0)，所以函數(shù)f(x)在(，)上單調(diào)遞增；當(dāng)a0時(shí)，x(0，)時(shí)，f(x)0，x時(shí)，f(x)0，所以函數(shù)f(x)在，(0，)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)a0時(shí)，x(，0)時(shí)，f(x)0，x時(shí)，f(x)0，所以函數(shù)f(x)在

12、(，0)，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減從而g(3)c10，且gc10，因此c1.此時(shí)，f(x)x3ax21a(x1)x2(a1)x1a，因函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則x2(a1)x1a0有兩個(gè)異于1的不等實(shí)根，所以(a1)24(1a)a22a30，且(1)2(a1)1a0，解得a(，3).綜上c1.題型四 定積分例4、 (2015天津，11)曲線yx2與直線yx所圍成的封閉圖形的面積為_解析曲線yx2與直線yx所圍成的封閉圖形如圖，由得A(1，1)，面積Sxdxx2dxx20.答案【變式探究】(2015陜西，16)如圖，一橫截面為等腰梯形的水渠，因泥沙沉積，導(dǎo)致水渠截面邊界呈拋物線型(圖中虛線表示)，則原始

13、的最大流量與當(dāng)前最大流量的比值為_解析由題意可知最大流量的比即為橫截面面積的比，建立以拋物線頂點(diǎn)為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為yax2，將點(diǎn)(5，2)代入拋物線方程得a，故拋物線方程為yx2，拋物線的橫截面面積為S12dx2(m2)，而原梯形上底為1026(m)，故原梯形面積為S2(106)216，1.2.答案1.2【舉一反三】(1)(2014陜西)定積分(2xex)dx的值為()Ae2 Be1Ce De1(2)(2014湖北)若函數(shù)f(x)，g(x)滿足f(x)g(x)dx0，則稱f(x)，g(x)為區(qū)間1,1上的一組正交函數(shù)給出三組函數(shù)：f(x)sinx，g(x)cosx；f(x)x1

14、，g(x)x1；f(x)x，g(x)x2.其中為區(qū)間1,1上的正交函數(shù)的組數(shù)是()A0 B1 C2 D3【命題意圖】(1)本題主要考查定積分的概念、運(yùn)算及性質(zhì)(2)本題主要考查定積分的知識(shí)，意在通過(guò)新定義考查考生的理解能力和知識(shí)遷移能力【感悟提升】1由函數(shù)圖象或曲線圍成的曲邊圖形面積的計(jì)算及應(yīng)用，一般轉(zhuǎn)化為定積分的計(jì)算及應(yīng)用， 但一定要找準(zhǔn)積分上限、下限及被積函數(shù)，且當(dāng)圖形的邊界不同時(shí)，要討論解決(1)畫出圖形，確定圖形范圍；(2)解方程組求出圖形交點(diǎn)坐標(biāo)，確定積分上、下限；(3)確定被積函數(shù)，注意分清函數(shù)圖形的上、下位置；(4)計(jì)算定積分，求出平面圖形的面積2由函數(shù)求其定積分，能用公式的利用

15、公式計(jì)算，有些特殊函數(shù)可根據(jù)其幾何意義，求出其圍成的幾何圖形的面積，即其定積分題型五利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的實(shí)際問(wèn)題【例5】【2017天津，理20】設(shè)，已知定義在R上的函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，為的導(dǎo)函數(shù).（）求的單調(diào)區(qū)間；（）設(shè)，函數(shù)，求證：；（）求證：存在大于0的常數(shù)，使得對(duì)于任意的正整數(shù)，且 滿足.【答案】（）增區(qū)間是， ，遞減區(qū)間是.（）見解析；（III）見解析.【解析】（）解：由，可得，進(jìn)而可得.令，解得，或.當(dāng)x變化時(shí)，的變化情況如下表：x+-+所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.（）證明：由，得，.令函數(shù)，則.由（）知，當(dāng)時(shí)， ，故當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增.因此，當(dāng)

16、時(shí)， ，可得.令函數(shù)，則.由（）知， 在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減.因此，當(dāng)時(shí)， ，可得.所以， .（III）證明：對(duì)于任意的正整數(shù)，且，令，函數(shù).由（II）知，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn).所以在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)為，則.由（I）知在上單調(diào)遞增，故，于是.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，故在上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上除外沒(méi)有其他的零點(diǎn)，而，故.又因?yàn)?，均為整?shù)，所以是正整數(shù)，從而.所以.所以，只要取，就有.【變式探究】某地政府鑒于某種日常食品價(jià)格增長(zhǎng)過(guò)快，欲將這種食品價(jià)格控制在適當(dāng)范圍內(nèi)，決定對(duì)這種食品生產(chǎn)廠家提供政府補(bǔ)貼，設(shè)這種食品的市場(chǎng)價(jià)格為x元/千克，政府補(bǔ)貼

17、為t元/千克，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，當(dāng)16x24時(shí)，這種食品市場(chǎng)日供應(yīng)量p萬(wàn)千克與市場(chǎng)日需求量q萬(wàn)千克近似地滿足關(guān)系：p2(x4t14)(x16，t0)，q248ln (16x24)當(dāng)pq時(shí)的市場(chǎng)價(jià)格稱為市場(chǎng)平衡價(jià)格(1)將政府補(bǔ)貼表示為市場(chǎng)平衡價(jià)格的函數(shù)，并求出函數(shù)的值域(2)為使市場(chǎng)平衡價(jià)格不高于每千克20元，政府補(bǔ)貼至少為每千克多少元？解析：(1)由pq得2(x4t14)248ln (16x24，t0)txln (16x24)t0，t是x的減函數(shù)tmin24ln ln ln ；tmax16ln ln ，值域?yàn)?(2)由(1)知txln (16x24)而x20時(shí)，t20ln 1.5(元/千克)，t

18、是x的減函數(shù)，欲使x20，必須t1.5(元/千克)，要使市場(chǎng)平衡價(jià)格不高于每千克20元，政府補(bǔ)貼至少為1.5元/千克【舉一反三】時(shí)下，網(wǎng)校教學(xué)越來(lái)越受到廣大學(xué)生的喜愛，它已經(jīng)成為學(xué)生們課外學(xué)習(xí)的一種趨勢(shì)，假設(shè)某網(wǎng)校的套題每日的銷售量y(單位：千套)與銷售價(jià)格x(單位：元/套)滿足關(guān)系式y(tǒng)4(x6)2，其中2x6，m為常數(shù)已知銷售價(jià)格為4元/套時(shí)，每日可售出套題21千套(1)求m的值；(2)假設(shè)網(wǎng)校的員工工資、辦公等所有開銷折合為每套題2元(只考慮銷售出的套數(shù))，試確定銷售價(jià)格x的值，使網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤(rùn)最大(保留一位小數(shù))【解析】解(1)因?yàn)閤4時(shí)，y21，代入關(guān)系式y(tǒng)4(x6)2，

19、得1621，解得m10.(2)由(1)可知，套題每日的銷售量y4(x6)2，所以每日銷售套題所獲得的利潤(rùn)f(x)(x2)4(x6)24x356x2240x278(2x6)，從而f(x)12x2112x2404(3x10)(x6)(2x0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；在(，6)上，f(x) 0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，所以x是函數(shù)f(x)在(2,6)內(nèi)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，所以當(dāng)x3.3時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值故當(dāng)銷售價(jià)格為3.3元/套時(shí)，網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤(rùn)最大【規(guī)律方法】在利用導(dǎo)數(shù)求實(shí)際問(wèn)題中的最大值和最小值時(shí)，不僅要注意函數(shù)模型中的定義域，還要注意實(shí)際問(wèn)題的意義，不符合的解要舍去【舉

20、一反三】請(qǐng)你給某廠商設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒如圖所示，ABCD是邊長(zhǎng)為60 cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)重合于點(diǎn)P，正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒E，F(xiàn)在AB上，且是被切去的一個(gè)等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)設(shè)AEFBx(cm)(1)若廠商要求包裝盒的側(cè)面積S(cm2)最大，試問(wèn)x應(yīng)取何值？(2)若廠商要求包裝盒的體積V(cm3)最大，試問(wèn)x應(yīng)取何值并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值題型六利用導(dǎo)數(shù)解決不等式的有關(guān)問(wèn)題【例6】(2016高考全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)(x1)ln xa(x1)(1)當(dāng)a4時(shí)，求曲線yf(x)在(1，f

21、(1)處的切線方程；(2)若當(dāng)x(1)時(shí)，f(x)0，求a的取值范圍(1)f(x)的定義域?yàn)?0，)當(dāng)a4時(shí)，f(x)(x1)ln x4(x1)，f(1)0，f(x)ln x3，f(1)2.故曲線yf(x)在(1，f(1)處的切線方程為2xy20.(2)當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)0等價(jià)于ln x0.設(shè)g(x)ln x，則g(x)，g(1)0.當(dāng)a2，x(1)時(shí)，x22(1a)x1x22x10，故g(x)0，g(x)在(1，)單調(diào)遞增，因此g(x)0；當(dāng)a2時(shí)，令g(x)0得x1a1，x2a1.由x21和x1x21得x11，故當(dāng)x(1，x2)時(shí)，g(x)0，g(x)在(1，x2)單調(diào)遞減，因此g(

22、x)0.綜上，a的取值范圍是(，2【舉一反三】 (2015湖南，21)已知a0，函數(shù)f(x)eaxsin x(x0，)記xn為f(x)的從小到大的第n(nN*)個(gè)極值點(diǎn)，證明：(1)數(shù)列f(xn)是等比數(shù)列；(2)若a，則對(duì)一切nN*，xn|f(xn)|恒成立. 證明(1)f(x)aeaxsin xeaxcos xeax(asin xcos x)eaxsin(x)，其中tan ，0.令f(x)0，由x0得xm，即xm，mN*，對(duì)kN，若2kx(2k1)，即2kx(2k1)，則f(x)0；若(2k1)x(2k2)，即(2k1)x(2k2)，則f(x)0.因此，在區(qū)間(m1)，m)與(m，m)上，

23、f(x)的符號(hào)總相反于是當(dāng)xm(mN*)時(shí)，f(x)取得極值，所以xnn(nN*)此時(shí)，f(xn)ea(n)sin(n)(1)n1ea(n)sin .易知f(xn)0，而ea是常數(shù)，故數(shù)列f(xn)是首項(xiàng)為f(x1)ea()sin ，公比為ea的等比數(shù)列(2)由(1)知，sin ，于是對(duì)一切nN*；xn|f(xn)|恒成立，即nea(n)恒成立，等價(jià)于(*)恒成立，因?yàn)?a0)設(shè)g(t)(t0)，則g(t).令g(t)0得t1.當(dāng)0t1時(shí)，g(t)0，所以g(t)在區(qū)間(0，1)上單調(diào)遞減；當(dāng)t1時(shí)，g(t)0，所以g(t)在區(qū)間(1，)上單調(diào)遞增從而當(dāng)t1時(shí)，函數(shù)g(t)取得最小值g(1)e

24、.因此，要使(*)式恒成立，只需g(1)e，即只需a.而當(dāng)a時(shí)，由tan 且0知，.于是，且當(dāng)n2時(shí)，n2.因此對(duì)一切nN*，axn1，所以g(axn)g(1)e.故(*)式亦恒成立綜上所述，若a，則對(duì)一切nN*，xn|f(xn)|恒成立【變式探究】(2015福建，20)已知函數(shù)f(x)ln(1x)，g(x)kx(kR)(1)證明：當(dāng)x0時(shí)，f(x)x；(2)證明：當(dāng)k1時(shí)，存在x00，使得對(duì)任意的x(0，x0)，恒有f(x)g(x)；(3)確定k的所有可能取值，使得存在t0，對(duì)任意的x(0，t)，恒有|f(x)g(x)|x2.(1)證明令F(x)f(x)xln(1x)x，x(0，)，則有F(

25、x)1.當(dāng)x(0，)時(shí)，F(xiàn)(x)0，所以F(x)在(0，)上單調(diào)遞減，故當(dāng)x0時(shí)，F(xiàn)(x)F(0)0，即當(dāng)x0時(shí)，f(x)x.(2)證明令G(x)f(x)g(x)ln(1x)kx，x(0，)，則有G(x)k.當(dāng)k0時(shí)，G(x)0，故G(x)在(0，)單調(diào)遞增，G(x)G(0)0，故任意正實(shí)數(shù)x0均滿足題意當(dāng)0k1時(shí)，令G(x)0，得x10，取x01，對(duì)任意x(0，x0)，有G(x)0，從而G(x)在(0，x0)單調(diào)遞增，所以G(x)G(0)0，即f(x)g(x)綜上，當(dāng)k1時(shí)，總存在x00，使得對(duì)任意x(0，x0)，恒有f(x)g(x)(3)解當(dāng)k1時(shí)，由(1)知，對(duì)于x(0，)，g(x)xf

26、(x)，故g(x)f(x)，|f(x)g(x)|g(x)f(x)kxln(1x)M(x)kxln(1x)x2，x0，)則有M(x)k2x.故當(dāng)x時(shí)，M(x)0，M(x)在上單調(diào)遞增，故M(x)M(0)0，即|f(x)g(x)|x2，所以滿足題意的t不存在當(dāng)k1時(shí)，由(2)知，存在x00，使得當(dāng)x(0，x0)時(shí)，f(x)g(x)，此時(shí)|f(x)g(x)|f(x)g(x)ln(1x)kx.令N(x)ln(1x)kxx2，x0，)則有N(x)k2x.當(dāng)x時(shí)，N(x)0，N(x)在上單調(diào)遞增，故N(x)N(0)0，即f(x)g(x)x2.記x0與中的較小者為x1，則當(dāng)x(0，x1)時(shí)，恒有|f(x)g

27、(x)|x2.故滿足題意的t不存在當(dāng)k1時(shí)，由(1)知，當(dāng)x0時(shí)，|f(x)g(x)|g(x)f(x)xln(1x)，令H(x)xln(1x)x2，x0，)，則有H(x)12x.當(dāng)x0時(shí)，H(x)0，所以H(x)在0，)上單調(diào)遞減，故H(x)H(0)0.故當(dāng)x0時(shí)，恒有|f(x)g(x)|x2.此時(shí)，任意正實(shí)數(shù)t均滿足題意綜上，k1.法二(1)(2)證明同法一(3)解當(dāng)k1時(shí)，由(1)知，對(duì)于x(0，)，g(x)xf(x)，故|f(x)g(x)|g(x)f(x)kxln(1x)kxx(k1)x.令(k1)xx2，解得0xk1.從而得到，當(dāng)k1時(shí)，對(duì)于x(0，k1)，恒有|f(x)g(x)|x2

28、，故滿足題意的t不存在當(dāng)k1時(shí)，取k1，從而kk11，由(2)知，存在x00，使得x(0，x0)，f(x)k1xkxg(x)，此時(shí)|f(x)g(x)|f(x)g(x)(k1k)xx，令xx2，解得0x，此時(shí)f(x)g(x)x2.記x0與的較小者為x1，當(dāng)x(0，x1)時(shí)，恒有|f(x)g(x)|x2.故滿足題意的t不存在當(dāng)k1時(shí)，由(1)知，x0，|f(x)g(x)|f(x)g(x)xln(1x)，令M(x)xln(1x)x2，x0，)，則有M(x)12x.當(dāng)x0時(shí)，M(x)0，所以M(x)在0，)上單調(diào)遞減，故M(x)M(0)0.故當(dāng)x0時(shí)，恒有|f(x)g(x)|x2，此時(shí)，任意正實(shí)數(shù)t均

29、滿足題意綜上，k1.【舉一反三】(2014福建)已知函數(shù)f(x)exax(a為常數(shù))的圖象與y軸交于點(diǎn)A，曲線yf(x)在點(diǎn)A處的切線斜率為1.(1)求a的值及函數(shù)f(x)的極值；(2)證明：當(dāng)x0時(shí)，x2ex；(3)證明：對(duì)任意給定的正數(shù)c，總存在x0，使得當(dāng)x(x0，)時(shí)，恒有x2cex.【命題意圖】本小題主要考查基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、全稱量詞與存在量詞等基礎(chǔ)知識(shí)，考查考生的運(yùn)算求解能力、抽象概括能力、推理論證能力，考查函數(shù)與方程思想、有限與無(wú)限思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、特殊與一般思想【解析】解法一：(1)由f(x)exax，得f(x)exa.又f(0)1

30、a1，得a2.所以f(x)ex2x，f(x)ex2.令f(x)0，得xln 2.當(dāng)xln 2時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)xln 2時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增所以當(dāng)xln 2時(shí)，f(x)取得極小值，且極小值為f(ln 2)eln 22ln 22ln 4，若0c1，令k1，要使不等式x2cex成立，只要exkx2成立而要使exkx2成立，則只要xln(kx2)，只要x2ln xln k成立令h(x)x2ln xln k，則h(x)1，所以當(dāng)x2時(shí)，h(x)0，h(x)在(2，)內(nèi)單調(diào)遞增取x016k16，所以h(x)在(x0，)內(nèi)單調(diào)遞增，又h(x0)16k2ln(16k)ln k8

31、(kln 2)3(kln k)5k，易知kln k，kln 2,5k0，所以h(x0)0.即存在x0，當(dāng)x(x0，)時(shí)，恒有x2cex.綜上，對(duì)任意給定的正數(shù)c，總存在x0，當(dāng)x(x0，)時(shí)，恒有x2cex.解法二：(1)同解法一(2)同解法一(3)證明：對(duì)任意給定的正數(shù)c，取x0，由(2)知，當(dāng)x0時(shí)，exx2，所以exee22，當(dāng)xx0時(shí)，ex222x2，因此，對(duì)任意給定的正數(shù)c，總存在x0，當(dāng)x(x0，)時(shí)，恒有x2cex.解法三：(1)同解法一(2)同解法一(3)證明：首先證明當(dāng)x(0，)時(shí)，恒有x3ex，證明如下：令h(x)x3ex，則h(x)x2ex.由(2)知，當(dāng)x0時(shí)，x2ex

32、，從而h(x)0，h(x)在(0，)內(nèi)單調(diào)遞減，所以h(x)h(0)10，即x3ex.取x0，當(dāng)xx0時(shí)，有x2x3ex.因此，對(duì)任意給定的正數(shù)c，總存在x0，當(dāng)x(x0，)時(shí)，恒有x2cex.注：對(duì)c的分類可有不同的方式，只要解法正確，均可以題型七 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合問(wèn)題【例7】(2016高考全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)(x2)exa(x1)2有兩個(gè)零點(diǎn)(1)求a的取值范圍；(2)設(shè)x1，x2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：x1x20，則當(dāng)x(，1)時(shí)，f(x)0，所以f(x)在(，1)內(nèi)單調(diào)遞增，在(1，)內(nèi)單調(diào)遞增又f(1)e，f(2)a，取b滿足b0且b(b2)a(b1)2a0，故f(x)存在兩

33、個(gè)零點(diǎn)設(shè)a0，因此f(x)在(1，)內(nèi)單調(diào)遞增又當(dāng)x1時(shí)，f(x)0，所以f(x)不存在兩個(gè)零點(diǎn)若a1，故當(dāng)x(1，ln(2a)時(shí)，f(x)0.因此f(x)在(1，ln(2a)內(nèi)單調(diào)遞減，在(ln(2a)，)內(nèi)單調(diào)遞增又當(dāng)x1時(shí)，f(x)0，所以f(x)不存在兩個(gè)零點(diǎn)綜上，a的取值范圍為(0，)(2)不妨設(shè)x1x2，由(1)知，x1(，1)，x2(1，)，2x2(，1)，f(x)在(，1)內(nèi)單調(diào)遞減，所以x1x2f(2x2)，即f(2x2)1時(shí)，g(x)1時(shí)，g(x)0.從而g(x2)f(2x2)0，故x1x21，函數(shù)f(x)(1x2)exa.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：f(x)在

34、(，)上僅有一個(gè)零點(diǎn)；(3)若曲線yf(x)在點(diǎn)P處的切線與x軸平行，且在點(diǎn)M(m，n)處的切線與直線OP平行(O是坐標(biāo)原點(diǎn))，證明：m1.(1)解f(x)2xex(1x2)ex(x22x1)ex(x1)2exxR，f(x)0恒成立f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(，)(2)證明f(0)1a，f(a)(1a2)eaa，a1，f(0)2aeaa2aaa0，f(0)f(a)0，則m0，g(m)在(0，)上增令g(x)0，則m0得x，由f(x).所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.所以f(x)maxfc.(2)由已知|ln x|f(x)得|ln x|c，x(0，)，令g(x)|ln x|，yc.當(dāng)x(1

35、，)時(shí)，ln x0，則g(x)ln x.所以g(x)0.所以g(x)在(1，)上單調(diào)遞增當(dāng)x (0,1)時(shí)，ln x1x0，所以1，而2x11.所以g(x)0，即g(x)在(0, 1)上單調(diào)遞減由可知，當(dāng)x(0，)時(shí)，g(x)g(1).由數(shù)形結(jié)合知，當(dāng)c時(shí)，方程|ln x|f(x)根的個(gè)數(shù)為2.【規(guī)律方法】(1)本題第(1)問(wèn)，利用了函數(shù)單調(diào)的充分條件：“若f(x)0，則f(x)單調(diào)遞增，若f(x)0，則f(x)單調(diào)遞減”；求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，而對(duì)于函數(shù)的最值需謹(jǐn)記函數(shù)在閉區(qū)間上一定存在最值，在開區(qū)間上函數(shù)不一定存在最值，若存在，一定是極值(2)本題第(2)問(wèn)，借助轉(zhuǎn)化與數(shù)形結(jié)合的思想，把方程

36、根的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，利用極值解決問(wèn)題【變式探究】設(shè)函數(shù)f(x)定義在(0，)上，f(1)0，導(dǎo)函數(shù)f(x)，g(x)f(x)f(x)(1)求g(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值；(2)討論g(x)與g的大小關(guān)系；(3)是否存在x00，使得|g(x)g(x0)|對(duì)任意x0成立？若存在，求出x0的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【解析】解(1)由題設(shè)易知f(x)ln x，g(x)ln x，所以g(x)，令g(x)0，得x1，當(dāng)x(0,1)時(shí)，g(x)0，故(0,1)是g(x)的單調(diào)減區(qū)間；當(dāng)x(1，)時(shí)，g(x)0，故(1，)是g(x)的單調(diào)增區(qū)間因此，x1是g(x)的唯一極值點(diǎn)，且為極小值點(diǎn)，從而是最小值點(diǎn)，所以最小值為g(1)1.(2)gln xx，設(shè)h(x)g(x)g2ln xx，則h(x)，當(dāng)x1時(shí)，h(1)0，即g(x)g，當(dāng)x(0,1)(1，)時(shí)，h(x)0，h(1)0，因此，h(x)在(0，)內(nèi)單調(diào)遞減，當(dāng)0x1時(shí)，h(x)h(1)0，即g(x)g；當(dāng)x1時(shí)，h(x)h(1)0，即g(x)g. 33