2022年高三數(shù)學一輪復習講義 等比數(shù)列及其前n項和 新人教A版

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1、2022年高三數(shù)學一輪復習講義 等比數(shù)列及其前n項和 新人教A版要點自主梳理1.等比數(shù)列的定義如果一個數(shù)列_，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的_，通常用字母_表示(q0)從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數(shù)(不為零)公比q 從等比數(shù)列的定義看，等比數(shù)列的任意項都是非零的，公比q也是非零常數(shù).2.等比數(shù)列的通項公式設等比數(shù)列an的首項為a1，公比為q，則它的通項an_.a1qn13.等比中項3等比中項：如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項 G2ab (ab0)4.等比數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項公式的推廣：anam_，(n，mN*

2、). qnm(2)若an為等比數(shù)列，且klmn，(k，l，m，nN*)，則_ akalaman _.(3)若an，bn(項數(shù)相同)是等比數(shù)列，則an(0)，a，anbn，仍是等比數(shù)列.(4)單調(diào)性：或an是_數(shù)列；遞增或an是_數(shù)列；遞減q1an是_常_數(shù)列；q0，則lg an構(gòu)成等差數(shù)列 8思想與方法：(1)等比數(shù)列的判定方法：定義：q (q是不為零的常數(shù)，nN*)an是等比數(shù)列. 等比中項法：aanan2(anan1an20，nN*)an是等比數(shù)列.通項公式：ancqn1 (c、q均是不為零的常數(shù)，nN*)an是等比數(shù)列. (2) 等比數(shù)列的前n項和Sn是用錯位相減法求得的，注意這種方法在

3、數(shù)列求和中的運用.(3)在利用等比數(shù)列前n項和公式時，如果不確定q與1的關系，一般要用分類討論的思想，分公比q1和q1兩種情況；計算等比數(shù)列前n項和過程中要注意整體代入的思想方法常把qn，當成整體求解(4) 等比數(shù)列的通項公式ana1qn1及前n項和公式Sn (q1)共涉及五個量a1，an，q，n，Sn，知三求二，體現(xiàn)了方程的思想的應用.(5)揭示等比數(shù)列的特征及基本量之間的關系. 利用函數(shù)、方程的觀點和方法，討論單調(diào)性時，要特別注意首項和公比的大小.基礎自測1“b”是“a、b、c成等比數(shù)列”的 ()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件2若數(shù)列an的前n項和Sn

4、3na，數(shù)列an為等比數(shù)列，則實數(shù)a的值是 ()A3B1C0D13已知等比數(shù)列an的前三項依次為a2，a2，a8，則an等于 ()A8nB8n C8n1D8n14.在等比數(shù)列an中，an0，a2a42a3a5a4a625，則a3a5的值為_.55.在等比數(shù)列an中，a1a230，a3a460，則a7a8_240_.6.在等比數(shù)列an中，前n項和為Sn，若S37，S663，則公比q的值是 ()A.2 B.2 C.3 D.3題型一等比數(shù)列的基本量的運算例1(1)在等比數(shù)列an中，已知a6a424，a3a564，求an的前8項和S8；(2)設等比數(shù)列an的公比為q (q0)，它的前n項和為40，前2

5、n項和為3 280，且前n項中數(shù)值最大的項為27，求數(shù)列的第2n項.解(1)設數(shù)列an的公比為q，由通項公式ana1qn1及已知條件得：由得a1q38.將a1q38代入式，得q22，無解，故舍去.將a1q38代入式，得q24，q2.當q2時，a11，S8255；當q2時，a11，S885.(2)若q1，則na140,2na13 280，矛盾.q1，得：1qn82，qn81， 將代入得q12a1.又q0，q1，a10，an為遞增數(shù)列.ana1qn127，由、得q3，a11，n4.a2na81372 187.探究提高(1)對于等比數(shù)列的有關計算問題，可類比等差數(shù)列問題進行，在解方程組的過程中要注意

6、“相除”消元的方法，同時要注意整體代入(換元)思想方法的應用.(2)在涉及等比數(shù)列前n項和公式時要注意對公比q是否等于1進行判斷和討論.變式訓練1 (1)設等比數(shù)列an的前n項和為Sn，已知S41，S817，求an的通項公式.an2n1或an(2)n1(2)已知正項等比數(shù)列an中，a1a52a2a6a3a7100，a2a42a3a5a4a636，求數(shù)列an的通項an和前n項和Sn.本例可將所有項都用a1和q表示，轉(zhuǎn)化為關于a1和q的方程組求解；也可利用等比數(shù)列的性質(zhì)來轉(zhuǎn)化，兩種方法目的都是消元轉(zhuǎn)化解方法一由已知得：，得4aq664，aq616.代入，得21616q2100.解得q24或q2.又

7、數(shù)列an為正項數(shù)列，q2或.當q2時，可得a1，an2n12n2， Sn2n1；當q時，可得a132.an32n126n. Sn6426n.方法二a1a5a2a4a，a2a6a3a5，a3a7a4a6a，由可得即解得或當a38，a52時，q2.q0，q，由a3a1q28，得a132，an32n126n.Sn6426n.當a32，a58時，q24，且q0，q2.由a3a1q2，得a1.an2n12n2. Sn2n1.（3）在等比數(shù)列an中，a1an66，a2an1128，Sn126，求n和q.解由題意得解得或若則Sn126，解得q，此時，an264n1，n6.若則Sn126，q2.an6422n

8、1.n6.綜上n6，q2或.題型二等比數(shù)列的性質(zhì)及應用例2在等比數(shù)列an中， (1) 已知a4a7512，a3a8124，且公比為整數(shù)，求a10；(2)若已知a3a4a58，求a2a3a4a5a6的值.解(1) a4a7a3a8512，解之得或.當時，q532，q2.a11，a10a1q91(2)9512.當時，q5，q.又q為整數(shù)，q舍去.綜上所述：a10512.(2)a3a4a58，又a3a5a，a8，a42.a2a3a4a5a6a2532.探究提高在解決等比數(shù)列的有關問題時，要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若mnpq，則amanapaq”，可以減少運算量，提高解題速度.變式訓練

9、2 (1)在等比數(shù)列an中，若a1a2a3a41，a13a14a15a168，求a41a42a43a44.a1a2a3a4a1a1qa1q2a1q3aq61.a13a14a15a16a1q12a1q13a1q14a1q15aq548.：q488q162，又a41a42a43a44a1q40a1q41a1q42a1q43aq166aq6q160(aq6)(q16)1012101 024. (2)已知等比數(shù)列an中，有a3a114a7，數(shù)列bn是等差數(shù)列，且b7a7，求b5b9的值；a3a11a4a7，a70，a74，b74，bn為等差數(shù)列，b5b92b78. (3)在等比數(shù)列an中，a1a2a3

10、a4a58，且2，求a3.解由已知得2，a4，a32.若a32，設數(shù)列的公比為q，則22q2q28，即1qq2224.此式顯然不成立，經(jīng)驗證，a32符合題意，故a32.題型三等比數(shù)列的定義及判定例3設數(shù)列an的前n項和為Sn，已知a11，Sn14an2.(1)設bnan12an，證明：數(shù)列bn是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項公式.解題導引(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列的兩個基本方法：q (q為與n值無關的常數(shù))(nN*)aanan2 (an0，nN*)(2)證明數(shù)列不是等比數(shù)列，可以通過具體的三個連續(xù)項不成等比數(shù)列來證明，也可用反證法 (1)證明由已知有a1a24a12，解得a23a125，故b1

11、a22a13.又an2Sn2Sn14an12(4an2)4an14an，于是an22an12(an12an)，即bn12bn.因此數(shù)列bn是首項為3，公比為2的等比數(shù)列(2)解由(1)知等比數(shù)列bn中b13，公比q2，所以an12an32n1，于是，因此數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，(n1)n，所以an(3n1)2n2.變式訓練3(1)已知數(shù)列an的前n項和為Sn，數(shù)列bn中，b1a1，bnanan1 (n2)，且anSnn.設cnan1，求證：cn是等比數(shù)列； 求數(shù)列bn的通項公式. (1)證明anSnn， an1Sn1n1.得an1anan11，2an1an1，2(an11)an1，an

12、1是等比數(shù)列.首項c1a11，又a1a11，a1，c1，公比q.又cnan1，cn是以為首項，為公比的等比數(shù)列.(2)解由(1)可知cnn1n，ancn11n.當n2時，bnanan11nn1nn.又b1a1代入上式也符合，bnn.探究提高注意 (2)問中要注意驗證n1時是否符合n2時的通項公式，能合并的必須合并.(2)已知數(shù)列an的首項a15，前n項和為Sn，且Sn12Snn5，nN*.證明數(shù)列an1是等比數(shù)列；求an的通項公式以及Sn. 證明由已知Sn12Snn5，nN*，可得n2時，Sn2Sn1n4，兩式相減得Sn1Sn2(SnSn1)1，即an12an1，從而an112(an1)，當n

13、1時，S22S115，所以a2a12a16，又a15，所以a211，從而a212(a11)，故總有an112(an1)，nN*，又a15，a110，從而2，即數(shù)列an1是首項為6，公比為2的等比數(shù)列解由(1)得an162n1，所以an62n11，于是Snn62nn6. (3)設數(shù)列an的前n項和為Sn，已知a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)求a2，a3的值；求證：數(shù)列Sn2是等比數(shù)列解a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)，當n1時，a1212；當n2時，a12a2(a1a2)4，a24；當n3時，a12a23a32(a1a2a3)6，a38.證明a12a23a3nan

14、(n1)Sn2n(nN*)，當n2時，a12a23a3(n1)an1(n2)Sn12(n1)得nan(n1)Sn(n2)Sn12n(SnSn1)Sn2Sn12nanSn2Sn12.Sn2Sn120，即Sn2Sn12，Sn22(Sn12)S1240，Sn120，2，故Sn2是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列點評：. 由an1qan，q0，并不能立即斷言an為等比數(shù)列，還要驗證a10.(4)已知函數(shù)f(x)(x2，xR)，數(shù)列an滿足a1t(t2，tR)，an1f(an)，(nN)若數(shù)列an是常數(shù)列，求t的值；當a12時，記bn(nN*)，證明：數(shù)列bn是等比數(shù)列，并求出通項公式an.解：數(shù)列an是

15、常數(shù)列，an1ant，即t，解得t1，或t1.所求實數(shù)t的值是1或1.a12，bn，b13，bn13，即bn13bn(nN*)題型四等差、等比數(shù)列的綜合應用例4已知等差數(shù)列an的首項a11，公差d0，且第2項、第5項、第14項分別是等比數(shù)列bn的第2項、第3項、第4項.(1)求數(shù)列an與bn的通項公式；(2)設數(shù)列cn對nN*均有an1成立，求c1c2c3c2 013.解(1)由已知有a21d，a514d，a14113d，(14d)2(1d)(113d).解得d2 (d0).an1(n1)22n1.又b2a23，b3a59，數(shù)列bn的公比為3，bn33n23n1.(2)由an1得 當n2時，a

16、n.兩式相減得：n2時，2bn23n1 (n2).又當n1時，a2，.c1c2c3c2 01333(332 013)32 013.探究提高在解決等差、等比數(shù)列的綜合題時，重點在于讀懂題意，靈活利用等差、等比數(shù)列的定義、通項公式及前n項和公式.本題第(1)問就是用基本量公差、公比求解；第(2)問在作差an1an時要注意n2.變式訓練4 已知數(shù)列an滿足a1，且an1an0 (nN*).(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若bnaa，試問數(shù)列bn中是否存在三項能按某種順序構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，求出滿足條件的等差數(shù)列；若不存在，說明理由.解(1)由a1，an1an0知，當n為偶數(shù)時，an0.由，得3(

17、aa)1a.即4a3a1，所以4(a1)3(a1)，即數(shù)列a1是以a1為首項，為公比的等比數(shù)列.所以a1n1n， a1n，故an(1)n1 (nN*).(2)由(1)知bnaa1n11nn，則對于任意的nN*，bnbn1.假設數(shù)列bn中存在三項br，bs，bt (rsbsbt，即只能有2bsbrbt成立，所以2srt，2srt，所以23s4ts3r4tr3t，因為rs0，tr0，所以23s4ts是偶數(shù)，3r4tr3t是奇數(shù)，而偶數(shù)與奇數(shù)不可能相等，因此數(shù)列bn中任意三項不可能構(gòu)成等差數(shù)列.失誤與防范1. 在運用等比數(shù)列的前n項和公式時，必須注意對q1與q1分類討論，防止因忽略q1這一特殊情2.

18、 在求解與等比數(shù)列有關的問題時，除了要靈活地運用定義和公式外，還要注意性質(zhì)的應用，以減少運算量而提高解題速度.形而導致解題失誤.等比數(shù)列及其前n項和（1）一、選擇題1.在等比數(shù)列an中，a12，前n項和為Sn，若數(shù)列an1也是等比數(shù)列，則Sn等于 ()A.2n12 B.3nC.2n D.3n12.在等比數(shù)列an中，a37，前3項之和S321，則公比q的值為 ()A.1 B. C.1或 D.1或3.若等比數(shù)列an滿足anan116n，則公比為 ()A.2 B.4 C.8 D.164記等比數(shù)列an的前n項和為Sn，若S32，S618，則等于()A3B5C31D33因為等比數(shù)列an中有S32，S61

19、8，即1q39，故q2，從而1q512533.5在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列an中，a13，前三項的和S321，則a3a4a5等于()A33B72C84D189C由題可設等比數(shù)列的公比為q，則211qq27q2q60(q3)(q2)0，根據(jù)題意可知q0，故q2.所以a3a4a5q2S342184.二、填空題6.在等比數(shù)列an中，a11，公比q2，若an64，則n的值為_7_.7.在數(shù)列an中，已知a11，an2(an1an2a2a1) (n2，nN*)，這個數(shù)列的通項公式是_. a n8.設等比數(shù)列an的公比q，前n項和為Sn，若Sn1，Sn，Sn2成等差數(shù)列，則q的值為_2_.9設an是公比為正

20、數(shù)的等比數(shù)列，若a11，a516，則數(shù)列an前7項的和為_解析公比q416，且q0，q2，S7127.10在等比數(shù)列an中，公比q2，前99項的和S9930，則a3a6a9a99_.解析S9930，即a1(2991)30，數(shù)列a3，a6，a9，a99也成等比數(shù)列且公比為8，a3a6a9a9930.三、解答題11.已知等差數(shù)列an滿足a22，a58.(1)求an的通項公式；(2)各項均為正數(shù)的等比數(shù)列bn中，b11，b2b3a4，求bn的前n項和Tn. (1)an2n2(2)Tn2n112.Sn是無窮等比數(shù)列an的前n項和，且公比q1，已知1是S2和S3的等差中項，6是2S2和3S3的等比中項.

21、(1)求S2和S3；(2)求此數(shù)列an的前n項和公式；(3)求數(shù)列Sn的前n項和.解(1)根據(jù)已知條件整理得解得3S22S36，即(2)q1，則可解得q，a14.Snn.(3)由(2)得S1S2Snnn.13已知an是公差不為零的等差數(shù)列，a11，且a1，a3，a9成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項；(2)求數(shù)列2an的前n項和Sn.解(1)由題設知公差d0，由a11，a1，a3，a9成等比數(shù)列，得，解得d1或d0(舍去)故an的通項an1(n1)1n.(2)由(1)知2an2n，由等比數(shù)列前n項和公式，得Sn222232n2n12.)14已知數(shù)列an滿足a11，a22，an2，nN*.(1)令

22、bnan1an，證明：bn是等比數(shù)列； (2)求an的通項公式.解 (1)證明b1a2a11，當n2時，bnan1anan(anan1)bn1， bn是首項為1，公比為的等比數(shù)列.(2)解由(1)知bnan1ann1，當n2時，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)11n211n1，當n1時，111a1，ann1 (nN*).15. 設數(shù)列的前項和為，已知(nN*).（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，數(shù)列的前項和為，若存在整數(shù)，使對任意nN*且n 2，都有成立，求的最大值；解：（1）由，得(n2). 兩式相減，得，即(n2). 于是，所以數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列. 又，所以. 所以，故

23、. （2）因為，則. 令，則 . 所以 .即，所以數(shù)列為遞增數(shù)列. 所以當n 2時，的最小值為. 據(jù)題意，即.又為整數(shù)，故的最大值為18. 等比數(shù)列及其前n項和（2）一、選擇題1.已知an是等比數(shù)列，a22，a5，則a1a2a2a3anan1等于 ()A. 16(14n) B. 16(12n) C. (14n) D.(12n)2已知方程(x2mx2)(x2nx2)0的四個根組成以為首項的等比數(shù)列，則()A. B. 或 C. D 以上都不對解析設a，b，c，d是方程(x2mx2)(x2nx2)0的四個根，不妨設acdb，則abcd2，a，故b4，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，得到：c1，d2，則mab，n

24、cd3，或mcd3，nab，則或.3.設f(x)是定義在R上恒不為零的函數(shù)，且對任意的實數(shù)x，yR，都有f(x)f(y)f(xy)，若a1，anf(n) (nN*)，則數(shù)列an的前n項和Sn的取值范圍是 ()A. B. C. D.4設an是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn為其前n項和已知a2a41，S37，則S5等于 ()A.B.C.D.an是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，且a2a41，設an的公比為q，則q0，且a1，即a31.S37，a1a2a317，即6q2q10.故q或q(舍去)，a14.S58(1).5設Sn為等比數(shù)列an的前n項和，8a2a50，則等于 ()A11B8C5D11A由8a2a50，

25、得8a1qa1q40，所以q2，則11.6等比數(shù)列an前n項的積為Tn，若a3a6a18是一個確定的常數(shù)，那么數(shù)列T10，T13，T17，T25中也是常數(shù)的項是 ()AT10BT13CT17DT25a3a6a18aq2517(a1q8)3a，即a9為定值，所以下標和為9的倍數(shù)的積為定值，可知T17為定值二、填空題7.在等比數(shù)列an中，若a9a10a (a0)，a19a20b，則a99a100_.8.已知數(shù)列xn滿足lg xn11lg xn(nN*)，且x1x2x3x1001，則lg(x101x102x200)_100_.9.已知數(shù)列an是正項等比數(shù)列，若a132，a3a412，則數(shù)列l(wèi)og2a

26、n的前n項和Sn的最大值為_15_.10在等比數(shù)列an中，若公比q4，且前3項之和等于21，則該數(shù)列的通項公式an_.解析等比數(shù)列an的前3項之和為21，公比q4，不妨設首項為a1，則a1a1qa1q2a1(1416)21a121，a11，an14n14n1.三、解答題11.已知等比數(shù)列an的公比q1，a1與a4的等比中項是4，a2和a3的等差中項為6，數(shù)列bn滿足bnlog2an.(1)求an的通項公式； (2)求bn的前n項和. (1)an2n(2)解bnlog2an，an2n，bnn.bn的前n項和Sn123n.12.設數(shù)列an的前n項和為Sn，且(3m)Sn2manm3 (nN*)，其

27、中m為常數(shù)，m3且m0.(1)求證：an是等比數(shù)列；(2)若數(shù)列an的公比qf(m)，數(shù)列bn滿足b1a1，bnf(bn1) (nN*，n2)，求證：為等差數(shù)列，并求bn.證明(1)由(3m)Sn2manm3，得(3m)Sn12man1m3，兩式相減，得(3m)an12man，m3且m0， (n1).an是等比數(shù)列.(2)由(3m)S12ma1m3，S1a1，解得a11，b11.又an的公比為，qf(m)，n2時，bnf(bn1)，bnbn13bn3bn1，推出，是以1為首項，為公差的等差數(shù)列，1，bn.13已知數(shù)列l(wèi)og2(an1)為等差數(shù)列，且a13，a25.(1)求證：數(shù)列an1是等比數(shù)

28、列；(2)求的值10(1)證明設log2(an1)log2(an11)d (n2)，因為a13，a25，所以dlog2(a21)log2(a11)log24log221，所以log2(an1)n，所以an12n，所以2 (n2)，所以an1是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列(2)解由(1)可得an1(a11)2n1，所以an2n1，所以114已知等差數(shù)列an的首項a11，公差d0，且第2項、第5項、第14項分別是等比數(shù)列bn的第2項、第3項、第4項(1)求數(shù)列an與bn的通項公式；(2)設數(shù)列cn對nN*均有an1成立，求c1c2c3c2 010.解(1)由已知有a21d，a514d，a14113d，(14d)2(1d)(113d)解得d2(d0舍)an1(n1)22n1又b2a23，b3a59，數(shù)列bn的公比為3，bn33n23n1 (2)由an1得當n2時，an.兩式相減得：當n2時，an1an2cn2bn23n1 (n2)又當n1時，a2，c1c2c3c2 01033(332 010)32 010.