2022年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用教案 新人教A版

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1、2022年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用教案 新人教A版自主梳理1向量數(shù)量積的定義(1)向量數(shù)量積的定義：已知兩個非零向量a和b，它們的夾角為，則數(shù)量_.|a|b|cos _叫做a和b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作_ ab|a|b|cos _，其中向量的投影：cos=R，稱為向量在方向上的投影。投影的絕對值稱為射影；注意 在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點的，范圍0q180。C規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為_0_. 即（2）平面向量數(shù)量積的幾何意義數(shù)量積ab等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影_|b|cos _的乘積.(3) 平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)：如果e是單位向量，則a

2、eea_ |a|cos _；非零向量a，b，ab_ab0_；當(dāng)a與b同向時，ab_|a|b|_；（兩個非零向量a與b垂直的充要條件是_ ab0_）當(dāng)a與b反向時，ab_|a|b|_，aa_ a2_|a|2_，|a|_；（兩個非零向量a與b平行的充要條件是_ ab|a|b|_）cos _；|ab|_|a|b|.2向量數(shù)量積的運算律(1)交換律：ab_ ba _；(2)分配律：(ab)c_ acbc _；(3)數(shù)乘向量結(jié)合律：(a)b_(ab)_.3向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算與度量公式(1)兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)乘積的和，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab x1x2y1y (2)

3、設(shè)兩個非零向量a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab x1x2y1y20 .(3) 設(shè)兩個非零向量a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)，則cos _.(4)若a(x，y)，則|a|2 或|a| . (5)若A（x1，y1），B（x2，y2），則 _(x2x1，y2y1)_，所以|_.點評：1.向量的數(shù)量積是一個實數(shù)兩個向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，這個數(shù)量的大小與兩個向量的長度及其夾角的余弦值有關(guān)，在運用向量的數(shù)量積解題時，一定要注意兩向量夾角的范圍.2.ab0不能推出a0或b0，因為ab0時，有可能ab.3.一般地，(ab)c(bc)a即乘法的結(jié)合律不成立.因ab是一個數(shù)量，所以

4、(ab)c表示一個與c共線的向量，同理右邊(bc)a表示一個與a共線的向量，而a與c不一定共線，故一般情況下(ab)c(bc)a.4.abac(a0)不能推出bc，即消去律不成立.5.向量夾角的概念要領(lǐng)會，比如正三角形ABC中，應(yīng)為120，而不是60.自我檢測1.已知向量a和向量b的夾角為135，|a|2， |b|3，則向量a和向量b的數(shù)量積ab_3_.2.在RtABC中，C=90,AC=4,則等于 ()A16B8C8D163已知向量a，b滿足ab0，|a|1，|b|2，則|2ab| ()A0B2C4D8B2.4.已知ab，|a|2，|b|3，且3a2b與ab垂直，則實數(shù)的值為_.5.已知a(

5、2,3)，b(4,7)，則a在b方向上的投影為_.6.設(shè)a，b，c是任意的非零向量，且相互不共線，則下列命題正確的有_(ab)c(ca)b0；|a|b|0且ab不同向即|i|22|j|20，0)得2.且2.（4）已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P是腰DC上的動點，則|3|的最小值為_解以D為原點，分別以DA、DC所在直線為x、y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)DCa，DPy.D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，y)，(2，y)，(1，ay)，3(5,3a4y)，|3|225(3a4y)2，點P是腰DC上的動點，0ya，因此當(dāng)ya時，|

6、3|2的最小值為25，|3|的最小值為5.題型三平面向量的垂直問題例3已知a(cos ，sin )，b(cos ，sin )(0).(1)求證：ab與ab互相垂直；(2)若kab與akb的模相等，求.(其中k為非零實數(shù)) (1)證明(ab)(ab)a2b2|a|2|b|2(cos2sin2)(cos2sin2)0，ab與ab互相垂直.(2)解kab(kcos cos ，ksin sin )，akb(cos kcos ，sin ksin )，|kab|=，|akb|.|kab|akb|，2kcos()2kcos().又k0，cos()0.而0，00) 求證：ab與ab垂直；用k表示ab； 求ab

7、的最小值以及此時a與b的夾角.點撥：1.非零向量abab0x1x2y1y20.2當(dāng)向量a與b是非坐標(biāo)形式時，要把a、b用已知的不共線的向量表示但要注意運算技巧，有時把向量都用坐標(biāo)表示，并不一定都能夠簡化運算，要因題而異解 由題意得，|a|b|1，(ab)(ab)a2b20，ab與ab垂直 |kab|2k2a22kabb2k22kab1，(|akb|)23(1k2)6kab.由條件知，k22kab13(1k2)6kab，從而有，ab(k0) 由(2)知ab(k)，當(dāng)k時，等號成立，即k1.k0，k1.此時cos ，而0，.故ab的最小值為，此時.（3）設(shè)向量a(4cos ，sin )，b(sin

8、 ，4cos )，c(cos ，4sin ) 若a與b2c垂直，求tan()的值；求|bc|的最大值； 若tan tan 16，求證：ab. 解因為a與b2c垂直，所以a(b2c)4cos sin 8cos cos 4sin cos 8sin sin 4sin()8cos()0.因此tan()2.解由bc(sin cos ，4cos 4sin )，得|bc|4.又當(dāng)時，等號成立，所以|bc|的最大值為4.證明由tan tan 16得即所以ab.（4）如圖441所示，在等腰直角三角形ABC中，ACB90，CACB，D為BC的中點，E是AB上的一點，且AE2EB.求證：ADCE.解()()|2|2

9、|cos 90|2cos 45|2cos 45|2|20，即ADCE.,（5） 在ABC中，=(2, 3)，=(1, k)，且ABC的一個內(nèi)角為直角， 求k值解：當(dāng)A = 90時，= 0，21 +3k = 0 k = 當(dāng)B = 90時，= 0，=-= (1-2, k-3) = (-1, k-3)2(-1) +3(k-3) = 0 k = 當(dāng)C= 90時，= 0，-1 + k(k-3) = 0 k =題型四向量的數(shù)量積在三角函數(shù)中的應(yīng)用例4已知向量a，b，且x.(1)求ab及|ab|；(2)若f(x)ab|ab|，求f(x)的最大值和最小值解(1)abcos xcos sin xsin cos

10、2x，|ab|2|cos x|，x，cos x0，|ab|2cos x.(2)f(x)cos 2x2cos x2cos2x2cos x122.x，cos x1，當(dāng)cos x時，f(x)取得最小值；當(dāng)cos x1時，f(x)取得最大值1.變式遷移4 （1）已知ABC的面積S， 3S，且cos B，求cos C.解由題意，設(shè)ABC的角B、C的對邊分別為b、c，則Sbcsin Abccos A3Sbcsin A 0，A，cos A3sin A.又sin2Acos2A1，sin A，cos A.由題意cos B，得sin B.cos(AB)cos Acos Bsin Asin B.cos Ccos(A

11、B).（2）已知ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，G是ABC的重心，且56sin A40sin B35sin C0.(1)求角B的大??；(2)設(shè)m(sin A，cos 2A)，n(4k,1)(k1)，mn的最大值為5，求實數(shù)k的值解：(1)由G是ABC的重心，得0，由正弦定理，可將已知等式轉(zhuǎn)化為整理，得(56a35c)(40b35c)0.，不共線，由此，得abc578.不妨設(shè)a5，b7，c8，由余弦定理，得cos B.0B1時，f(t)在(0,1上為增函數(shù)，所以，當(dāng)t1時，mn取得最大值5.于是有：24k15，解得k，符合題意，所以，k.（3）已知等邊三角形ABC的邊長為2，A的半

12、徑為1，PQ為A的任意一條直徑，判斷的值是否會隨點P的變化而變化，請說明理由；求的最大值。1一些常見的錯誤結(jié)論：(1)若|a|b|，則ab；(2)若a2b2，則ab；(3)若ab，bc，則ac；(4)若ab0，則a0或b0；(5)|ab|a|b|；(6)(ab)ca(bc)；(7)若abac，則bc.以上結(jié)論都是錯誤的，應(yīng)用時要注意2平面向量的坐標(biāo)表示與向量表示的比較：已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，是向量a與b的夾角.向量表示坐標(biāo)表示向量a的模|a|a|a與b的數(shù)量積ab|a|b|cos abx1x2y1y2a與b共線的充要條件Ab(b0)ababx1y2x2y10非零向量a，b垂直

13、的充要條件abab0abx1x2y1y20向量a與b的夾角cos cos 3.證明直線平行、垂直、線段相等等問題的基本方法有：（1）要證AB=CD，可轉(zhuǎn)化證明22或|.（2）要證兩線段ABCD，只要證存在唯一實數(shù)0，使等式成立即可（3）要證兩線段ABCD，只需證0.平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用練習(xí)一一、選擇題1若向量a(3，m)，b(2，1)，ab0，則實數(shù)m的值為 ()AB. C2D61D因為ab6m0，所以m6.2已知非零向量a，b，若|a|b|1，且ab，又知(2a3b)(ka4b)，則實數(shù)k的值為 ()A6 B3C3D62D由(2a3b)(ka4b)0得2k120，k6.3.已知ABC中，

14、a，b，ab0，SABC，|a|3，|b|5，則BAC等于 ()A30B150C150D30或1503CSABC|a|b|sinBAC，sinBAC.又ab1，則實數(shù)k的取值范圍是 ()A.(，0) B.(2，)C.(，0)(2，) D.(0,2)二、填空題11設(shè)a(cos 2，sin )，b(1，2sin 1)，若ab，則sin _.解析abcos 22sin2sin ，12sin22sin2sin ，sin 12若|a|1，|b|2，cab，且ca，則向量a與b的夾角為_解析設(shè)a與b的夾角為，cab，ca，ca0，即(ab)a0.a2ab0.又|a|1，|b|2，12cos 0.cos ，

15、0，180即120.13已知向量m(1,1)，向量n與向量m夾角為，且mn1，則向量n_.解析設(shè)n(x，y)，由mn1，有xy1.由m與n夾角為，有mn|m|n|cos ，|n|1，則x2y21.由解得或，n(1,0)或n(0，1)14.已知兩個單位向量e1，e2的夾角為，若向量b1e12e2，b23e14e2，則b1b2_6_.三、解答題15.設(shè)兩向量e1、e2滿足|e1|2，|e2|1，e1、e2的夾角為60，若向量2te17e2與向量e1te2的夾角為鈍角，求實數(shù)t的取值范圍.解e4，e1，e1e221cos 601，(2te17e2)(e1te2)2te(2t27)e1e27te2t2

16、15t7.向量2te17e2與向量e1te2的夾角為鈍角，2t215t70.7t.假設(shè)2te17e2(e1te2) (0) 2t27t，.當(dāng)t時，2te17e2與e1te2的夾角為，不符合題意.t的取值范圍是.16.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A(1，2)，B(2,3)，C(2，1).(1)求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長；(2)設(shè)實數(shù)t滿足(t)0，求t的值.解(1)由題設(shè)知(3,5)，(1,1)，則(2,6)，(4,4).所以|2，|4.故所求的兩條對角線長分別為4，2.(2)由題設(shè)知(2，1)， t(32t,5t).由(t)0，得(32t,5t)(2，1)0，從而

17、5t11，所以t.17.已知(2,5)，(3,1)，(6,3)，在線段OC上是否存在點M，使，若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由解 設(shè)存在點M，且(6，3) (01)，(26，53)，(36，13)(26)(36)(53)(13)0，即45248110，解得或M點坐標(biāo)為(2,1)或.故在線段OC上存在點M，使，且點M的坐標(biāo)為(2,1)或(，) 平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用練習(xí)二一、選擇題1設(shè)R,向量,且,則（）ABCD10【解析】由,由,故. 2、定義：，其中為向量與的夾角，若，則等于（）A B C或 D【解析】由，得，所以=3若向量a與b不共線，ab0，且cab，則向量a與c的夾角為_

18、解析：由于acaaaab，又ab0，ac|a|2|a|20，所以ac.答案：904如圖，非零向量（ ）ABCD5在中，是邊上的高，若，則實數(shù)等于（ ）A B C D6已知,且關(guān)于的方程有實根,則與的夾角的取值范圍是 A. 0, B. C. D. 解： 且關(guān)于的方程有實根，則，設(shè)向量的夾角為，cos=，選B.7.設(shè)非零向量、滿足，則( )A150 B.120 C.60 D.308、（xx湖南理）在ABC中,AB=2,AC=3,= 1則.（）ABCD【解析】由下圖知. .又由余弦定理知,解得. 9在平面直角坐標(biāo)系中,將向量按逆時針旋轉(zhuǎn)后,得向量，則點的坐標(biāo)是（）ABCD二、填空題10.若平面向量，

19、滿足|1，|1，且以向量，為鄰邊的平行四邊形的面積為，則與的夾角的取值范圍是_.11.已知向量a，b，c滿足abc0，(ab)c，ab，若|a|1，則|a|2|b|2|c|2的值是_4_.12.已知在平面直角坐標(biāo)系中，O(0,0)，M(1,1)，N(0,1)，Q(2,3)，動點P(x，y)滿足不等式01,01，則z的最大值為_3_.三、解答題13.設(shè)平面上有兩個向量a(cos ，sin ) (0360)，b.(1)求證：向量ab與ab垂直；(2)當(dāng)向量ab與ab的模相等時，求的大小.證明(ab)(ab)a2b2|a|2|b|2(cos2sin2)0，故ab與ab垂直.(2)解由|ab|ab|，兩邊平方得3|a|22ab|b|2|a|22ab3|b|2，所以2(|a|2|b|2)4ab0，而|a|b|，所以ab0，則cos sin 0，即cos(60)0，60k18090， 即k18030，kZ，又01)，n6或n(舍)，b(2,6).(2)由(1)知，ab10，|a|25.又c與b同向，故可設(shè)cb (0)， (ca)a0，ba|a|20，cb(1,3).