高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題訓(xùn)練一 第2講 不等式與線性規(guī)劃 理

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1、高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題訓(xùn)練一 第2講 不等式與線性規(guī)劃 理考情解讀1.在高考中主要考查利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行兩數(shù)的大小比較、一元二次不等式的解法、基本不等式及線性規(guī)劃問(wèn)題基本不等式主要考查求最值問(wèn)題,線性規(guī)劃主要考查直接求最優(yōu)解和已知最優(yōu)解求參數(shù)的值或取值范圍問(wèn)題.2.多與集合、函數(shù)等知識(shí)交匯命題,以選擇、填空題的形式呈現(xiàn),屬中檔題1四類(lèi)不等式的解法(1)一元二次不等式的解法先化為一般形式ax2bxc0(a0),再求相應(yīng)一元二次方程ax2bxc0(a0)的根,最后根據(jù)相應(yīng)二次函數(shù)圖象與x軸的位置關(guān)系,確定一元二次不等式的解集(2)簡(jiǎn)單分式不等式的解法變形0(0(1時(shí),af(x)ag(x)f(x)

2、g(x);當(dāng)0aag(x)f(x)1時(shí),logaf(x)logag(x)f(x)g(x)且f(x)0,g(x)0;當(dāng)0alogag(x)f(x)0,g(x)0.2五個(gè)重要不等式(1)|a|0,a20(aR)(2)a2b22ab(a、bR)(3)(a0,b0)(4)ab()2(a,bR)(5) (a0,b0)3二元一次不等式(組)和簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃(1)線性規(guī)劃問(wèn)題的有關(guān)概念:線性約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)、可行域、最優(yōu)解等(2)解不含實(shí)際背景的線性規(guī)劃問(wèn)題的一般步驟:畫(huà)出可行域;根據(jù)線性目標(biāo)函數(shù)的幾何意義確定最優(yōu)解;求出目標(biāo)函數(shù)的最大值或者最小值4兩個(gè)常用結(jié)論(1)ax2bxc0(a0)恒成立的條件

3、是(2)ax2bxc0(a0)恒成立的條件是熱點(diǎn)一一元二次不等式的解法例1(1)(xx安徽)已知一元二次不等式f(x)0的解集為()Ax|xlg 2Bx|1xlg 2Dx|x0的解集為()Ax|x2或x2 Bx|2x2Cx|x4 Dx|0x0.(2)利用f(x)是偶函數(shù)求b,再解f(2x)0.答案(1)D(2)C解析(1)由已知條件010x,解得x0.f(2x)0即ax(x4)0,解得x4.故選C.思維升華二次函數(shù)、二次不等式是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí),也是高考的熱點(diǎn),“三個(gè)二次”的相互轉(zhuǎn)化體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法(1)不等式0的解集為()A(,1B,1C(,)1,)D(,1,)(2)已知p:

4、x0R,mx10,q:xR,x2mx10.若pq為真命題,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A(,2) B2,0)C(2,0) D0,2答案(1)A(2)C解析(1)原不等式等價(jià)于(x1)(2x1)0或x10,即x1或x1,所以不等式的解集為(,1,選A.(2)pq為真命題,等價(jià)于p,q均為真命題命題p為真時(shí),m0;命題q為真時(shí),m240,解得2m2.故pq為真時(shí),2m0,且1.所以()2(當(dāng)且僅當(dāng),即m,n2時(shí),取等號(hào))所以,即mn3,所以mn的最大值為3.(2)2x2(xa)2a22a42a,由題意可知42a7,得a,即實(shí)數(shù)a的最小值為,故選B.熱點(diǎn)三簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題例3(xx湖北)某旅行社租用A

5、、B兩種型號(hào)的客車(chē)安排900名客人旅行,A、B兩種車(chē)輛的載客量分別為36人和60人,租金分別為1 600元/輛和2 400元/輛,旅行社要求租車(chē)總數(shù)不超過(guò)21輛,且B型車(chē)不多于A型車(chē)7輛則租金最少為()A31 200元 B36 000元C36 800元 D38 400元思維啟迪通過(guò)設(shè)變量將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題答案C解析設(shè)租A型車(chē)x輛,B型車(chē)y輛時(shí)租金為z元,則z1 600x2 400y,x、y滿(mǎn)足畫(huà)出可行域如圖直線yx過(guò)點(diǎn)A(5,12)時(shí)縱截距最小,所以zmin51 6002 4001236 800,故租金最少為36 800元思維升華(1)線性規(guī)劃問(wèn)題一般有三種題型:一是求最值;二是求區(qū)

6、域面積;三是確定目標(biāo)函數(shù)中的字母系數(shù)的取值范圍(2)解決線性規(guī)劃問(wèn)題首先要找到可行域,再注意目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義,利用數(shù)形結(jié)合找到目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解(3)對(duì)于應(yīng)用問(wèn)題,要準(zhǔn)確地設(shè)出變量,確定可行域和目標(biāo)函數(shù)(1)已知實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足約束條件,則w的最小值是()A2 B2C1 D1(2)設(shè)zkxy,其中實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足若z的最大值為12,則k_.答案(1)D(2)2解析(1)畫(huà)出可行域,如圖所示w表示可行域內(nèi)的點(diǎn)(x,y)與定點(diǎn)P(0,1)連線的斜率,觀察圖形可知PA的斜率最小為1,故選D.(2)首先畫(huà)出可行域如下圖所示,可知當(dāng)xy4時(shí),z取最大值12,124k4,k2.1幾類(lèi)不等式的解法一元二次

7、不等式解集的端點(diǎn)值是相應(yīng)一元二次方程的根,也是相應(yīng)的二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo),即二次函數(shù)的零點(diǎn);分式不等式可轉(zhuǎn)化為整式不等式(組)來(lái)解;以函數(shù)為背景的不等式可利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化2基本不等式的作用二元基本不等式具有將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”或?qū)ⅰ昂褪健鞭D(zhuǎn)化為“積式”的放縮功能,常常用于比較數(shù)(式)的大小或證明不等式或求函數(shù)的最值或解決不等式恒成立問(wèn)題解決問(wèn)題的關(guān)鍵是弄清分式代數(shù)式、函數(shù)解析式、不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),選擇好利用基本不等式的切入點(diǎn),并創(chuàng)造基本不等式的應(yīng)用背景,如通過(guò)“代換”、“拆項(xiàng)”、“湊項(xiàng)”等技巧,改變?cè)降慕Y(jié)構(gòu)使其具備基本不等式的應(yīng)用條件利用基本不等式求最值時(shí)要注意“一正、

8、二定、三相等”的條件,三個(gè)條件缺一不可3線性規(guī)劃問(wèn)題的基本步驟(1)定域畫(huà)出不等式(組)所表示的平面區(qū)域,注意平面區(qū)域的邊界與不等式中的不等號(hào)的對(duì)應(yīng);(2)平移畫(huà)出目標(biāo)函數(shù)等于0時(shí)所表示的直線l,平行移動(dòng)直線,讓其與平面區(qū)域有公共點(diǎn),根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義確定最優(yōu)解,注意要熟練把握最常見(jiàn)的幾類(lèi)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義;(3)求值利用直線方程構(gòu)成的方程組求解最優(yōu)解的坐標(biāo),代入目標(biāo)函數(shù),求出最值.真題感悟1(xx山東)已知實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足axay(0a Bln(x21)ln(y21)Csin xsin y Dx3y3答案D解析因?yàn)?a1,axy.采用賦值法判斷,A中,當(dāng)x1,y0時(shí),1,A不成立B中,當(dāng)x

9、0,y1時(shí),ln 10),所以y17(x1)17213(當(dāng)且僅當(dāng)x1,即x1時(shí)取等號(hào)),所以促銷(xiāo)費(fèi)用投入1萬(wàn)元時(shí),廠家的利潤(rùn)最大,故選A.2若點(diǎn)P(x,y)滿(mǎn)足線性約束條件點(diǎn)A(3,),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則的最大值為_(kāi)答案6解析由題意,知(3,),設(shè)(x,y),則3xy.令z3xy,如圖畫(huà)出不等式組所表示的可行域,可知當(dāng)直線yxz經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí),z取得最大值由解得即B(1,),故z的最大值為316.即的最大值為6.(推薦時(shí)間:50分鐘)一、選擇題1(xx四川)若ab0,cd B. D.答案D解析令a3,b2,c3,d2,則1,1,所以A,B錯(cuò)誤;,所以x2xB2xlg xxCx2xlg xD2xxlg

10、 x答案D解析分別畫(huà)出函數(shù)y2x,yx,ylg x的圖象,如下圖,由圖象可知,在x(0,1)時(shí),有2xxlg x,故選D.3(xx重慶)關(guān)于x的不等式x22ax8a20)的解集為(x1,x2),且x2x115,則a等于()A. B.C. D.答案A解析由x22ax8a20,得(x2a)(x4a)0,所以不等式的解集為(2a,4a),即x24a,x12a,由x2x115,得4a(2a)15,解得a.4(xx重慶)若log4(3a4b)log2,則ab的最小值是()A62 B72C64 D74答案D解析由題意得所以又log4(3a4b)log2,所以log4(3a4b)log4ab,所以3a4ba

11、b,故1.所以ab(ab)()77274,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)故選D.5已知變量x,y滿(mǎn)足約束條件,則zx2y1的最大值為()A9 B8C7 D6答案B解析約束條件所表示的區(qū)域如圖,由圖可知,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過(guò)A(1,4)時(shí)取得最大值,故zx2y1的最大值為12418.二、填空題6已知f(x)是R上的減函數(shù),A(3,1),B(0,1)是其圖象上兩點(diǎn),則不等式|f(1ln x)|1的解集是_答案(,e2)解析|f(1ln x)|1,1f(1ln x)1,f(3)f(1ln x)f(0),又f(x)在R上為減函數(shù),01ln x3,1ln x2,x0,則的最小值為_(kāi)答案解析點(diǎn)A(1,1)在直線2mxny20上

12、,2mn2,()(21)(32),當(dāng)且僅當(dāng),即nm時(shí)取等號(hào),的最小值為.三、解答題9設(shè)集合A為函數(shù)yln(x22x8)的定義域,集合B為函數(shù)yx的值域,集合C為不等式(ax)(x4)0的解集(1)求AB;(2)若CRA,求a的取值范圍解(1)由x22x80得4x0,即x1時(shí)y211,此時(shí)x0,符合要求;當(dāng)x10,即x0時(shí),Cx|4x,不可能CRA;當(dāng)a0時(shí),Cx|x4或x,若CRA,則2,a2,a0.故a的取值范圍為,0)10投資生產(chǎn)A產(chǎn)品時(shí),每生產(chǎn)100噸需要資金200萬(wàn)元,需場(chǎng)地200平方米,可獲利潤(rùn)300萬(wàn)元;投資生產(chǎn)B產(chǎn)品時(shí),每生產(chǎn)100噸需要資金300萬(wàn)元,需場(chǎng)地100平方米,可獲利

13、潤(rùn)200萬(wàn)元現(xiàn)某單位可使用資金1 400萬(wàn)元,場(chǎng)地900平方米,問(wèn):應(yīng)作怎樣的組合投資,可使獲利最大?解設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品x百?lài)崳a(chǎn)B產(chǎn)品y百?lài)?,利?rùn)為S百萬(wàn)元,則約束條件為目標(biāo)函數(shù)為S3x2y.作出可行域如圖陰影部分所示,作直線l0:3x2y0,將l0向上平移時(shí),S3x2y隨之增大,當(dāng)它經(jīng)過(guò)直線2xy9和2x3y14的交點(diǎn)(,)時(shí),S最大,此時(shí),Smax3214.75.因此,生產(chǎn)A產(chǎn)品325噸,生產(chǎn)B產(chǎn)品250噸時(shí),利潤(rùn)最大為1 475萬(wàn)元11某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品,每日的成本C(單位:萬(wàn)元)與日產(chǎn)量x(單位:噸)滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系式C3x,每日的銷(xiāo)售額S(單位:萬(wàn)元)與日產(chǎn)量x的函數(shù)關(guān)系式S已知每日的利潤(rùn)LSC,且當(dāng)x2時(shí),L3.(1)求k的值;(2)當(dāng)日產(chǎn)量為多少?lài)崟r(shí),每日的利潤(rùn)可以達(dá)到最大,并求出最大值解(1)由題意可得L因?yàn)楫?dāng)x2時(shí),L3,所以3222,解得k18.(2)當(dāng)0x6時(shí),L2x2,所以L2(x8)182(8x)182186,當(dāng)且僅當(dāng)2(8x),即x5時(shí)取得等號(hào)當(dāng)x6時(shí),L11x5.所以當(dāng)x5時(shí)L取得最大值6.所以當(dāng)日產(chǎn)量為5噸時(shí),每日的利潤(rùn)可以達(dá)到最大,最大值為6萬(wàn)元

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