2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題六 第2講 選修4-5 不等式選講學(xué)案

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1、第2講選修4-5 不等式選講考向預(yù)測(cè)本部分主要考查絕對(duì)值不等式的解法求含絕對(duì)值的函數(shù)的最值及求含參數(shù)的絕對(duì)值不等式中的參數(shù)的取值范圍，不等式的證明等，結(jié)合集合的運(yùn)算、函數(shù)的圖象和性質(zhì)、恒成立問(wèn)題及基本不等式，絕對(duì)值不等式的應(yīng)用成為命題的熱點(diǎn)，主要考查基本運(yùn)算能力與推理論證能力及數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想1絕對(duì)值不等式的性質(zhì)定理1：如果a，b是實(shí)數(shù)，則|ab|a|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab0時(shí)，等號(hào)成立定理2：如果a，b，c是實(shí)數(shù)，那么|ac|ab|bc|，當(dāng)且僅當(dāng)(ab)(bc)0時(shí)，等號(hào)成立2|axb|c，|axb|c(c0)型不等式的解法(1)|axb|ccaxbc(2)|axb|caxbc或ax

2、bc3|xa|xb|c，|xa|xb|c(c0)型不等式的解法(1)利用絕對(duì)值不等式的幾何意義直觀求解(2)利用零點(diǎn)分段法求解(3)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解4基本不等式定理1：設(shè)a，bR，則a2b22ab當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立定理2：如果a，b為正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立定理3：如果a，b，c為正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，等號(hào)成立定理4：(一般形式的算術(shù)幾何平均不等式)如果a1，a2，an為n個(gè)正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)a1a2an時(shí)，等號(hào)成立熱點(diǎn)一絕對(duì)值不等式的解法與最值問(wèn)題【例1】(2019肇慶一模)已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍解（1）不等式，即.可

3、得，或或，解得，所以不等式的解集為.（2），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，兩處等號(hào)同時(shí)成立，所以，解得或，實(shí)數(shù)a的取值范圍是探究提高1解絕對(duì)值不等式的關(guān)鍵是去絕對(duì)值符號(hào)，常用的零點(diǎn)分段法的一般步驟：求零點(diǎn)；劃分區(qū)間，去絕對(duì)值符號(hào)；分段解不等式；求各段的并集此外，還常用絕對(duì)值的幾何意義，結(jié)合數(shù)軸直觀求解2不等式恒成立問(wèn)題，存在性問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題解決【訓(xùn)練1】(2017鄭州三模)已知不等式|xm|x|的解集為(1，)(1)求實(shí)數(shù)m的值；(2)若不等式對(duì)x(0，)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)由|xm|x|，得|xm|2m2，又不等式|xm|x|的解集為(1，)，則1是方程2mxm2的解，解得m2(m0舍

4、去)(2)m2，不等式對(duì)x(0，)恒成立等價(jià)于不等式a5|x1|x2|a2對(duì)x(0，)恒成立設(shè)f(x)|x1|x2|，當(dāng)0x2時(shí)，f(x)在(0，2)上是增函數(shù)，1f(x)3，當(dāng)x2時(shí)，f(x)3因此函數(shù)f(x)的值域?yàn)?1，3從而原不等式等價(jià)于解得1cd，則；(2)是|ab|，只需證明()2()2，也就是證明ab2cd2，只需證明，即證abcd由于abcd，因此(2)若|ab|cd|，則(ab)2(cd)2，即(ab)24abcd由(1)得若，則()2()2，ab2cd2abcd，所以abcd于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2因此|ab|是|ab|cd|的充要條件1(2

5、018全國(guó)I卷)已知（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若時(shí)不等式成立，求的取值范圍2(2018全國(guó)II卷)設(shè)函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若，求的取值范圍1(2016全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)，M為不等式f(x)2的解集(1)求M；(2)證明：當(dāng)a，bM時(shí)，|ab|0；(2)若x0R，使得f(x0)2m2L(A，C)，求x的取值范圍；(2)當(dāng)xR時(shí)，不等式L(A，B)tL(A，C)恒成立，求t的最小值2(2018福建聯(lián)考)已知不等式的解集為（）求的值；（）若，求證：參考答案1【解題思路】(1)將代入函數(shù)解析式，求得，利用零點(diǎn)分段將解析式化為，然后利用分段函數(shù)，分情況討論求得不等式的解集為

6、；(2)根據(jù)題中所給的，其中一個(gè)絕對(duì)值符號(hào)可以去掉，不等式可以化為時(shí)，分情況討論即可求得結(jié)果.【答案】（1）當(dāng)時(shí)，的解集為（2）當(dāng)時(shí)成立等價(jià)于當(dāng)時(shí)成立若，則當(dāng)時(shí)；若，的解集為，所以，故綜上所述，的取值范圍為2【解題思路】（1）先根據(jù)絕對(duì)值幾何意義將不等式化為三個(gè)不等式組，分別求解，最后求并集，（2）先化簡(jiǎn)不等式為，再根據(jù)絕對(duì)值三角不等式得最小值，最后解不等式得的取值范圍【答案】（1）當(dāng)時(shí)，可得的解集為（2）等價(jià)于，而，且當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故等價(jià)于，由可得或，所以的取值范圍是點(diǎn)睛：含絕對(duì)值不等式的解法有兩個(gè)基本方法，一是運(yùn)用零點(diǎn)分區(qū)間討論，二是利用絕對(duì)值的幾何意義求解法一是運(yùn)用分類討論思想，法二是運(yùn)

7、用數(shù)形結(jié)合思想，將絕對(duì)值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透，解題時(shí)強(qiáng)化函數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想方法的靈活應(yīng)用，這是命題的新動(dòng)向1【解題思路】(1)零點(diǎn)分段討論法得出f(x)的解析式，再分類討論求解f(x)2(2)平方后利用作差比較法【答案】(1)解f(x)當(dāng)x時(shí)，由f(x)2得2x1，所以1x；當(dāng)x時(shí)，f(x)2恒成立當(dāng)x時(shí)，由f(x)2得2x2，解得x1，所以x1所以f(x)2的解集Mx|1x1(2)證明由(1)知，當(dāng)a，bM時(shí)，1a1，1b1，從而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21(a21)(1b2)0，所以(ab)2(1ab)2，因此|ab|0 (2) 存在性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求最

8、值問(wèn)題【答案】解(1)當(dāng)x0，解得x3，從而x0，解得x，又2x，2x時(shí)，f(x)2x1x2x3，令x30，解得x3又x，x3綜上，不等式f(x)0的解集為(3，)(2)由(1)得f(x)，f(x)minf x0R，使得f(x0)2m2，整理得4m28m50，解得mL(A，C)，進(jìn)一步解出x的范圍(2)由定義得出L(A，B)tL(A，C)，再利用絕對(duì)值三角不等式求解即可【答案】解(1)由定義得|x1|1|x5|1，則|x1|x5|，兩邊平方得8x24，解得x3故x的取值范圍為(3，)(2)當(dāng)xR時(shí)，不等式|x1|x5|t恒成立，也就是t|x1|x5|恒成立，因?yàn)閨x1|x5|(x1)(x5)|4，所以t4，所以tmin4故t的最小值為42【解題思路】（1）根據(jù)，進(jìn)行分類討論，求出不等式的解集，由此能求出（2）由，知，由此利用作商法和基本不等式的性質(zhì)能證明【答案】（）原不等式等價(jià)于或或，解得或，即，.（）由（）知，即，且，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取“”,10