【走向高考】2020年高考數學總復習 12-5直接證明與間接證明課后作業(yè) 北師大版

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1、【走向高考】2020年高考數學總復習 12-5直接證明與間接證明課后作業(yè) 北師大版 一、選擇題 1．設a＞0，b＞0，且a＋b≤4，則有(　　) A.≥　　　　　　 B.≥2 C.＋≥1 D.≤ [答案]　C [解析]　∵4≥a＋b≥2，∴≤2，≥.∴＋≥2≥1.也可取特殊值檢驗． 2．命題“如果數列{an}的前n項和Sn＝2n2－3n，那么數列{an}一定是等差數列”是否成立(　　) A．不成立 B．成立 C．不能斷定 D．能斷定 [答案]　B [解析]　∵Sn＝2n2－3n， ∴Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)(n≥2)， ∴an＝Sn－Sn

2、－1＝4n－5. 當n＝1時，a1＝S1＝－1符合上式． ∵an＋1－an＝4(n≥1)為常數， ∴{an}是等差數列． 3．用反證法證明命題：“三角形的內角中至少有一個不大于60°”時，假設正確的是(　　) A．假設三內角都不大于60° B．假設三內角都大于60° C．假設三內角至多有一個大于60° D．假設三內角至多有兩個大于60° [答案]　B [解析]　至少有一個不大于60°的反面是都大于60°. 4．設a、b、c是互不相等的正數，則下列不等式中不恒成立的是(　　) A．|a－b|≤|a－c|＋|b－c| B．a2＋≥a＋ C．|a－b|＋≥2 D.－≤－

3、 [答案]　C [解析]　A：|a－b|＝|(a－c)＋(c－b)|≤|a－c|＋|c－b|一定成立． B：a2＋＝2－2， a2＋≥a＋ 2≥＋2 2－－2≥0 a＋≥2或a＋≤－1. 而當a>0時a＋≥2或當a<0時a＋≤－2.∴上式恒成立． C：|a－b|≥0，而a－b∈R， ∴不能使用均值不等式． D：顯然成立． 另解，顯然a＝1，b＝2時C不成立，故選C. 5．(文)若a>b>0，則下列不等式中總成立的是(　　) A．a＋>b＋ B.> C．a＋>b＋ D.> [答案]　A [解析]　∵a>b>0，∴>， 又a>b，∴a＋>b＋.

4、(理)設a，b是兩個實數，給出下列條件： (1)a＋b>1；(2)a＋b＝2；(3)a＋b>2；(4)a2＋b2>2；(5)ab>1.其中能推出：“a，b中至少有一個大于1”的條件是(　　) A．(2)(3) B．(1)(2)(3) C．(3) D．(3)(4)(5) [答案]　C [解析]　本題可用特值法，令a＝b＝知(1)不行，令a＝b＝1知(2)不行，令a＝b＝－2知(4)(5)都不成立． 6．(文)已知函數f(x)＝lg，若f(a)＝b，則f(－a)等于(　　) A．a B．－b C. D．－ [答案]　B [解析]　易證f(x)＝lg是奇函數，

5、∴f(－a)＝－f(a)＝－b. (理)已知定義在R上的奇函數f(x)的圖像關于直線x＝1對稱，并且當x∈(0,1]時，f(x)＝x2＋1，則f(2020)的值為(　　) A．2 B．0 C．1 D．－1 [答案]　B [解析]　∵f(x)為奇函數，∴f(－x)＝－f(x)， ∵f(x)圖像關于直線x＝1對稱， ∴f(2－x)＝f(x)，∴f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)， ∴f(4＋x)＝f(2＋(2＋x))＝－f(2＋x)＝f(x)， ∴f(x)是周期為4的周期函數，∴f(2020)＝f(0)， 又f(x)是R上的奇函數，∴f(0)＝0，∴f(2020)＝0

6、. 二、填空題 7．已知函數f(x)＝ax＋2a＋1，當x∈[－1,1]時，f(x)有正值也有負值，則實數a的取值范圍為____________． [答案]?。?＜a＜－ [解析]　由題意得f(x)＝ax＋2a＋1為斜率不為0的直線，由單調性知f(1)·f(－1)＜0即可． ∴(a＋2a＋1)·(2a－a＋1)＜0. ∴－1＜a＜－. 8．如果a＋b>a＋b，則a，b應滿足的條件是________． [答案]　a≥0，b≥0且a≠b [解析]　首先a≥0，b≥0且a與b不同為0，要使a＋b>a＋b，只需(a＋b)2>(a＋b)2，即a3＋b3>a2b＋ab2，只需(a＋b)(

7、a2－ab＋b2)>ab(a＋b)只需a2－ab＋b2>ab，即(a－b)2>0， 只需a≠b，故a，b應滿足a≥0，b≥0且a≠b. 三、解答題 9．(創(chuàng)新題)已知函數f(x)＝ax＋(a>1)． (1)求證：函數f(x)在(－1，＋∞)上為增函數； (2)求證：方程f(x)＝0沒有負根． [證明]　(1)方法一：任取x1，x2∈(－1，＋∞)，不妨設x10，ax2－x1>1且a x1>0， ∴a x2－a x1＝a x1 (a x2－x1－1)>0. 又∵x1＋1>0，x2＋1>0， ∴－ ＝ ＝>0， 于是f(x2)－f(x1)＝a x2－a

8、 x1＋－>0， 故函數f(x)在(－1，＋∞)上為增函數． 方法二：f(x)＝ax＋1－(a>1)， 求導數得f′(x)＝axlna＋， ∵a>1，∴當x>－1時，axlna>0，>0， ∴f′(x)>0在(－1，＋∞)上恒成立， f(x)在(－1，＋∞)上為增函數． (2)方法一：設存在x0<0(x0≠－1)滿足f(x0)＝0， 則ax0＝－，且0

9、(x0)＝0矛盾． ②若x0<－1，則>1，ax0>0， ∴f(x0)>1與f(x0)＝0矛盾． 故方程f(x)＝0沒有負根. 一、選擇題 1．設a，b，c均為正實數，則三個數a＋、b＋、c＋(　　) A．都大于2 B．都小于2 C．至少有一個大于2 D．至少有一個不小于2 [答案]　D [解析]　∵a>0，b>0，c>0， ∴＋＋＝＋＋≥6，當且僅當a＝b＝c時，“＝”成立， 故三者不能都小于2，即至少有一個不小于2. 2．給出如下三個命題： ①四個非零實數a、b、c、d依次成等比數列的充要條件是ad＝bc； ②設a，b∈R，且ab≠0，若<1，則>1

10、； ③若f(x)＝log2x，則f(|x|)是偶函數． 其中不正確命題的序號是(　　) A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ [答案]　A [解析]?、僦?，a，b，c，d成等比數列ad＝bc，但ad＝bcd:c＝c:b＝b:a. ②中，若<1，則的取值范圍是(－∞，0)∪(1，＋∞)，所以②錯誤； ③中，f(|x|)＝log2|x|的定義域是{x|x∈R且x≠0}，且f(|x|)＝f(|－x|)成立，故f(|x|)是偶函數，③正確，所以答案是A. 二、填空題 3．(2020·山東文，15)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)和橢圓＋＝1有相同的焦點，且雙曲線的離

11、心率是橢圓離心率的兩倍，則雙曲線的方程為________． [答案]　－＝1 [解析]　本題考查雙曲線、橢圓的基本概念． 橢圓焦點為(±，0)，所以a2＋b2＝7，橢圓離心率為e＝，∴＝×2，∴a＝2，b＝， ∴雙曲線方程為－＝1. 4．(文)(改編題)若x≥1，則x與lnx的大小關系為________． [答案]　x>lnx [解析]　設f(x)＝x－lnx(x≥1)， 則f′(x)＝1－＝， 當x≥1時，f′(x)≥0恒成立， ∴f(x)＝x－lnx在[1，＋∞)上是增函數． 又f(1)＝1－ln1＝1>0，∴x>lnx. (理)設f(x)＝(x－a)(x－b)(x

12、－c)(a，b，c是兩兩不等的常數)，則＋＋的值是____________． [答案]　0 [解析]　f′(x)＝(x－b)(x－c)＋(x－a)(x－c)＋(x－a)(x－b)， f′(a)＝(a－b)(a－c)， f′(b)＝(b－a)(b－c)， f′(c)＝(c－a)(c－b)， ＋＋ ＝＋＋ ＝＝0. 三、解答題 5．(2020·安徽文，17)設直線l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中實數k1，k2滿足k1k2＋2＝0. (1)證明l1與l2相交； (2)證明l1與l2的交點在橢圓2x2＋y2＝1上． [解析]　(1)假設l1與l2不相交，則l1

13、與l2平行或重合，則k1＝k2 ∵k1·k2＋2＝0， ∴k1·k1＋2＝0， 即k＝－2不可能，故假設錯誤，∴l(xiāng)1與l2相交 (2)聯立消y得(k2－k1)x＝2， ∵k1≠k2，∴x＝，y＝ ∴l(xiāng)1與l2交點P(，)，將點P代入2x2＋y2得 2x2＋y2＝2×()2＋()2 ＝ ＝ ＝＝＝1. 故點P在橢圓上，即l1與l2的交點在橢圓2x2＋y2＝1上． 6．在△ABC中，三個內角A、B、C對應的邊分別為a、b、c，且A、B、C成等差數列，a、b、c成等比數列，求證：△ABC為等邊三角形． [分析]　要證明三角形ABC為正三角形，可證三條邊相等或三個角相等．

14、[證明]　由A、B、C成等差數列，有2B＝A＋C. ① 因為A、B、C為△ABC的內角， 所以A＋B＋C＝π. ② 由①②得，B＝. ③ 由a、b、c成等比數列，有b2＝ac. ④ 由余弦定理及③可得， b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac. 再由④得，a2＋c2－ac＝ac. 即(a－c)2＝0，因此a＝c. 從而有A＝C.

15、 ⑤ 由②③⑤得，A＝B＝C＝. 所以△ABC為等邊三角形． 7．(2020·湖北理)已知數列{an}滿足：a1＝，＝，anan＋1<0(n≥1)；數列{bn}滿足：bn＝a－a(n≥1)． (1)求數列{an}，{bn}的通項公式； (2)證明：數列{bn}中的任意三項不可能成等差數列． [分析]　本小題主要考查等差數列、等比數列等基礎知識以及反證法，同時考查推理論證能力．第(1)問可構造數列{1－a}，進而求出an，bn，第(2)問可用反證法進行證明． [解析]　(1)由題意可知，1－a＝(1－a)． 令cn＝1－a，則c

16、n＋1＝cn. 又c1＝1－a＝，則數列{cn}是首項為c1＝，公比為的等比數列，即cn＝·n－1， 故1－a＝· n－1a＝1－· n－1， 又a1＝>0，anan＋1<0， 故an＝(－1)n－1. bn＝a－a＝－ ＝·n－1. (2)用反證法證明． 假設數列{bn}存在三項br、bs、bt(r