2021屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題六 第2講 概率、隨機(jī)變量及其分布列教案

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1、第2講概率、隨機(jī)變量及其分布列自主學(xué)習(xí)導(dǎo)引真題感悟1(2012北京)設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈,在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn),則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是A.B.C.D.解析如圖,平面區(qū)域D是面積為4的正方形,D內(nèi)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的點(diǎn)所組成的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分,其面積為4,故此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率為,故選D.答案D2(2012山東)現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)靶,某射手向甲靶射擊一次,命中的概率為,命中得1分,沒有命中得0分;向乙靶射擊兩次,每次命中的概率為,每命中一次得2分,沒有命中得0分該射手每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立假設(shè)該射手完成以上三次射擊(1)求該射手恰好命中一次的概率;(2)求該

2、射手的總得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望EX.解析(1)記:“該射手恰好命中一次”為事件A,“該射手射擊甲靶命中”為事件B,“該射手第一次射擊乙靶命中”為事件C,“該射手第二次射擊乙靶命中”為事件D.由題意知P(B),P(C)P(D),由于ABCD,根據(jù)事件的獨(dú)立性和互斥性得P(A)P(BCD)P(B)P(C)P(D)P(B)P()P()P()P(C)P()P()P()P(D).(2)根據(jù)題意知X的所有可能取值為0,1,2,3,4,5.根據(jù)事件的獨(dú)立性和互斥性得P(X0)P()1P(B)1P(C)1P(D).P(X1)P(B)P(B)P()P(),P(X2)P(CD)P(C)P(D),P(X3)P(B

3、CBD)P(BC)P(BD),P(X4)P(CD),P(X5)P(BCD).故X的分布列為X012345P所以EX012345.考題分析本部分內(nèi)容的基礎(chǔ)是概率,高考試題中無論是以古典概型為背景的分布列,還是以獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)為背景的分布列,都要求計(jì)算概率解此類問題的一個(gè)難點(diǎn)是正確的理解題意,需特別注意網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建高頻考點(diǎn)突破考點(diǎn)一:古典概型與幾何概型【例1】(1)(2012衡水模擬)盒子中裝有形狀、大小完全相同的3個(gè)紅球和2個(gè)白球,從中隨機(jī)取出一個(gè)記下顏色后放回,當(dāng)紅球取到2次時(shí)停止取球那么取球次數(shù)恰為3次的概率是A.B.C.D.(2)(2012海淀二模)在面積為1的正方形ABCD內(nèi)部隨機(jī)取一點(diǎn)P,則

4、PAB的面積大于等于的概率是_審題導(dǎo)引(1)解題的關(guān)鍵是理解題意,應(yīng)用計(jì)數(shù)原理與排列組合公式計(jì)算基本事件的個(gè)數(shù);(2)首先找到使PAB的面積等于的點(diǎn)P,然后據(jù)題意計(jì)算規(guī)范解答(1)設(shè)事件“取球次數(shù)恰為3次”為事件A,則P(A).2)如圖所示,設(shè)E、F分別是AD、BC的中點(diǎn),則當(dāng)點(diǎn)P在線段EF上時(shí),SPAB,要使SPAB,需點(diǎn)P位于矩形EFCD內(nèi),故所求的概率為:P(A).答案(1)B(2)【規(guī)律總結(jié)】解答幾何概型、古典概型問題時(shí)的注意事項(xiàng)(1)有關(guān)古典概型的概率問題,關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù),這常用到計(jì)數(shù)原理與排列、組合的相關(guān)知識(shí)(2)在求基本事件的個(gè)數(shù)時(shí),要準(zhǔn)確理

5、解基本事件的構(gòu)成,這樣才能保證所求事件所包含的基本事件數(shù)的求法與基本事件總數(shù)的求法的一致性(3)當(dāng)構(gòu)成試驗(yàn)的結(jié)果的區(qū)域?yàn)殚L度、面積、體積、弧長、夾角等時(shí),應(yīng)考慮使用幾何概型求解(4)利用幾何概型求概率時(shí),關(guān)鍵是構(gòu)成試驗(yàn)的全部結(jié)果的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的尋找,有時(shí)需要設(shè)出變量,在坐標(biāo)系中表示所需要的區(qū)域【變式訓(xùn)練】1(1)(2012石景山一模)如圖,圓O:x2y22內(nèi)的正弦曲線ysin x與x軸圍成的區(qū)域記為M(圖中陰影部分),隨機(jī)往圓O內(nèi)投一個(gè)點(diǎn)A,則點(diǎn)A落在區(qū)域M內(nèi)的概率是_解析陰影部分的面積為S陰2sin xdx2cos x4,故P答案2(2012廣州模擬)從3名男生和n名女生中,任選3人

6、參加比賽,已知3人中至少有1名女生的概率為,則n_.解析據(jù)題意知,所選3人中都是男生的概率為,至少有1名女生的概率為1,n4.答案4考點(diǎn)二:相互獨(dú)立事件的概率與條件概率【例2】(1)甲射擊命中目標(biāo)的概率為,乙射擊命中目標(biāo)的概率為,當(dāng)兩人同時(shí)射擊同一目標(biāo)時(shí),該目標(biāo)被擊中的概率為A. B1 C. D.(2)從1,2,3,4,5中任取2個(gè)不同的數(shù),事件A“取到的2個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”,事件B“取到的2個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”,則P(B|A)A. B. C. D.審題導(dǎo)引(1)把事件“目標(biāo)被擊中”分解為三個(gè)互斥事件求解;(2)據(jù)古典概型的概率分別求出P(A)與P(AB),然后利用公式求P(B|A)規(guī)范解答(1)解法

7、一設(shè)甲、乙射擊命中目標(biāo)分別記作事件A、B,則P(A),P(B),則該目標(biāo)被擊中的概率為P(A)P(B)P(AB).解法二若采用間接法,則目標(biāo)未被擊中的概率為P( ),則目標(biāo)被擊中的概率為1P( )1.(2)P(A),P(AB).由條件概率計(jì)算公式,得P(B|A).【規(guī)律總結(jié)】(1)求復(fù)雜事件的概率,要正確分析復(fù)雜事件的構(gòu)成,看復(fù)雜事件能轉(zhuǎn)化為幾個(gè)彼此互斥的事件的和事件還是能轉(zhuǎn)化為幾個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的積事件,然后用概率公式求解(2)一個(gè)復(fù)雜事件若正面情況比較多,反面情況較少,則一般利用對(duì)立事件進(jìn)行求解對(duì)于“至少”“至多”等問題往往用這種方法求解(3)注意辨別獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的基本特征:在每次試

8、驗(yàn)中,試驗(yàn)結(jié)果只有發(fā)生與不發(fā)生兩種情況;在每次試驗(yàn)中,事件發(fā)生的概率相同(4)牢記公式Pn(k)Cpk(1p)nk,k0,1,2,n,并深刻理解其含義2解答條件概率問題時(shí)應(yīng)注意的問題(1)正確理解事件之間的關(guān)系是解答此類題目的關(guān)鍵(2)在求P(AB)時(shí),要判斷事件A與事件B之間的關(guān)系,以便采用不同的方法求P(AB)其中,若BA,則P(AB)P(B),從而P(B|A).【變式訓(xùn)練】3(2012宜賓模擬)設(shè)某氣象站天氣預(yù)報(bào)準(zhǔn)確率為0.9,則在4次預(yù)報(bào)中恰有3次預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率是A0.287 6 B0.072 9C0.312 4 D0.291 6解析據(jù)題意知在4次預(yù)報(bào)中恰有3次預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率為C0.9

9、30.10.291 6.答案D4(2012棗莊模擬)如圖,CDEF是以圓O為圓心,半徑為1的圓的內(nèi)接正方形,將一顆豆子隨機(jī)地扔到該圓內(nèi),用A表示事件“豆子落在扇形OCFH內(nèi)”(點(diǎn)H將劣弧二等分),B表示事件“豆子落在正方形CDEF內(nèi)”,則P(B|A)A. B.C. D.解析圓的半徑為1,則正方形的邊長為,P(A),P(AB),則P(B|A).答案B考點(diǎn)三:離散型隨機(jī)變量的分布列、期望、方差【例3】(2012合肥模擬)某公司設(shè)有自行車租車點(diǎn),租車的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是每小時(shí)2元(不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算)甲、乙兩人各租一輛自行車,若甲、乙不超過一小時(shí)還車的概率分別為、;一小時(shí)以上且不超過兩小時(shí)還車的概

10、率分別為、;兩人租車時(shí)間都不會(huì)超過三小時(shí)(1)求甲、乙兩人所付租車費(fèi)用相同的概率;(2)設(shè)甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用之和為隨機(jī)變量,求的分布列與數(shù)學(xué)期望E.審題導(dǎo)引(1)把事件“甲、乙兩人所付租車費(fèi)用相同”分解為三個(gè)互斥事件:租車費(fèi)用為2元、租車費(fèi)用為4元、租車費(fèi)用為6元,分別求其概率,然后求和;(2)甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用之和可能為4元、6元、8元、10元、12元,分別求出取上述各值的概率即可得到其概率分布列規(guī)范解答(1)甲、乙兩人所付費(fèi)用相同即為2,4,6元都付2元的概率為P1;都付4元的概率為P2;都付6元的概率為P3;故所付費(fèi)用相同的概率為PP1P2P3.(2)依題意,的可能取值為4,

11、6,8,10,12.P(4);P(6);P(8);P(10);P(12).故的分布列為4681012P所求數(shù)學(xué)期望E4681012【規(guī)律總結(jié)】解答離散型隨機(jī)變量的分布列及相關(guān)問題的一般思路(1)明確隨機(jī)變量可能取哪些值(2)結(jié)合事件特點(diǎn)選取恰當(dāng)?shù)挠?jì)算方法計(jì)算這些可能取值的概率值(3)根據(jù)分布列和期望、方差公式求解注意解題中要善于透過問題的實(shí)際背景發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)學(xué)規(guī)律,以便使用我們掌握的離散型隨機(jī)變量及其分布列的知識(shí)來解決實(shí)際問題【變式訓(xùn)練】5(2012西城二模)甲、乙兩人參加某種選拔測試在備選的10道題中,甲答對(duì)其中每道題的概率都是,乙能答對(duì)其中的5道題規(guī)定每次考試都從備選的10道題中隨機(jī)抽出3

12、道題進(jìn)行測試,答對(duì)一題加10分,答錯(cuò)一題(不答視為答錯(cuò))減5分,至少得15分才能入選(1)求乙得分的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)求甲、乙兩人中至少有一人入選的概率解析(1)設(shè)乙答題所得分?jǐn)?shù)為X,則X的可能取值為15,0,15,30.P(X15);P(X0);P(X15);P(X30).乙得分的分布列如下:X1501530PEX(15)01530.(2)由已知甲、乙至少答對(duì)2題才能入選,記甲入選為事件A,乙入選為事件B.則P(A)C23,P(B).故甲乙兩人至少有一人入選的概率P1P()1.名師押題高考【押題1】在不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi),點(diǎn)(x,y)落在x1,2區(qū)域內(nèi)的概率是_解析如圖所示,不等

13、式組所表示的平面區(qū)域的面積是,在這個(gè)區(qū)域中,x1,2區(qū)域的面積是1,故所求的概率是.答案押題依據(jù)幾何概型與線性規(guī)劃問題都是高考的熱點(diǎn),二者結(jié)合命題,立意新穎、內(nèi)涵豐富,能夠很好地考查基礎(chǔ)知識(shí)與基本能力,故押此題【押題2】乒乓球單打比賽在甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員間進(jìn)行,比賽采用7局4勝制(即先勝4局者獲勝,比賽結(jié)束),假設(shè)兩人在每一局比賽中獲勝的可能性相同(1)求甲以4比1獲勝的概率;(2)求乙獲勝且比賽局?jǐn)?shù)多于5局的概率;(3)求比賽局?jǐn)?shù)的分布列解析(1)由已知,甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員在每一局比賽中獲勝的概率都是.記“甲以4比1獲勝”為事件A,則P(A)C343.(2)記“乙獲勝且比賽局?jǐn)?shù)多于5局”為事件B.因?yàn)?,乙?比2獲勝的概率為P1C353,乙以4比3獲勝的概率為P2C363,所以P(B)P1P2.(3)設(shè)比賽的局?jǐn)?shù)為X,則X的可能取值為4,5,6,7.P(X4)2C4,P(X5)2C343,P(X6)2C352,P(X7)2C363.比賽局?jǐn)?shù)的分布列為:X4567P押題依據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)以相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的求解是高考的熱點(diǎn),而且以比賽為模型的概率問題又是高考的經(jīng)典題型,故押此題 - 9 -

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