2021屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題四 第3講空間向量與立體幾何教案

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1、第3講空間向量與立體幾何自主學(xué)習(xí)導(dǎo)引真題感悟1(2012陜西)如圖所示,在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱ABCA1B1C1,CACC12CB,則直線(xiàn)BC1與直線(xiàn)AB1夾角的余弦值為A.B.C.D.解析利用向量法求解不妨令CB1,則CACC12.可得O(0,0,0),B(0,0,1),C1(0,2,0),A(2,0,0),B1(0,2,1),(0,2,1),(2,2,1),cos,0.與的夾角即為直線(xiàn)BC1與直線(xiàn)AB1的夾角,直線(xiàn)BC1與直線(xiàn)AB1夾角的余弦值為.答案A2(2012遼寧)如圖,直三棱柱ABCABC,BAC90,ABACAA,點(diǎn)M,N分別為AB和BC的中點(diǎn)(1)證明:MN平面AACC;

2、(2)若二面角AMNC為直二面角,求的值解析(1)證明證法一連接AB,AC,由已知BAC90,ABAC,三棱柱ABCABC為直三棱柱,所以M為AB的中點(diǎn)又因?yàn)镹為BC的中點(diǎn),所以MNAC.又MN平面AACC,AC平面AACC,因此MN平面AACC.證法二取AB的中點(diǎn)P,連接MP,NP.而M,N分別為AB與BC的中點(diǎn),所以MPAA,PNAC,所以MP平面AACC,PN平面AACC.又MPNPP,因此平面MPN平面AACC.而MN平面MPN,所以MN平面AACC.(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以直線(xiàn)AB,AC,AA為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,如圖所示設(shè)AA1,則ABAC,于是A(0,

3、0,0),B(,0,0),C(0,0),A(0,0,1),B(,0,1),C(0,1),所以M,N.設(shè)m(x1,y1,z1)是平面AMN的法向量,由得可取m(1,1,)設(shè)n(x2,y2,z2)是平面MNC的法向量,由得可取n(3,1,)因?yàn)锳MNC為直二面角,所以mn0.即3(1)(1)20,解得(負(fù)值舍去)考題分析應(yīng)用空間向量解決立體幾何問(wèn)題是高考的必考考點(diǎn),空間向量的工具性主要體現(xiàn)在平行與垂直的判定,求空間的角的大小解題時(shí)要特別注意避免計(jì)算失誤網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建高頻考點(diǎn)突破考點(diǎn)一:利用向量證明平行與垂直【例1】如圖所示,在底面是矩形的四棱錐PABCD中,PA底面ABCD,E、F分別是PC、PD的中點(diǎn)

4、,PAAB1,BC2.求證:(1)EF平面PAB;(2)平面PAD平面PDC.審題導(dǎo)引建立空間直角坐標(biāo)系后,使用向量的共線(xiàn)定理證明即可證明第(1)問(wèn),第(2)問(wèn)根據(jù)向量的垂直關(guān)系證明線(xiàn)線(xiàn)垂直,進(jìn)而證明線(xiàn)面垂直,得出面面垂直規(guī)范解答以A為原點(diǎn),AB、AD、AP所在直線(xiàn)分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,則A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),P(0,0,1),所以E為,F(xiàn)為,(1,0,1),(0,2,1),(0,0,1),(0,2,0),(1,0,0),(1,0,0)(1)因?yàn)?,所以,即EFAB.又AB平面PAB,EF平面PAB,所以EF平面PA

5、B.(2)因?yàn)?0,0,1)(1,0,0)0,(0,2,0)(1,0,0)0,所以,即APDC,ADDC.又APADA,AP平面PAD,AD平面PAD,所以DC平面PAD.因?yàn)镈C平面PDC,所以平面PAD平面PDC.【規(guī)律總結(jié)】用空間向量證明位置關(guān)系的方法(1)線(xiàn)線(xiàn)平行:欲證直線(xiàn)與直線(xiàn)平行,只要證明它們的方向向量平行即可;(2)線(xiàn)面平行:用線(xiàn)面平行的判定定理,證明直線(xiàn)的方向向量與平面內(nèi)一條直線(xiàn)的方向向量平行;用共面向量定理,證明平面外直線(xiàn)的方向向量與平面內(nèi)兩相交直線(xiàn)的方向向量共面;證明直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量垂直;(3)面面平行:平面與平面的平行,除了用線(xiàn)面平行的判定定理轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面平行外

6、,只要證明兩平面的法向量平行即可;(4)線(xiàn)線(xiàn)垂直:直線(xiàn)與直線(xiàn)的垂直,只要證明兩直線(xiàn)的方向向量垂直;(5)線(xiàn)面垂直:用線(xiàn)面垂直的定義,證明直線(xiàn)的方向向量與平面內(nèi)的任意一條直線(xiàn)的方向向量垂直;用線(xiàn)面垂直的判定定理,證明直線(xiàn)的方向向量與平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)的方向向量垂直;證明直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量平行;(6)面面垂直:平面與平面的垂直,除了用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面垂直外,只要證明兩平面的法向量垂直即可【變式訓(xùn)練】1如圖所示,在底面是正方形的四棱錐PABCD中,PA平面ABCD,BD交AC于點(diǎn)E,F(xiàn)是PC的中點(diǎn),G為AC上一點(diǎn)(1)求證:BDFG;(2)確定點(diǎn)G在線(xiàn)段AC上的位置,使FG平

7、面PBD,并說(shuō)明理由解析(1)證明以A為原點(diǎn),AB、BD、PA所在的直線(xiàn)分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,如圖所示,設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,則A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),設(shè)P(0,0,a)(a0),G(m,m,0)(0m),則E,F(xiàn).(1)(1,1,0),mm00,所以BDFG.(2)要使FG平面PBD,只需FGEP,而,由,可得解得所以G,所以.故當(dāng)AGAC時(shí),F(xiàn)G平面PBD.考點(diǎn)二:利用向量求線(xiàn)線(xiàn)角、線(xiàn)面角【例2】如圖所示,在四棱錐PABCD中,底面ABCD是矩形,PA平面ABCD,PAAD2,AB1,BMPD于點(diǎn)M.(1)

8、求證:AMPD;(2)求直線(xiàn)CD與平面ACM所成角的余弦值審題導(dǎo)引建立坐標(biāo)系,求出平面ACM的法向量,利用向量法求直線(xiàn)CD與平面ACM所成角的余弦值規(guī)范解答(1)證明PA平面ABCD,AB平面ABCD,PAAB.ABAD,ADPAA,AD平面PAD,PA平面PAD,AB平面PAD.PD平面PAD,ABPD.BMPD,ABBMB,AB平面ABM,BM平面ABM,PD平面ABM.AM平面ABM,AMPD.(2)如圖所示,建立直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),(1,0,0),設(shè)M(0,y0,z0),(0,y0,z0),P(0,0,2),(0,2,2),(0,y0,z

9、02),由,得2y02z00,即y0z0,又,2y02(z02),即y0z02,解方程組得y0z01,即M(0,1,1),設(shè)平面ACM的法向量為n(x,y,z),則令z1,得n(2,1,1),cos ,n,直線(xiàn)CD與平面ACM成角的余弦值為 .【規(guī)律總結(jié)】向量法求線(xiàn)線(xiàn)角、線(xiàn)面角的注意事項(xiàng)(1)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,根據(jù)對(duì)稱(chēng)性原則,使盡可能多的點(diǎn)在坐標(biāo)軸,易于求各點(diǎn)的坐標(biāo);(2)求直線(xiàn)與平面所成的角,主要通過(guò)直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量的夾角求得,即sin |cos |.【變式訓(xùn)練】2(2012山西四校模擬)在三棱錐MABC中,AB2AC2,MAMB,AB4AN,ABAC,平面MAB平面ABC,

10、S為BC的中點(diǎn)(1)證明:CMSN;(2)求SN與平面CMN所成角的大小解析(1)證明取AB的中點(diǎn)O,連接MO,CO,SO,MOAB,平面MAB平面ABC,MO平面ABC,又ACAB,OSAC,OSAB,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OB為x軸,OS為y軸,OM為z軸建立空間直角坐標(biāo)系則C(1,1,0),M,N,S,所以,故0,即CMSN.(2)由(1)知,設(shè)平面CMN的法向量為n(x,y,z),則,得,令x2,則得平面CMN的一個(gè)法向量為n(2,1,2),則|cosn,|,所以SN與平面SMN所成角為.考點(diǎn)三:利用向量求二面角【例3】(2012泉州模擬)如圖,在直三棱柱ABCA1B1C1中,底面ABC為等

11、腰直角三角形,B90,D為棱BB1上一點(diǎn),且面DA1C面AA1C1C(1)求證:D為棱BB1的中點(diǎn);(2)為何值時(shí),二面角AA1DC的平面角為60?審題導(dǎo)引(1)取AC的中點(diǎn)F,A1C的中點(diǎn)E,利用BDEF證明;(2)以D為原點(diǎn)建系,設(shè)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),利用公式求解規(guī)范解答(1)證明過(guò)點(diǎn)D作DEA1C于E點(diǎn),取AC的中點(diǎn)F,連BF、EF.面DA1C面AA1C1C且相交于A1C,面DA1C內(nèi)的直線(xiàn)DEA1C,直線(xiàn)DE面AA1C1C.又面BAC面AA1C1C且相交于AC,易知BFAC,BF面AA1C1C.由此知:DEBF,從而有D,E,F(xiàn),B共面,又易知BB1面AA1C1C,故有DBEF,從而有EF

12、AA1,又點(diǎn)F是AC的中點(diǎn),所以DBEFAA1BB1,D點(diǎn)為棱BB1的中點(diǎn)(2)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,設(shè)AA12b,ABBCa,則D(0,0,b),A1(a,0,2b),C(0,a,0),所以,(a,0,b),(0,a,b),設(shè)面DA1C的法向量為n(x,y,z),則,可取n(b,b,a),又可取平面AA1DB的法向量m(0,a,0),cosn,m,據(jù)題意有:,解得:.【規(guī)律總結(jié)】利用向量求二面角的注意事項(xiàng)(1)兩平面的法向量的夾角不一定就是所求的二面角,有可能兩法向量夾角的補(bǔ)角為所求(2)求平面的法向量的方法:待定系數(shù)法:設(shè)出法向量坐標(biāo),利用垂直關(guān)系建立坐標(biāo)的方程解之先確定平面的垂線(xiàn),然

13、后取相關(guān)線(xiàn)段對(duì)應(yīng)的向量,即確定了平面的法向量當(dāng)平面的垂線(xiàn)較易確定時(shí),??紤]此方法【變式訓(xùn)練】3(2012北京東城二模)如圖,矩形AMND所在的平面與直角梯形MBCN所在的平面互相垂直,MBNC,MNMB,且MCCB,BC2,MB4,DN3.(1)求證:AB平面DNC;(2)求二面角DBCN的余弦值解析(1)證明因?yàn)镸BNC,MB平面DNC,NC平面DNC,所以MB平面DNC.因?yàn)锳MND為矩形,所以MADN.又MA平面DNC,DN平面DNC,所以MA平面DNC.又MAMBM,且MA,MB平面AMB,所以平面AMB平面DNC.又AB平面AMB,所以AB平面DNC.(2)由已知平面AMND平面MB

14、CN,且平面AMND平面MBCNMN,DNMN,所以DN平面MBCN,又MNNC,故以點(diǎn)N為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系Nxyz.由已知得MC2,MCN30,易得MN,NC3.則D(0,0,3),C(0,3,0),B(,4,0)(0,3,3),(,1,0)設(shè)平面DBC的法向量n1(x,y,z),則即令x1,則y,z.所以n1(1,)又n2(0,0,1)是平面NBC的一個(gè)法向量,所以cosn1,n2.故所求二面角DBCN的余弦值為.名師押題高考【押題1】如圖,已知三棱柱ABCA1B1C1的各條棱長(zhǎng)都相等,且CC1底面ABC,M是側(cè)棱CC1的中點(diǎn),則異面直線(xiàn)AB1和BM所成的角為A.B.C. D.

15、解析由題意可知該三棱柱為正三棱柱,設(shè)其棱長(zhǎng)為2,a,b,c,則|a|b|c|2,且a,c,a,bb,c,所以ac22cos 2,abbc0.而ba,cb,所以(ba)bcb2acab0,故,即異面直線(xiàn)AB1與BM所成的角為.答案A押題依據(jù)空間向量與立體幾何相結(jié)合是高考的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題,空間向量在高考試題中的出現(xiàn)主要體現(xiàn)其工具性,獨(dú)立命題的可能性很小,一般用以解決立體幾何中的線(xiàn)面位置關(guān)系的證明,求空間角的大小及空間的距離【押題2】在四棱錐PABCD中,側(cè)面PCD底面ABCD,PDCD,底面ABCD是直角梯形,ABCD,ADC90,ABADPD1,CD2.(1)求證:BC平面PBD;(2)設(shè)E為側(cè)棱

16、PC上一點(diǎn),試確定的值,使得二面角EBDP的大小為45.解析(1)證明因?yàn)閭?cè)面PCD底面ABCD,PDCD,所以PD底面ABCD,所以PDAD.又因?yàn)锳DC90,即ADCD,以D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),P(0,0,1),所以(1,1,0),(1,1,0)所以0,所以BCDB.由PD底面ABCD,可得PDBC,又因?yàn)镻DDBD,所以BC平面PBD.(2)由(1)知平面PBD的一個(gè)法向量為(1,1,0),且P(0,0,1),C(0,2,0),所以(0,2,1),又,所以E(0,2,1),(0,2,1)設(shè)平面EBD的法向量為n(a,b,c),因?yàn)?1,1,0),由n0,n0,得,令a1,則可得平面EBD的一個(gè)法向量為n,所以cos ,解得1或1,又由題意知(0,1),故1.押題依據(jù)高考對(duì)立體幾何的考查,主要以柱體、錐體或其組合體為載體,考查線(xiàn)面位置關(guān)系的判定與證明,求空間角的大小等,但有時(shí)也會(huì)給出位置關(guān)系或角的大小,求使其成立的充分條件,即所謂的探索性問(wèn)題,此類(lèi)問(wèn)題利用空間向量解決則更加方便本題立意新穎,考查全面,難度適中,故押此題 - 12 -

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