廣西2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 考點(diǎn)規(guī)范練16 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 文

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1、考點(diǎn)規(guī)范練16導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用一、基礎(chǔ)鞏固1.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-23與x=1處都取得極值.(1)求a,b的值及函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若對(duì)于x-1,2,不等式f(x)c2恒成立,求c的取值范圍.解(1)f(x)=x3+ax2+bx+c,f(x)=3x2+2ax+b.又f(x)在x=-23與x=1處都取得極值,f-23=129-43a+b=0,f(1)=3+2a+b=0,兩式聯(lián)立解得a=-12,b=-2,f(x)=x3-12x2-2x+c,f(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),令f(x)=0,得x1=-23,x2=1,當(dāng)x變化時(shí),f(x),f(x)的

2、變化情況如下表:x-,-23-23-23,11(1,+)f(x)+0-0+f(x)極大值極小值函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間為-,-23與(1,+);遞減區(qū)間為-23,1.(2)f(x)=x3-12x2-2x+c,x-1,2,當(dāng)x=-23時(shí),f-23=2227+c為極大值,而f(2)=2+c,則f(2)=2+c為最大值,要使f(x)f(2)=2+c,解得c2.c的取值范圍為(-,-1)(2,+).2.設(shè)函數(shù)f(x)=ax2-a-ln x,g(x)=1x-eex,其中aR,e=2.718為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)證明:當(dāng)x1時(shí),g(x)0;(3)確定a的所有可能取值,使得f(x

3、)g(x)在區(qū)間(1,+)內(nèi)恒成立.(1)解f(x)=2ax-1x=2ax2-1x(x0).當(dāng)a0時(shí),f(x)0時(shí),由f(x)=0有x=12a.當(dāng)x0,12a時(shí),f(x)0,f(x)單調(diào)遞增.(2)證明令s(x)=ex-1-x,則s(x)=ex-1-1.當(dāng)x1時(shí),s(x)0,所以ex-1x,從而g(x)=1x-1ex-10.(3)解由(2),當(dāng)x1時(shí),g(x)0.當(dāng)a0,x1時(shí),f(x)=a(x2-1)-lnxg(x)在區(qū)間(1,+)內(nèi)恒成立時(shí),必有a0.當(dāng)0a1.由(1)有f12a0,所以此時(shí)f(x)g(x)在區(qū)間(1,+)內(nèi)不恒成立.當(dāng)a12時(shí),令h(x)=f(x)-g(x)(x1).當(dāng)x

4、1時(shí),h(x)=2ax-1x+1x2-e1-xx-1x+1x2-1x=x3-2x+1x2x2-2x+1x20.因此,h(x)在區(qū)間(1,+)內(nèi)單調(diào)遞增.又因?yàn)閔(1)=0,所以當(dāng)x1時(shí),h(x)=f(x)-g(x)0,即f(x)g(x)恒成立.綜上,a12,+.3.已知函數(shù)f(x)=(x-k)ex+k,kZ.(1)當(dāng)k=0時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若當(dāng)x(0,+)時(shí),不等式f(x)+50恒成立,求k的最大值.解(1)當(dāng)k=0時(shí),f(x)=xex,f(x)=ex+xex=ex(x+1),當(dāng)x(-,-1)時(shí),f(x)0;f(x)在(-,-1)內(nèi)是減函數(shù),在(-1,+)內(nèi)是增函數(shù).(2)不

5、等式f(x)+50恒成立(x-k)ex+k+50在x(0,+)時(shí)恒成立,令F(x)=(x-k)ex+k+5,F(x)=ex(x-k+1)(xR),當(dāng)x(-,k-1)時(shí),f(x)0;f(x)在(-,k-1)內(nèi)是減函數(shù),在(k-1,+)內(nèi)是增函數(shù).若k-10,即k1,當(dāng)x(0,+)時(shí),F(x)F(0)0.而F(0)=50恒成立,k1符合題意.若k-10,即k1,當(dāng)x(0,+)時(shí),只需F(x)min=F(k-1)=-ek-1+5+k0即可.令h(k)=-ek-1+5+k,h(k)=1-ek-10,h(3)=-e2+80,h(4)=-e3+90,1k3,綜上,k的最大值為3.4.已知函數(shù)f(x)=ln

6、 x+ax2+(2a+1)x.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)當(dāng)a0,故f(x)在(0,+)單調(diào)遞增.若a0;當(dāng)x-12a,+時(shí),f(x)0.故f(x)在區(qū)間0,-12a內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間-12a,+內(nèi)單調(diào)遞減.(2)證明由(1)知,當(dāng)a0;當(dāng)x(1,+)時(shí),g(x)0時(shí),g(x)0.從而當(dāng)a0時(shí),ln-12a+12a+10,即f(x)-34a-2.二、能力提升5.設(shè)函數(shù)f(x)=(1-x2)ex.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)當(dāng)x0時(shí),f(x)ax+1,求a的取值范圍.解(1)f(x)=(1-2x-x2)ex.令f(x)=0得x=-1-2,x=-1+2.當(dāng)x(-,-1-2)時(shí),f(x)

7、0;當(dāng)x(-1+2,+)時(shí),f(x)0.所以f(x)在(-,-1-2),(-1+2,+)內(nèi)單調(diào)遞減,在(-1-2,-1+2)內(nèi)單調(diào)遞增.(2)f(x)=(1+x)(1-x)ex.當(dāng)a1時(shí),設(shè)函數(shù)h(x)=(1-x)ex,h(x)=-xex0),因此h(x)在0,+)內(nèi)單調(diào)遞減,而h(0)=1,故h(x)1,所以f(x)=(x+1)h(x)x+1ax+1.當(dāng)0a0(x0),所以g(x)在0,+)內(nèi)單調(diào)遞增,而g(0)=0,故exx+1.當(dāng)0x(1-x)(1+x)2,(1-x)(1+x)2-ax-1=x(1-a-x-x2),取x0=5-4a-12,則x0(0,1),(1-x0)(1+x0)2-ax

8、0-1=0,故f(x0)ax0+1.當(dāng)a0時(shí),取x0=5-12,則x0(0,1),f(x0)(1-x0)(1+x0)2=1ax0+1.綜上,a的取值范圍是1,+).6.(2018全國(guó),文21)已知函數(shù)f(x)=13x3-a(x2+x+1).(1)若a=3,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)證明:f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).(1)解當(dāng)a=3時(shí),f(x)=13x3-3x2-3x-3,f(x)=x2-6x-3.令f(x)=0,解得x=3-23或x=3+23.當(dāng)x(-,3-23)(3+23,+)時(shí),f(x)0;當(dāng)x(3-23,3+23)時(shí),f(x)0,所以f(x)=0等價(jià)于x3x2+x+1-3a=0.設(shè)g(x)=

9、x3x2+x+1-3a,則g(x)=x2(x2+2x+3)(x2+x+1)20,僅當(dāng)x=0時(shí)g(x)=0,所以g(x)在(-,+)單調(diào)遞增,故g(x)至多有一個(gè)零點(diǎn),從而f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn).又f(3a-1)=-6a2+2a-13=-6a-162-160,故f(x)有一個(gè)零點(diǎn).綜上,f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).7.(2018廣東茂名二模)已知函數(shù)f(x)=ln x+12(x-1)2.(1)判斷f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù);(2)若函數(shù)g(x)=ax-a,當(dāng)x1時(shí),g(x)的圖象總在f(x)的圖象的下方,求a的取值范圍.解(1)f(x)=lnx+12(x-1)2的定義域?yàn)?0,+),f(x)=1x+x-1,1

10、x+x2,f(x)10,f(x)在(0,+)上為增函數(shù),又f(1)=0,f(x)在(0,+)上只有一個(gè)零點(diǎn).(2)由題意,當(dāng)x1時(shí),12(x-1)2+lnx-ax+a0恒成立.令h(x)=12(x-1)2+lnx-ax+a,則h(x)=x+1x-1-a.當(dāng)a1時(shí),h(x)=x+1x-1-a1-a0,h(x)在(1,+)上為增函數(shù).又h(1)=0,h(x)0恒成立.當(dāng)a1時(shí),h(x)=x2-(1+a)x+1x,令(x)=x2-(1+a)x+1,則=(1+a)2-4=(a+3)(a-1)0.令(x)=0的兩根分別為x1,x2且x10,x1x2=10,0x11x2,當(dāng)x(1,x2)時(shí),(x)0,h(

11、x)0,h(x)在(1,x2)上為減函數(shù),又h(1)=0,當(dāng)x(1,x2)時(shí),h(x)0.故a的取值范圍為(-,1.三、高考預(yù)測(cè)8.(2018河北石家莊一模)已知函數(shù)f(x)=x(ln x-ax)(aR).(1)若a=1,求函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程;(2)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,且x1-12.(1)解由已知,f(x)=x(lnx-x),當(dāng)x=1時(shí),f(x)=-1,f(x)=lnx+1-2x,當(dāng)x=1時(shí),f(x)=-1,所以所求切線方程為x+y=0.(2)證明由已知可得f(x)=lnx+1-2ax=0有兩個(gè)相異實(shí)根x1,x2,令h(x)=f(x),則h(x)=1x-2a,若a0,則h(x)0,h(x)單調(diào)遞增,f(x)=0不可能有兩根;若a0,令h(x)=0得x=12a,可知h(x)在0,12a上單調(diào)遞增,在12a,+上單調(diào)遞減,令f12a0,解得0a12,由1e12a有f1e=-2ae12a有f1a2=-2lna+1-2a0,從而當(dāng)0a0,所以x11f(1)=-a-12.8