04第四章幾個(gè)初等函數(shù)的性質(zhì)【講義】

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1、04第四章 幾個(gè)初等函數(shù)的性質(zhì)【講義】第四章 幾個(gè)初等函數(shù)的性質(zhì)一、基礎(chǔ)知識(shí)1指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì):形如y=ax(a0, a1)的函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù),其定義域?yàn)镽,值域?yàn)椋?,+),當(dāng)0a1時(shí),y=ax為增函數(shù),它的圖象恒過定點(diǎn)(0,1)。2分?jǐn)?shù)指數(shù)冪:。3對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì):形如y=logax(a0, a1)的函數(shù)叫做對數(shù)函數(shù),其定義域?yàn)椋?,+),值域?yàn)镽,圖象過定點(diǎn)(1,0)。當(dāng)0a1時(shí),y=logax為增函數(shù)。4對數(shù)的性質(zhì)(M0, N0);1)ax=Mx=logaM(a0, a1);2)loga(MN)= loga M+ loga N;3)loga()= loga M- loga N;4)lo

2、ga Mn=n loga M;,5)loga =loga M;6)aloga M=M; 7) loga b=(a,b,c0, a, c1).5. 函數(shù)y=x+(a0)的單調(diào)遞增區(qū)間是和,單調(diào)遞減區(qū)間為和。(請讀者自己用定義證明)6連續(xù)函數(shù)的性質(zhì):若ab, f(x)在a, b上連續(xù),且f(a)f(b)0.【證明】 設(shè)f(x)=(b+c)x+bc+1 (x(-1, 1),則f(x)是關(guān)于x的一次函數(shù)。所以要證原不等式成立,只需證f(-1)0且f(1)0(因?yàn)?1a0,f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)0,所以f(a)0,即ab+bc+ca+10.例2 (柯西不等式)若a1, a2,a

3、n是不全為0的實(shí)數(shù),b1, b2,bnR,則()()()2,等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)存在R,使ai=, i=1, 2, , n時(shí)成立?!咀C明】 令f(x)= ()x2-2()x+=,因?yàn)?,且對任意xR, f(x)0,所以=4()-4()()0.展開得()()()2。等號(hào)成立等價(jià)于f(x)=0有實(shí)根,即存在,使ai=, i=1, 2, , n。例3 設(shè)x, yR+, x+y=c, c為常數(shù)且c(0, 2,求u=的最小值?!窘狻縰=xy+xy+2=xy+2.令xy=t,則0t=xy,設(shè)f(t)=t+,0t因?yàn)?c2,所以00,所以=例5 對于正整數(shù)a, b, c(abc)和實(shí)數(shù)x, y, z, w,若ax=

4、by=cz=70w,且,求證:a+b=c.【證明】 由ax=by=cz=70w取常用對數(shù)得xlga=ylgb=zlgc=wlg70.所以lga=lg70, lgb=lg70, lgc=lg70,相加得(lga+lgb+lgc)=lg70,由題設(shè),所以lga+lgb+lgc=lg70,所以lgabc=lg70.所以abc=70=257.若a=1,則因?yàn)閤lga=wlg70,所以w=0與題設(shè)矛盾,所以a1.又abc,且a, b, c為70的正約數(shù),所以只有a=2, b=5, c=7.所以a+b=c.例6 已知x1, ac1, a1, c1. 且logax+logcx=2logbx,求證c2=(ac

5、)logab.【證明】 由題設(shè)logax+logcx=2logbx,化為以a為底的對數(shù),得,因?yàn)閍c0, ac1,所以logab=logacc2,所以c2=(ac)logab.注:指數(shù)與對數(shù)式互化,取對數(shù),換元,換底公式往往是解題的橋梁。3指數(shù)與對數(shù)方程的解法。解此類方程的主要思想是通過指對數(shù)的運(yùn)算和換元等進(jìn)行化簡求解。值得注意的是函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用和未知數(shù)范圍的討論。例7 解方程:3x+4 x +5 x =6 x.【解】 方程可化為=1。設(shè)f(x)= , 則f(x)在(-,+)上是減函數(shù),因?yàn)閒(3)=1,所以方程只有一個(gè)解x=3.例8 解方程組:(其中x, yR+).【解】 兩邊取對數(shù),則原

6、方程組可化為 把代入得(x+y)2lgx=36lgx,所以(x+y)2-36lgx=0.由lgx=0得x=1,由(x+y)2-36=0(x, yR+)得x+y=6,代入得lgx=2lgy,即x=y2,所以y2+y-6=0.又y0,所以y=2, x=4.所以方程組的解為 .例9 已知a0, a1,試求使方程loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的k的取值范圍?!窘狻坑蓪?shù)性質(zhì)知,原方程的解x應(yīng)滿足.若、同時(shí)成立,則必成立,故只需解. 由可得2kx=a(1+k2), 當(dāng)k=0時(shí),無解;當(dāng)k0時(shí),的解是x=,代入得k.若k1,所以k0,則k21,所以0k1.綜上,當(dāng)k(-,-1) (0,

7、 1)時(shí),原方程有解。三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題1命題p: “(log23)x-(log53)x(log23)-y-(log53)-y”是命題q:“x+y0”的_條件。2如果x1是方程x+lgx=27的根,x2是方程x+10x=27的根,則x1+x2=_.3已知f(x)是定義在R上的增函數(shù),點(diǎn)A(-1,1),B(1,3)在它的圖象上,y=f-1(x)是它的反函數(shù),則不等式|f-1(log2x)|1的解集為_。4若log2a0,則a 取值范圍是_。5命題p: 函數(shù)y=log2在2,+)上是增函數(shù);命題q: 函數(shù)y=log2(ax2-4x+1)的值域?yàn)镽,則p是q的_條件。6若0b0且a1,比較大?。簗log

8、a(1-b)|_|loga(1+b).7已知f(x)=2+log3x, x1, 3,則函數(shù)y=f(x)2+f(x2)的值域?yàn)開。8若x=,則與x最接近的整數(shù)是_。9函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是_。10函數(shù)f(x)=的值域?yàn)開。11設(shè)f(x)=lg1+2x+3 x +(n-1) x +n xa,其中n為給定正整數(shù), n2, aR.若f(x)在x(-,1時(shí)有意義,求a的取值范圍。12當(dāng)a為何值時(shí),方程=2有一解,二解,無解?四、高考水平訓(xùn)練題1函數(shù)f(x)=+lg(x2-1)的定義域是_.2已知不等式x2-logmx0在x時(shí)恒成立,則m的取值范圍是_.3若xx|log2x=2-x,則x2, x, 1從大到

9、小排列是_.4. 若f(x)=ln,則使f(a)+f(b)=_.5. 命題p: 函數(shù)y=log2在2,+)上是增函數(shù);命題q:函數(shù)y=log2(ax2-4x+1)的值域?yàn)镽,則p是q的_條件.6若0b0且a1,比較大?。簗loga(1-b)| _|loga(1+b)|.7已知f(x)=2+log3x, x1, 3,則函數(shù)y=f(x)2+f(x2)的值域?yàn)開.8若x=,則與x最接近的整數(shù)是_.9函數(shù)y=的單調(diào)遞增區(qū)間是_.10函數(shù)f(x)=的值域?yàn)開.11設(shè)f(x)=lg1+2x+3 x +(n-1) x +n xa,其中n為給定正整數(shù),n2,aR。若f(x) 在x(-,1時(shí)有意義,求a的取值范

10、圍。12當(dāng)a為何值時(shí),方程=2有一解,二解,無解?四、高考水平訓(xùn)練題1函數(shù)f(x)=+lg(x2-1)的定義域是_.2已知不等式x2-logmx10, y10, xy=1000,則(lgx)(lgy)的取值范圍是_.7若方程lg(kx)=2lg(x+1)只有一個(gè)實(shí)數(shù)解,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_.8函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)镽,若關(guān)于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,則b, c應(yīng)滿足的充要條件是_.(1)b0;(2)b0且c0;(3)b0且c=0;(4)b0且c=0。9已知f(x)=x, F(x)=f(x+t)-f(x-t)(t0),則F(x)是_函數(shù)(填奇偶性).10已知f

11、(x)=lg,若=1,=2,其中|a|1, |b|1,則f(a)+f(b)=_.11設(shè)aR,試討論關(guān)于x的方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)。12設(shè)f(x)=|lgx|,實(shí)數(shù)a, b滿足0ab, f(a)=f(b)=2f,求證:(1)a4+2a2-4a+1=0, b4-4b3+2b2+1=0;(2)3b0且a1, f(x)=loga(x+)(x1),(1)求f(x)的反函數(shù)f-1(x);(2)若f-1(n) x1 x2 x30,都有l(wèi)og1993+ log1993+ log1993 klog1993恒成立,則k的最大值為_.3實(shí)數(shù)x, y滿足4x2-5xy+4y2

12、=5,設(shè)S=x2+y2,則的值為_.4已知0b1, 000的解集為_.9已知a1, b1,且lg(a+b)=lga+lgb,求lg(a-1)+lg(b-1).10(1)試畫出由方程所確定的函數(shù)y=f(x)圖象。(2)若函數(shù)y=ax+與y=f(x)的圖象恰有一個(gè)公共點(diǎn),求a的取值范圍。11對于任意nN+(n1),試證明:+=log2n+log3n+lognn。六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題1設(shè)x, y, zR+且x+y+z=1,求u=的最小值。2當(dāng)a為何值時(shí),不等式loglog5(x2+ax+6)+loga30有且只有一個(gè)解(a1且a1)。3f(x)是定義在(1,+)上且在(1,+)中取值的函數(shù),滿足條

13、件;對于任何x, y1及u, v0, f(xuyv)f(x)f(y)都成立,試確定所有這樣的函數(shù)f(x).4. 求所有函數(shù)f:RR,使得xf(x)-yf(x)=(x-y)f(x+y)成立。5設(shè)m14是一個(gè)整數(shù),函數(shù)f:NN定義如下:f(n)=,求出所有的m,使得f(1995)=1995.6求定義在有理數(shù)集上且滿足下列條件的所有函數(shù)f:f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)f(y), x, yQ.7是否存在函數(shù)f(n),將自然數(shù)集N映為自身,且對每個(gè)n1, f(n)=f(f(n-1)+f(f(n+1)都成立。8設(shè)p, q是任意自然數(shù),求證:存在這樣的f(x) Z(x)(表示整系數(shù)多項(xiàng)式集合),使對x軸上的某個(gè)長為的開區(qū)間中的每一個(gè)數(shù)x, 有9設(shè),為實(shí)數(shù),求所有f: R+R,使得對任意的x,yR+, f(x)f(y)=y2f成立。 6 / 6

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