雙曲線 題型歸納

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1、三、典型例題選講 （一）考查雙曲線的概念 例1 設?P?是雙曲線 x?2??y?2 - a?2?9  =?1?上一點，雙曲線的一條漸近線方程為3x?-?2?y?=?0?，F(xiàn)?、F 1  2 分別是雙曲線的左、右焦點．若|?PF?|=?3?，則?|?PF?|=?（ ） 1 2 A．1?或?5 B．6 C．7 D．9 分析：根據(jù)標準方程寫出漸近線方程，兩個方程對比求出?a?的值，利用雙曲線的定義求出 |?PF?|?的值． 2 解：Q?雙曲線 x?2??y?2?????????????????

2、?3 -?=?1?漸近線方程為?y=?±??x?，由已知漸近線為?3x?-?2?y?=?0?， a?2?9??????????????????a | \?a?=?±2,\||?PF?|?-?|?PF?||=?4?，\?PF?|=?±4+?|?PF?|?. 1 2 2 1 | Q?|?PF?|=?3, |?PF?|>?0?，\?PF?|=?7?. 1 2 2 故選?C． 歸納小結(jié)：本題考查雙曲線的定義及雙曲線的漸近線方程的表示法． （二）基本量求解 例?2(2009?山東理)設雙曲線 點，則雙曲線的離心率為（ ） x?2?

3、?y?2 - a?2?b?2  =?1?的一條漸近線與拋物線?y?=?x2?+?1?只有一個公共 A． 5 4 5 B．5?????C．????????????D．?5 2 - =?1?的一條漸近線為?y?=?? x?，由方程組?í??? a?? ，消去??y，得 ???y?=?x2?+?1 解析：?雙曲線 ì?b x?2??y?2????????????????????b?????????????y?=?x a?2?b?2?a x?+?1?=?0?有唯一解，所以 ?( x2?-?b b?)2?-?

4、4?=?0?， a a b c a2?+?b2 b 所以 =?2?，?e?= = =?1?+?(?)2?=?5?，故選?D． a a a a 歸納小結(jié)：本題考查了雙曲線的漸近線的方程和離心率的概念，以及直線與拋物線的位置關 系，只有一個公共點，則解方程組有唯一解．本題較好地考查了基本概念、基本方法和基本技能． 1 例?3（2009?全國Ⅰ理）設雙曲線 x2??y?2 - a2?b2  =?1（a＞0，b＞0）的漸近線與拋物線?y=x2+1?相切， 則該雙曲線的離心率等于( ) A.?3 B.2 C.?5 D.?6

5、 x=?x0?=?2?x0??．由題意有????y x 解析：?設切點?P(?x?,?y?)?，則切線的斜率為 y?'?| 0 0 0?=?2?x?．又有 0 0 y?=?x?2?+?1?，聯(lián)立兩式解得:?x?2?=?1,\ 0 0 0 因此選?C． b???????????b =?2,?e?=?1?+?(?)2?=?5?． a???????????a 例?4（2009?江西）設?F?和?F?為雙曲線 1 2 x2??y?2 - a2?b2  =?1?(?a?>?0,?b?>?0?)的兩個焦

6、點，若?F，F(xiàn)?， 1?2 A．??3 P(0,2?b)?是正三角形的三個頂點，則雙曲線的離心率為（ ） 5 B．?2 C． D．3 2 2 6??= 解析：由?tan?p c????3???????????????????????????c =???有?3c2?=?4b2?=?4(c?2?-?a?2?)?，則?e?=??=?2?，故選?B． 2b???3????????????????????????????a 歸納小結(jié)：注意等邊三角形及雙曲線的幾何特征，從而

7、得出?tan 合思想的應用． （三）求曲線的方程 p 6?= c????3 =???，體現(xiàn)數(shù)形結(jié) 2b???3 例?5（2009，北京）已知雙曲線?C?: 為?x?= 3 ． 3 x2??y?2 - a?2?b2 2  =?1(a?>?0,?b?>?0)?的離心率為?3?，右準線方程 ?? （1）求雙曲線?C?的方程； （2）已知直線?x?-?y?+?m?=?0?與雙曲線?C?交于不同的兩點?A，B，且線段?AB?的中點在圓 x2?+?y?2?=?5?上，求?m

8、?的值． （ 分析：（1）由已知條件列出a,?b,?c?的關系，求出雙曲線?C?的方程；?2）將直線與雙曲線方程 聯(lián)立，再由中點坐標公式及點在圓上求出?m?的值． ì?a2 3 = 解：（1）由題意，得?í?c 3?，解得?a?=?1,c?=?3?. ??c?=?3 ???a ∴?b2?=?c2?-?a?2?=?2?，∴所求雙曲線?C?的方程為?x2?- y?2 2  =?1?． （2）設?A、B?兩點的坐標分別為?(x?,?y?),?(x?,?y 1 1 2 2 )?，線段?AB?的中點為?M?(x?,?y

9、?)?， 0?0 ì ??x 由?í  2?- y?2 2  =?1  得?x2?-?2mx?-?m2?-?2?=?0?（判別式?D?>?0?）， 2 ? ??x?+?y?+?m?=?0 ∴?x?=?x1?+?x2?=?m,?y 0  0  =?x?+?m?=?2m?， 0 ∵點?M?(x?,?y 0 0 )在圓?x2?+?y?2?=?5?上， ∴?m2?+?(2m?)2?=?5?，∴?m?=?±1． 另解：設?A、B?兩點的坐標分別為?(x?,?y?

10、),?(x?,?y 1 1 2 2  )?，線段?AB?的中點為?M?(x?,?y?)?， 0?0 ?????1?? 2 由?í????????? ，兩式相減得?(?x?+?x?)(?x?-?x?)?-? (?y??+?y?)(?y??-?y?)?=?0?. ??x??2?-?y2???=?1 2 2 ì y?2 x?2?- 1?=?1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 ???2 2 由直線的斜率為?1，?x??=??x?+?x2?,?y 0??= 1? 2?代入上式，得?y 2????????? 2 0

11、  1 y?+?y  0  =?2?x?. 0 又?M?(?y?,?x?)?在圓上，得?y 0 0  0 2 +?x?2?=?5?，又?M?(?y?,?x?)?在直線上，可求得?m?的值. 0?0?0 歸納小結(jié)：本題主要考查雙曲線的標準方程、圓的切線方程等基礎知識，考查曲線和方程的 關系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運算能力． 3 -??? =?1?于?A?,?B?兩點，若?M?為弦?AB?的中點，求直線 例?6 過?M?(1,1)的直線交雙曲線 x2??y?2 4???2 A

12、B?的方程． 分析：求過定點?M?的直線方程，只需要求出它的斜率．為此可設其斜率是k?，利用?M?為弦 AB?的中點，即可求得?k?的值，由此寫出直線?AB?的方程．也可設出弦的兩端點坐標用“點差法” 求解． 解法一：顯然直線?AB?不垂直于?x?軸，設其斜率是?k?，則方程為?y?-?1?=?k?(?x?-?1)?． ì?x2 y?2 ? - =?1 由?í 4 2  消去?y?得?(1-?2k?2?)?x?2?-?4k?(1-?k?)?x?-?2k?2?+?4k?-?6?=?0  ① ? ??y?-?1?=?k?(?x?-?1)

13、 設?A(?x?y?),?B(?x?,?y?)?，由于?M?為弦?AB?的中點， 1, 1 2 2 所以 x?+?x?2k?(1-?k?)???????????1  1?2?=?=?1，所以?k?=  2????1?-?2k?2?2  ． 1 顯然，當?k?= 時方程①的判別式大于零. 2 1 所以直線?AB?的方程為?y?-?1?= (?x?-?1)?，即?x?-?2?y?+?1?=?0?． 2 解法二：設?A(?x?y?),?B(?x?,?y?)?，則 1, 1 2 2 ????4?? 2 ì?

14、x2 y?2 1?- 1?=?1 í ??x2?-?y2?=?1 ???4 2  ② ③ ①－②得?(?x?-?x?)(?x?+?x?)?-?2(?y?-?y?)(?y?+?y?)?=?0?. 1 2 1 2 1 2 1 2 又因為?x?+?x?=?2,?y?+?y?=?2?，所以?x?-?x?=?2(?y?-?y?)?． 1 2 1 2 1 2 1 2 若?x?=?x?,?則?y?=?y?，由?x?+?x?=?2,?y?+?y?=?2?得?x?=?x?=?1，?y?=?y?=?1?． 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

15、 則點?A、B?都不在雙曲線上，與題設矛盾，所以?x?1?x?． 1 2 所以?k?=?y1?-?y2?= x?-?x 1 2 1 2  ． 所以直線?AB?的方程為?y?-?1?=?1?(?x?-?1)?，即?x?-?2?y?+?1?=?0?． 2 4 ????? 4?? 2 經(jīng)檢驗直線?x?-?2?y?+?1?=?0?符合題意，故所求直線為?x?-?2?y?+?1?=?0?． 2 解法三：設?A（?x，y?），由于?A、B?關于點?M（1，1）對稱，所以?B?的坐標為（?2?-?x，-?y?）， ì x

16、2 y?2 - =?1, 則?í 消去平方項，得?x?-?2?y?+?1?=?0?． ④ ?(2-x)?-?(2?-?y)2?=?1. ?? 4 2 即點?A?的坐標滿足方程④，同理點?B?的坐標也滿足方程④． 故直線?AB?的方程為?x?-?2?y?+?1?=?0?． 歸納總結(jié)：由于雙曲線（拋物線）不是“封閉”的曲線，以定點為中點的弦不一定存在，所 以在求雙曲線（拋物線）中點弦方程時，必須判斷滿足條件的直線是否存在． （四）軌跡問題 例?7 已知點?P?(?x?,?y?)?為雙曲線 1 0 0 x2??y?2 - 8b2?b2 

17、 =?1?（?b?為正常數(shù)）上任一點，?F?為雙曲線的右 2 焦點，過?P?作右準線的垂線，垂足為?A?，連接?F?A?并延長交?y?軸于?P?．求線段?P?P?的中點?P?的 1 2 2 1 2 軌跡?E?的方程． 分析：求軌跡問題有多種方法，如相關點法等，本題注意到點?P?是線段?P?P?的中點，可利 1 2 用相關點法． 3 ????? 2 設?P??x，y），則?í???????????? ，（ ??y?= 0 ??????? 2 8 解：由已知得?F?(3b,0),?A(?b,?y?)?，則直線?F?A?的方程為：?

18、y?=?- 2 0 2 令?x?=?0?得?y?=?9?y?，即?P?(0,9?y?)?． 0 2 0 ì x x?= 0 y?+?9?y 0?=?5?y 0 3?y 0?(?x?-?3b)?． b ì?x?=?2?x ??0 即?í y?代入 ? ??y0?=?5  x?2??y?2???????4?x2???y?2 0?-?0?=?1?得：?- 2 2 2 8b???b????????8b???25b  2  =?1， 即?P?的軌跡?E?的方程為 x2???y?2 -

19、 2 2b??25b  2  =?1?．?(?x???R) 歸納小結(jié)：將幾何特征轉(zhuǎn)化為代數(shù)關系是解析幾何常用方法． 5 （五）突出幾何性質(zhì)的考查 例?8（2006?江西）P?是雙曲線  x2??y?2 -???=?1?的右支上一點，M?，N?分別是圓?(?x?+?5)2?+?y?2?=?4 9??16 和?(?x?-?5)2?+?y?2?=?1?上的點，則?|?PM?|?-?|?PN?|?的最大值為（ ） A.6 B.7 C.8 D.9 解析：雙曲線的兩個焦點?F?(-5,0)?與?F?(5

20、,0)?恰好是兩圓的圓心，欲使?|?PM?|?-?|?PN?|?的值 1 2 最大，當且僅當?|?PM?|?最大且?|?PN?|?最小，由平面幾何性質(zhì)知，點?M?在線段?PF?的延長線上， 1 點?N?是線段?PF?與圓的交點時所求的值最大. 2 此時?|?PM?|?-?|?PN?|=?(?PF?+?2)?-?(?PF?-1)?=?PF?-?PF?+?3?=?9?．因此選?D． 1 2 1 2 9 例?（2009?重慶）已知以原點?O?為中心的雙曲線的一條準線方程為

21、?x?= 5 5  ，離心率?e?=?5?． （1）求該雙曲線的方程； （2）如圖，點?A?的坐標為?(-?5,0)?，?B?是圓?x?2?+?(?y?-?5)?2?=?1?上的點，點?M?在雙曲線右 支上，求?MA?+?MB?的最小值，并求此時?M?點的坐標. 6 （ ； 分析：1）比較基礎，利用所給條件可求得雙曲線的方程（2）利用雙曲線的定義將?MA?、MB 轉(zhuǎn)化為其它線段，再利用不等式的性質(zhì)求解． 解?：（?1?）?由?題?意?可?知?，?雙?曲?線

22、?的?焦?點?在?x?軸?上?，?故?可?設?雙?曲?線?的?方?程?為 x2 y?2 - =?1?(a?>?0,?b?>?0)?，設?c?=?a2?+?b2?，由準線方程為?x?= a?2 b2 由?e?= 5?得?c?=?5?． a 5??a?2???5 = 得????????， 5???c???5 解得?a?=?1,c?= 5?.從而?b?=?2?，\?該雙曲線的方程為?x2?- y?2 4  =?1?. （2）設點?D?的坐標為?(?5,0)?，則點?A、?D?為雙曲線的焦點，

23、 由方程組?í????????? 解得?x?=??????????????????? ． ???y?=?-?x?+???5 則?|?MA?|?-?|?MD?|=?2a?=?2?. | 所以?|?MA?|?+?|?MB?|=?2+?|?MB?|?+?|?MD?≥?2+?|?BD?|?． 因為?B?是圓?x?2?+?(?y?-?5)?2?=?1?上的點， 其圓心為?C?(0,?5)?，半徑為?1， | 故?|?BD?≥|?CD?|?-1?=?10?+?1， | | 從而?|?MA?|?+

24、?|?MB?≥?2+?|?BD?≥?10?+?1?． 當?M?,?B?在線段?CD?上時取等號，此時|?MA?|?+?|?MB?|?的最小值為?10?+?1?． Q?直線?CD?的方程為?y?=?-?x?+?5?，因點?M?在雙曲線右支上，故?x?>?0?． ? ì4?x2?-?y?2?=?4 -?5?+?4?2 4?5?-?4?2 3 3 7 所以?M?點的坐標為?(?-?5?+?4?2?,?4?5?-?4?2?)?． 3 3 歸納小結(jié)：本題綜合考查雙曲線的知識及不等式性質(zhì)，考查推理能力及數(shù)形結(jié)合思想． 8 P