《2012高考數(shù)學(xué) 考前沖刺第二部分方法十一 等價轉(zhuǎn)化思想方法》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2012高考數(shù)學(xué) 考前沖刺第二部分方法十一 等價轉(zhuǎn)化思想方法(7頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、方法十一、等價轉(zhuǎn)化思想方法等價轉(zhuǎn)化是把未知解的問題轉(zhuǎn)化到在已有知識范圍內(nèi)可解的問題的一種重要的思想方法。通過不斷的轉(zhuǎn)化,把不熟悉、不規(guī)范、復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為熟悉、規(guī)范甚至模式法、簡單的問題。歷年高考,等價轉(zhuǎn)化思想無處不見,我們要不斷培養(yǎng)和訓(xùn)練自覺的轉(zhuǎn)化意識,將有利于強化解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)變能力,提高思維能力和技能、技巧。轉(zhuǎn)化有等價轉(zhuǎn)化與非等價轉(zhuǎn)化。等價轉(zhuǎn)化要求轉(zhuǎn)化過程中前因后果是充分必要的,才保證轉(zhuǎn)化后的結(jié)果仍為原問題的結(jié)果。非等價轉(zhuǎn)化其過程是充分或必要的,要對結(jié)論進行必要的修正(如無理方程化有理方程要求驗根),它能給人帶來思維的閃光點,找到解決問題的突破口。我們在應(yīng)用時一定要注意轉(zhuǎn)化的等價性與
2、非等價性的不同要求,實施等價轉(zhuǎn)化時確保其等價性,保證邏輯上的正確。著名的數(shù)學(xué)家,莫斯科大學(xué)教授C.A.雅潔卡婭曾在一次向數(shù)學(xué)奧林匹克參賽者發(fā)表什么叫解題的演講時提出:“解題就是把要解題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解過的題”。數(shù)學(xué)的解題過程,就是從未知向已知、從復(fù)雜到簡單的化歸轉(zhuǎn)換過程。等價轉(zhuǎn)化思想方法的特點是具有靈活性和多樣性。在應(yīng)用等價轉(zhuǎn)化的思想方法去解決數(shù)學(xué)問題時,沒有一個統(tǒng)一的模式去進行。它可以在數(shù)與數(shù)、形與形、數(shù)與形之間進行轉(zhuǎn)換;它可以在宏觀上進行等價轉(zhuǎn)化,如在分析和解決實際問題的過程中,普通語言向數(shù)學(xué)語言的翻譯;它可以在符號系統(tǒng)內(nèi)部實施轉(zhuǎn)換,即所說的恒等變形。消去法、換元法、數(shù)形結(jié)合法、求值求范圍問題
3、等等,都體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化思想,我們更是經(jīng)常在函數(shù)、方程、不等式之間進行等價轉(zhuǎn)化??梢哉f,等價轉(zhuǎn)化是將恒等變形在代數(shù)式方面的形變上升到保持命題的真假不變。由于其多樣性和靈活性,我們要合理地設(shè)計好轉(zhuǎn)化的途徑和方法,避免死搬硬套題型。在數(shù)學(xué)操作中實施等價轉(zhuǎn)化時,我們要遵循熟悉化、簡單化、直觀化、標準化的原則,即把我們遇到的問題,通過轉(zhuǎn)化變成我們比較熟悉的問題來處理;或者將較為繁瑣、復(fù)雜的問題,變成比較簡單的問題,比如從超越式到代數(shù)式、從無理式到有理式、從分式到整式等;或者比較難以解決、比較抽象的問題,轉(zhuǎn)化為比較直觀的問題,以便準確把握問題的求解過程,比如數(shù)形結(jié)合法;或者從非標準型向標準型進行轉(zhuǎn)化。按照
4、這些原則進行數(shù)學(xué)操作,轉(zhuǎn)化過程省時省力,有如順水推舟,經(jīng)常滲透等價轉(zhuǎn)化思想,可以提高解題的水平和能力。例1. 若x、y、zR且xyz1,求(1)( 1)( 1)的最小值?!痉治觥坑梢阎獂yz1而聯(lián)想到,只有將所求式變形為含代數(shù)式xyz,或者運用均值不等式后含xyz的形式。所以,關(guān)鍵是將所求式進行合理的變形,即等價轉(zhuǎn)化?!咀ⅰ繉λ笫竭M行等價變換:先通分,再整理分子,最后拆分。將問題轉(zhuǎn)化為求的最小值,則不難由平均值不等式而進行解決。此題屬于代數(shù)恒等變形題型,即代數(shù)式在形變中保持值不變。例2. 設(shè)x、yR且3x2y6x,求xy的范圍?!痉治觥?設(shè)kxy,再代入消去y,轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程有實數(shù)解時求
5、參數(shù)k范圍的問題。其中要注意隱含條件,即x的范圍?!窘狻坑?x3x2y0得0x2。設(shè)kxy,則ykx,代入已知等式得:x6x2k0 ,即kx3x,其對稱軸為x3。由0x2得k0,4。所以xy的范圍是:0xy4?!玖斫狻?數(shù)形結(jié)合法(轉(zhuǎn)化為解析幾何問題):由3x2y6x得(x1)1,即表示如圖所示橢圓,其一個頂點在坐標原點。xy的范圍就是橢圓上的點到坐標原點的距離的平方。由圖可知最小值是0,距離最大的點是以原點為圓心的圓與橢圓相切的切點。設(shè)圓方程為xyk,代入橢圓中消y得x6x2k0。由判別式368k0得k4,所以xy的范圍是:0xy4?!咀ⅰ勘绢}運用多種方法進行解答,實現(xiàn)了多種角度的轉(zhuǎn)化,聯(lián)系
6、了多個知識點,有助于提高發(fā)散思維能力。此題還可以利用均值換元法進行解答。各種方法的運用,分別將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為了其它問題,屬于問題轉(zhuǎn)換題型。例3. 求值:ctg104cos10 【分析】分析所求值的式子,估計兩條途徑:一是將函數(shù)名化為相同,二是將非特殊角化為特殊角?!窘庖弧縞tg104cos104cos10(基本過程:切化弦通分化同名拆項差化積化同名差化積)【解二】ctg104cos104cos10(基本過程:切化弦通分化同名特值代入積化和差化積)【解三】ctg104cos104cos10(基本過程:切化弦通分化同名拆角80和差角公式)【注】無條件三角求值問題,是高考中常見題型,其變換過程是等價
7、轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn)。此種題型屬于三角變換型。一般對,對于三角恒等變換,需要靈活運用的是同角三角函數(shù)的關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、和差角公式、倍半角公式、和積互化公式以及萬能公式,常用的手段是:切割化弦、拆角、將次與升次、和積互化、異名化同名、異角化同角、化特殊角等等。對此,我們要掌握變換的通法,活用2公式,攻克三角恒等變形的每一道難關(guān)。例4. 已知f(x)tgx,x(0, ),若x、x(0, )且xx,求證:f(x)f(x)f() 【分析】從問題著手進行思考,運用分析法,一步步探求問題成立的充分條件?!咀C明】f(x)f(x)f() tgxtgxtg() 1cos(xx)2cosxcosx 1cosxcosx
8、sinxsinx2cosxcosx cosxcosxsinxsinx1 cos(xx)1 由已知顯然cos(xx)f() SA M 【注】 本題在用分析法證明數(shù)學(xué)問題的過程中,每一步實施的都是等價轉(zhuǎn)化。此種題型屬于分析證明型。 D N C B 例5. 如圖,在三棱錐S-ABC中,S在底面上的射影N位于底面的高CD上,M是側(cè)棱SC上的一點,使截面MAB與底面所成角等于NSC。求證:SC垂直于截面MAB。 【分析】 由三垂線定理容易證明SCAB,再在平面SDNC中利用平面幾何知識證明SCDM。 DCMSCM DMCSNCRt即 SCDM所以SC截面MAB?!咀ⅰ苛Ⅲw幾何中有些問題的證明,可以轉(zhuǎn)化為
9、平面幾何證明來解決,即考慮在一個平面上的證明時運用平面幾何知識。 【專題訓(xùn)練】1. f(x)是R上的奇函數(shù),f(x2)f(x),當(dāng)0x1時,f(x)x,則f(7.5)等于_。 A. 0.5 B. 0.5 C. 1.5 D. 1.52.設(shè)f(x)3x2,則ff(x)等于_。 A. B. 9x8 C. x D. 3. 若m、n、p、qR且mna,pqb,ab0,則mpnq的最大值是_。 A. B. C. D. 4. 如果復(fù)數(shù)z滿足|z|z|2,那么|z1|的最小值為_。 A. 1 B. C. 2 D. 5. 設(shè)橢圓1 (ab0)的半焦距為c,直線l過(0,a)和(b,0),已知原點到l的距離等于c,則橢圓的離心率為_。 A. B. C. D. 6. 已知三棱錐S-ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直,SA5,SB4,SC3,D為AB的中點,E為AC的中點,則四棱錐S-BCED的體積為_。 A. B. 10 C. D. 【簡解】1小題:由已知轉(zhuǎn)化為周期為2,所以f(7.5)f(-0.5)f(0.5),選B;2小題:設(shè)f(x)y,由互為反函數(shù)的值域與定義域的關(guān)系,選C;3小題:由mpnq容易求解,選A;7用心 愛心 專心