2012年高考數(shù)學(xué) 考點39 圓的方程、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

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1、考點39 圓的方程、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系一、選擇題1.(2012廣東高考文科8)在平面直角坐標系xOy中,直線3x+4y-5=0與圓+=4相交A、B兩點,則弦AB的長等于( )A3 B. 2 C. D. 1【解題指南】解決本小題要先利用點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離,然后利用弦長公式求解即可.【解析】選B.由圓心(0,0)到直線3x+4y-5=0的距離為,所以.2.(2012湖北高考文科5)過點P(1,1)的直線,將圓形區(qū)域(x,y)|x2+y24分兩部分,使得這兩部分的面積之差最大,則該直線的方程為( )A.x+y-2=0 B.y-1=0 C.x-y=0 D.x+3y-4=0【

2、解題指南】本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,解答本題的關(guān)鍵是結(jié)合圖象,分析出臨界位置.【解析】選A.如圖, 要是兩部分的面積之差最大,既是使陰影部分的面積最小,也就是弦長AB最短.結(jié)合直線與圓的文置關(guān)系的性質(zhì)知:當直線AB與直線OP垂直時, 弦長AB最短 ,又,所求直線方程為: .3.(2012遼寧高考文科7)將圓平分的直線是( )(A) (B) (C) (D)【解題指南】搞清楚平分圓的直線過圓心,求出圓心坐標,代入驗證即可.【解析】選C. 圓的圓心坐標為(1,2),驗證得C.4.(2012陜西高考理科4)已知圓,是過點的直線,則( )(A) 與相交 (B) 與相切 (C) 與相離 (D)

3、 以上三個選項均有可能【解題指南】首先確定點P與圓C的位置關(guān)系,然后運用數(shù)形結(jié)合法,再確定直線與圓的位置關(guān)系.【解析】選A.解法一:圓C的方程是,點P到圓心C(2,0)的距離是,點P在圓C內(nèi)部,直線與圓C相交.解法二:將點P的坐標代入圓的方程,得:,點P(3,0)在圓內(nèi)。過點P的直線與圓C相交.5.(2012福建高考文科7)直線與圓相交于A,B兩點,則弦AB的長度等于( )ABCD【解題指南】利用弦心距和半徑來求弦長【解析】選B.圓心為原點,到直線的距離為,.6.(2012陜西高考文科6)與(2012陜西高考理科4)相同已知圓,是過點的直線,則( )(A) 與相交 (B) 與相切 (C) 與相

4、離 (D) 以上三個選項均有可能【解題指南】首先確定點P與圓C的位置關(guān)系,然后運用數(shù)形結(jié)合法,再確定直線與圓的位置關(guān)系.【解析】選A.解法一:圓C的方程是,點P到圓心C(2,0)的距離是,點P在圓C內(nèi)部,直線與圓C相交.解法二:將點P的坐標代入圓的方程,得:,點P(3,0)在圓內(nèi)。過點P的直線與圓C相交.7.(2012天津高考理科8)設(shè),若直線與圓相切,則的取值范圍是( ) (A) (B) (C) (D)【解題指南】根據(jù)點到直線的距離、基本不等式、一元二次不等式求解。【解析】選D.因為直線與圓相切,所以d=r,即,令,則,故選D.8.(2012山東高考文科9)圓與圓的位置關(guān)系為( ) (A)內(nèi)

5、切(B)相交(C)外切(D)相離【解題指南】本題考查圓與圓的位置關(guān)系,可以利用幾何法來判斷,即判斷兩圓的圓心距與兩圓半徑和、差的關(guān)系.【解析】選B.圓與圓的圓心距:,兩圓半徑和為5、差為1,所以,所以兩圓相交.9.(2012安徽高考文科9)若直線與圓有公共點,則實數(shù)取值范圍是( )(A) -3 ,-1 (B) -1 , 3 (C) -3 ,1 (D)(- ,-3 U ,+ )【解題指南】直線與圓有公共點,根據(jù)幾何意義可得圓心到直線的距離小于半徑.【解析】選.圓的圓心到直線的距離為 則 二、填空題10.(2012江西高考文科14)過直線x+y-=0上點P作圓x2+y2=1的兩條切線,若兩條切線的

6、夾角是60,則點P的坐標是_.【解題指南】利用已知關(guān)系,求得的長,然后聯(lián)立方程組求得點P坐標.【解析】設(shè)P(x,y),則由已知可得PO(0為原點)與切線的夾角為,則|PO|=2,由可得.【答案】.11.(2012天津高考文科12)設(shè),若直線與x軸相交于點A,與y軸相交于點B,且與圓相交所得弦的長為2,O為坐標原點,則面積的最小值為_ .【解題指南】圓點到直線的距離、半徑、半弦長構(gòu)造直角三角形,得出m,n的等式關(guān)系結(jié)合不等式求解.【解析】如圖所示,在,中,OA=2,AB=1,.【答案】3.12. (2012浙江高考文科17)與(2012浙江高考理科16)相同定義:曲線C上的點到直線l的距離的最小

7、值稱為曲線C到直線的距離,已知曲線C1:y=x2+a到直線:y=x的距離等于曲線C2:x2+(y+4)2=2到直線:y=x的距離,則實數(shù)a=_.【解題指南】利用直線與圓的關(guān)系可得出距離,從而轉(zhuǎn)化為切點到直線間的距離問題,此過程中要注意直線與拋物線相離這一前提條件.【解析】曲線C2:x2+(y+4)2=2到直線:y=x的距離為,對于y=x2+a,故切點為,切點為到直線l:y=x的距離為,解得由消去得,由可得,故【答案】13.(2012北京高考文科9)直線y=x被圓x2+(y-2)2=4截得弦長為_.【解題指南】利用圓心到直線的距離、半弦長與半徑構(gòu)成直角三角形,求弦長.【解析】如圖所示,|CO|=

8、2,圓心C(0,2)到直線y=x的距離,所以弦長為.【答案】.14.(2012江蘇高考12)在平面直角坐標系中,圓的方程為,若直線上至少存在一點,使得以該點為圓心,1為半徑的圓與圓有公共點,則的最大值為 .【解題指南】從圓與圓的位置關(guān)系、點到直線的距離以及直線與圓的位置關(guān)系角度處理.【解析】方法一:設(shè)直線上一點,則圓心距滿足對有解。即有解,所以有。方法二:由題意,C到直線的距離不小于2,.【答案】.三、解答題15.(2012湖南高考理科21)在直角坐標系xOy中,曲線C1的點均在C2:(x-5)2y2=9外,且對C1上任意一點M,M到直線x=2的距離等于該點與圓C2上點的距離的最小值.()求曲

9、線C1的方程;()設(shè)P(x0,y0)(y03)為圓C2外一點,過P作圓C2的兩條切線,分別于曲線C1相交于點A,B和C,D。證明:當P在直線x=4上運動時,四點A,B,C,D的縱坐標之積為定值.【解題指南】本題考查曲線與方程、直線與曲線的位置關(guān)系,考查運算能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學(xué)思想方法.第一問用直接法或定義法求出曲線的方程;第二問設(shè)出切線方程,把直線與曲線方程聯(lián)立,由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到四點縱坐標之積為定值,體現(xiàn)“設(shè)而不求”思想.【解析】()解法1 :設(shè)M的坐標為,由已知得,易知圓上的點位于直線的右側(cè).于是,所以.化簡得曲線的方程為.解法2 :由題設(shè)知,曲線上任意一點M到圓心的距離等于它到直線的距離,因此,曲線是以為焦點,直線為準線的拋物線,故其方程為.()當點P在直線上運動時,P的坐標為,又,則過P且與圓相切得直線的斜率存在且不為0,每條切線都與拋物線有兩個交點,切線方程為.于是整理得 設(shè)過P所作的兩條切線的斜率分別為,則是方程的兩個實根,故 由得 設(shè)四點A,B,C,D的縱坐標分別為,則是方程的兩個實根,所以 同理可得 于是由,三式得.所以,當P在直線上運動時,四點A,B,C,D的縱坐標之積為定值6400.

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