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1、江蘇省金湖縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)高中數(shù)學(xué) 奧賽輔導(dǎo) 二次函數(shù)與方程、不等式基礎(chǔ)知識(shí)：一、二次函數(shù)1 定義：形如yax2bxc(a0)的函數(shù)叫二次函數(shù).2 二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì) a0時(shí)，開口向上 開口方向 a0時(shí)，開口向下 對(duì)稱軸方程 x 自然定義域：R 定義域 指定定義域：Da0y0xx0ya03 圖象 x x4 二次函數(shù)的解析式 一般式：yax2bxc 頂點(diǎn)式：ya(xm)2n，其中(m，n)是二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn) 交點(diǎn)式：ya(xx1)(xx2)，其中x1、x2是一元二次方程ax2bxc0的兩實(shí)根二、二次方程1 當(dāng)f(x)ax2bxc中，f(x)0時(shí)，即得到二次方程 ax2bxc0其解的幾何意義即為二次函
2、數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo).2 根的判別式b24ac0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根，但有兩個(gè)共軛的虛數(shù)根3 根與系數(shù)的關(guān)系(韋達(dá)定理)x1x2，x1x24 二次方程根的分布根的位置圖象位置等價(jià)條件ax2bxc0(a0)若有二根x11，x21則f0 若有二根x1，x2(2，3)則 f0 f0 0 (2，3)三、一元二次不等式y(tǒng)0xy0xa0y0xx0x1 x2一元二次不等式ax2bxc0(或0)的解集，即函數(shù)f(x)ax2bxc的自變量的取值范圍，使其函數(shù)值f(x)0(或0)的自變量的取值范圍. 0 0 0例題：y0x1 選擇填空題 f(x)x2
3、bxc對(duì)任意實(shí)數(shù)t都有f(2t)f(2t)，那么( )A.fffB.fffC.fffD.fff解：由題意，f(x)的圖象關(guān)于直線x2對(duì)稱，且圖象開口向上，畫出示意圖，由圖象知fff，選A x2 已知ylog(x22x)在區(qū)間(，0)上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是( )A.a1B.1a1C.aR且a0D.a1或a1解：由函數(shù)的單調(diào)性的定義知：x在(，0)上增大時(shí)，函數(shù)值y隨之增大，故有以下過程：x: 0ux22x:0故必有0a21 1a1且a0.選B 已知函數(shù)ylog(x26x7)，則y( )A.有最大值沒有最小值B.有最小值沒有最大值C.有最大值也有最小值D.沒有最大值也沒有最小值解： ux26
4、x72，)而定義域要求u0，即u(0，) blog0.5u b(，).選D2 填空題方程x22|x|a(aR)有且僅有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.解：令y1x22|x|，y2a則y1，其函數(shù)圖象如下：思考：a為何(范圍)值時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根？有四個(gè)實(shí)數(shù)根？有三個(gè)實(shí)數(shù)根？關(guān)于x的方程x22ax90的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為、，則(1)2(1)2的最小值是_.解：方程有實(shí)數(shù)根，故4a2490 a3或a3又2a，9 y(1)2(1)2 ()22()22 4a24a16 a3或a3 y8(a3時(shí)取等號(hào)) ymin83 已知函數(shù)yx24ax2a30的圖象與x軸無交點(diǎn)，求關(guān)于x的方程|a1|1的根的范
5、圍.分析：由于圖象與x軸沒有交點(diǎn)， 所以0，解得a的取值范圍 又對(duì)于每一個(gè)a值，原方程都是一元一次方程，但由于a是變化的，可知，x是a的二次函數(shù)，又再轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在有限制的區(qū)間內(nèi)的值域問題.解： yx24ax2a30的圖象與x軸無交點(diǎn)，所以(4a)24(2a30)0解得：2.5a3當(dāng)a(2.5，1時(shí)，方程化為x(a3)(2a) a2a6(當(dāng)a(1，3)時(shí)，方程化為x(a3)aa23a(4，18)綜上所述：x(，18)4 設(shè)a，b為實(shí)常數(shù)，k取任意實(shí)數(shù)時(shí)，函數(shù)y(k2k1)x22(ak)2x(k23akb)的圖象與x軸都交于點(diǎn)A(1，0). 求a、b的值； 若函數(shù)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B，當(dāng)k變
6、化時(shí)，求|AB|的最大值.分析：由A在曲線上，得k的多項(xiàng)式對(duì)k恒成立，即可求的a，b的值.解：由已知條件，點(diǎn)A(1，0)在函數(shù)圖象上，故(k2k1)2(ak)2(k23akb)0整理得：(1a)k(b12a2)0 對(duì)kR，上式恒成立 1a0且b12a20從而a1，b1y(k2k1)x22(k1)2x(k23k1)設(shè)B(，0)，則|AB|1|(k2k1)x2-2(k1)2x(k23k1)0的兩個(gè)根為1、，由韋達(dá)定理1整理得：(1)k2(3)k(1)01時(shí)，得2k0 k01時(shí)， kR， 0即(3)24(1)20得：1且1綜合得：1 21 |AB|1|0，2即|AB|的最大值為2.5 設(shè)實(shí)數(shù)a、b、
7、c滿足a2bc8a70 b2c2bc6a60 求a的取值范圍.分析：如何將含有三個(gè)變量的兩個(gè)方程組成的方程組問題，轉(zhuǎn)化為只含有a的不等式，是解決本題的關(guān)鍵，仔細(xì)分析觀察方程組的特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)可以利用a來表示bc及bc，從而用韋達(dá)定理構(gòu)造出a為變量的一元二次方程，由0建立a的不等式.解：由得：bca28a7 由得：(bc)2a22a1 即bc(a1) 由得b，c為方程x2(a1)x(a28a7)0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，由于b，cR，所以0即：(a1)24(a28a7)0即：a210a90得：1a96 設(shè)二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)，方程f(x)x0的兩個(gè)根x1、x2滿足0x1x2.當(dāng)x(0，x1)時(shí)
8、，證明xf(x)x1；.設(shè)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線xx0對(duì)稱，證明:x0.分析：由于涉及方程根的問題，故需用韋達(dá)定理來分析和解決.證明:.令F(x)f(x)x.因?yàn)閤1、x2是方程f(x)x0的根，得 F(x)a(xx1)(xx2)當(dāng)x(0，x1)時(shí)，由于x1x2，xx10，xx20得(xx1)(xx2)0，又a0，得 F(x)a(xx1)(xx2)0即xf(x).而x1f(x)x1xF(x)x1xa(xx1)(xx2)(x1x)1a(xx2)因?yàn)?xx1x2所以x1x0，1a(xx2)1a0得 x1f(x)0即 f(x)x1.依題意知x0.因?yàn)閤1，x2是方程f(x)x0的根，即x1，x2是方程ax2(b1)xc0的根，所以 x1x2 x0因?yàn)閍x21，所以x07 若關(guān)于x的二次方程7x2(p13)xp2p20的兩根、滿足012，求實(shí)數(shù)p的取值范圍.解：設(shè)f(x)7x2(p13)xp2p2根據(jù)題意得：f(0)0f0f0即 p2p20p22p80p23p0解得：p(2，1)(3，4)
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