2012年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)11 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用與生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例

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1、考點(diǎn)11 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用與生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例一、選擇題1.(2012山東高考文科10)與(2012山東高考理科9)相同函數(shù)的圖象大致為( )【解題指南】本題可利用函數(shù)的奇偶性,及函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù),取點(diǎn)驗(yàn)證法可得.【解析】選D.由知為奇函數(shù),當(dāng)時(shí),y0,隨著x的變大,分母逐漸變大,整個(gè)函數(shù)值越來(lái)越接近y軸,只有D選項(xiàng)滿足.2.(2012新課標(biāo)全國(guó)高考理科T10)已知函數(shù)f(x)= ,則y=f(x)的圖象大致為( )【解題指南】令,通過(guò)對(duì)單調(diào)性與最值的考查,判斷出在不同的區(qū)間段f(x)的函數(shù)值的正負(fù),最后利用排除法得正確選項(xiàng)?!窘馕觥窟xB. 得:或均有,排除3.(2012遼寧高考文科8)函

2、數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(A)(1,1 (B)(0,1 (C.)1,+) (D)(0,+)【解題指南】保證函數(shù)有意義的前提下,利用解得單調(diào)減區(qū)間【解析】選B. 由,又函數(shù)的定義域?yàn)楣蕟握{(diào)減區(qū)間為.4.(2012陜西高考文科9)設(shè)函數(shù)=+,則( )(A) x=為的極大值點(diǎn) (B) x=為的極小值點(diǎn) (C) x=2為的極大值點(diǎn) (D) x=2為的極小值點(diǎn)【解題指南】先根據(jù)導(dǎo)數(shù)等于0求出極值點(diǎn),再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正、負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,判斷極值點(diǎn)是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn).【解析】選D. =+,令,即,解得,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),所以x=2為的極小值點(diǎn).5.(2012福建高考文科12)已知,且現(xiàn)給出如下結(jié)論:;其中正確結(jié)論的

3、序號(hào)是( )ABCD【解題指南】首先要構(gòu)畫(huà)函數(shù)的草圖,因此,要求導(dǎo),分析單調(diào)性,然后分別求出,再判斷各命題的真假【解析】選C.f(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3),函數(shù)在(-,1)上單調(diào)遞增,在(1,3)上單調(diào)遞減,在(3,+)上單調(diào)遞增,又因?yàn)閒(a)=f(b)=f(c)=0,所以a(-,1),b(1,3),c(3,+),f(1)=4-abc,f(3)=-abc,f(0)=-abc.又因?yàn)閒(b)=b3-6b2+9b-abc=b(b2-6b+9)-abc=b(b-3)2-ac=0,所以ac為正數(shù),所以a為正數(shù),則有f(0)0,f(3)0,所以正確.6.(2012江西高考理科1

4、0)如右圖,已知正四棱錐S-ABCD所有棱長(zhǎng)都為1,點(diǎn)E是側(cè)棱SC上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)E垂直于SC的截面將正四棱錐分成上、下兩部分.記,截面下面部分的體積為,則函數(shù)的圖象大致為( ) A B C D【解題指南】分與兩種情況討論,當(dāng)時(shí),將截面上面部分的幾何體分割為兩個(gè)錐體,用間接法求出截面下面部分的體積V(x),然后通過(guò)V(x)的解析式得到圖象,當(dāng)時(shí),同理可得?!窘馕觥窟xA . 當(dāng)時(shí),截面為五邊形,如圖所示由面QEPMN,且?guī)缀误w為正四棱錐,棱長(zhǎng)均為1,易推出,四邊形OEQN和OEPM均為全等的直角梯形,此時(shí)求導(dǎo)可知在上為減函數(shù),且當(dāng)時(shí),截面為等腰三角形,如圖所示:此時(shí)易知在上亦為減函數(shù),且,根據(jù)三次

5、函數(shù)的圖象特征可知選項(xiàng)A符合.7.(2012遼寧高考理科12)若,則下列不等式恒成立的是( )(A) (B) (C) (D)【解題指南】構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性。【解析】選C. 令,則(x0),故為定義域上的增函數(shù),.所以.8.(2012山東高考文科12)設(shè)函數(shù),.若的圖象與的圖象有且僅有兩個(gè)不同的公共點(diǎn),則下列判斷正確的是( )(A)(B)(C)(D)【解題指南】本題利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求解單調(diào)性.【解析】選B.設(shè),則方程與同解,故其有且僅有兩個(gè)不同零點(diǎn).由得或.這樣,必須且只須或,因?yàn)?,故必有由此?不妨設(shè),則.所以,比較系數(shù)得,故.,由此知,故答案為B.9.(2012山東高考理科12)設(shè)

6、函數(shù),若的圖象與圖象有且僅有兩個(gè)不同的公共點(diǎn),則下列判斷正確的是( )A.當(dāng)時(shí),B. 當(dāng)時(shí),C. 當(dāng)時(shí),D. 當(dāng)時(shí),【解題指南】本題利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求解單調(diào)性.【解析】選B.令,則,設(shè),。令,則,要使y=f(x)的圖象與y=g(x)圖象有且僅有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)只需,整理得,于是可取來(lái)研究,當(dāng)時(shí),解得,此時(shí),此時(shí);當(dāng)時(shí),解得,此時(shí),此時(shí).答案應(yīng)選B。另解:令可得。設(shè)不妨設(shè),結(jié)合圖形可知,當(dāng)時(shí)如右圖,此時(shí),即,此時(shí),即;同理可由圖形經(jīng)過(guò)推理可得當(dāng)時(shí).答案應(yīng)選B。二、解答題10. (2012山東高考理科22)已知函數(shù)(為常數(shù),是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行.()求的值;()求的單調(diào)區(qū)間;()

7、設(shè),其中為的導(dǎo)函數(shù).證明:對(duì)任意.【解題指南】(1)由曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行可知即可求出k的值.(2)可由(1)的結(jié)論求解判斷單調(diào)區(qū)間.(3)構(gòu)造函數(shù)法求解不等式問(wèn)題.【解析】() 由得由曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行可知,解得:.(),令可得,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),。于是在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù);在內(nèi)為減函數(shù)。(),因此,對(duì)任意,等價(jià)于.令,則,因此,當(dāng)單調(diào)遞增;當(dāng)單調(diào)遞減.所以的最大值為,故設(shè).因?yàn)椋詴r(shí),單調(diào)遞增,故時(shí),即所以.因此,對(duì)任意.11.(2012山東高考文科22)已知函數(shù)為常數(shù),e=2.71828是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),曲線在點(diǎn)處的切線與x軸平行.()求k的值;()求的單調(diào)區(qū)間;()設(shè),其中為的導(dǎo)

8、函數(shù).證明:對(duì)任意.【解題指南】(1)由曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行可知即可求出k的值.(2)可由(1)的結(jié)論求解判斷單調(diào)區(qū)間.(3)構(gòu)造函數(shù)法求解的最值.【解析】 (I),由已知,.(II)由(I)知,.設(shè),則,即在上是減函數(shù),由知,當(dāng)時(shí),從而,當(dāng)時(shí),從而.綜上可知,的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是.(III)由(II)可知,當(dāng)時(shí),01+,故只需證明在時(shí)成立.當(dāng)時(shí),1,且,.設(shè),則,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),所以當(dāng)時(shí),取得最大值.所以.綜上,對(duì)任意,.12.(2012江西高考理科21)若函數(shù)h(x)滿足(1)h(0)=1,h(1)=0;(2)對(duì)任意,有h(h(a)=a;(3)在(0,1)上單調(diào)遞減.則稱h(x

9、)為補(bǔ)函數(shù)。已知函數(shù)(1)判斷函數(shù)h(x)是否為補(bǔ)函數(shù),并證明你的結(jié)論;(2)若存在,使得h(m)=m,稱m是函數(shù)h(x)的中介元,記時(shí),h(x)的中介元為xn,且,若對(duì)任意的,都有Sn0時(shí),(xk) f(x)+x+10,求k的最大值【解題指南】(1)先確定函數(shù)的定義域,然后求導(dǎo)函數(shù),因不確定的正負(fù),故應(yīng)討論,結(jié)合的正負(fù)分別得出在每一種情況下的正負(fù),從而確立單調(diào)區(qū)間;(2)分離參數(shù),將不含有參數(shù)的式子看作一個(gè)新函數(shù),將求的最大值轉(zhuǎn)化為求的最值問(wèn)題?!窘馕觥?1) 的定義域?yàn)?.若,則,所以在單調(diào)遞增.若,則當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), 0,所以, 在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.(II)由于,所以.故當(dāng)時(shí), 等價(jià)

10、于 令,則.由(I)知,函數(shù)在單調(diào)遞增.而,所以在存在唯一的零點(diǎn).故在存在唯一的零點(diǎn).設(shè)此零點(diǎn)為,則.當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.所以在的最小值為.又由,可得,所以.由于式等價(jià)于,故整數(shù)的最大值為2.16.(2012安徽高考理科19)設(shè) (I)求在內(nèi)的最小值;(II)設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線方程為;求的值?!窘忸}指南】(1)設(shè);則根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的最小值;(2)曲線在點(diǎn)的切線方程為,則,解出的值.【解析】(I)設(shè);則 當(dāng)時(shí),在上是增函數(shù) 得:當(dāng)時(shí),的最小值為 當(dāng)時(shí), 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),的最小值為(II) 由題意得:17.(2012安徽高考文科17)設(shè)定義在(0,+)上的函數(shù)()求的最小值;()

11、若曲線在點(diǎn)處的切線方程為,求的值。【解題指南】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的最小值;(2)曲線在點(diǎn)的切線方程為,則,解出的值.【解析】(I) 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),的最小值為 (II)由題意得: 由得:18.(2012遼寧高考理科T21)設(shè),曲線與直線在(0,0)點(diǎn)相切。 (1)求的值。 (2)證明:當(dāng)時(shí),?!窘忸}指南】(1)點(diǎn)在曲線上,則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足曲線方程;同時(shí)據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以建立另一個(gè)方程,求出a,b;(2) 構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性,借助函數(shù)單調(diào)性證明不等式【解析】(1)由得圖象過(guò)點(diǎn)(0,0)得b=0;由在點(diǎn)(0,0)的切線斜率,則(2)證明:當(dāng)時(shí),令,則令,則當(dāng)時(shí),因

12、此在(0,2)內(nèi)是遞減函數(shù),又則時(shí),所以時(shí),即在(0,2)內(nèi)是遞減函數(shù),由,則時(shí),故時(shí),19.(2012遼寧高考文科T21)設(shè),證明: ()當(dāng)x1時(shí), ( ) ()當(dāng)時(shí),【解題指南】構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性,借助函數(shù)單調(diào)性證明不等式【解析】(1)記,則當(dāng)時(shí),所以在上為減函數(shù),則當(dāng)時(shí),所以,即(2)記,則由(1)得當(dāng)時(shí),則因此函數(shù)在(1,3)內(nèi)單調(diào)遞減,所以時(shí),即20.(2012陜西高考理科21)(本小題滿分14分)設(shè)函數(shù)()設(shè),證明:在區(qū)間內(nèi)存在唯一零點(diǎn);()設(shè),若對(duì)任意,有,求的取值范圍;()在()的條件下,設(shè)是在內(nèi)的零點(diǎn),判斷數(shù)列的增減性.【解題指南】(1)根據(jù)零點(diǎn)存在的條件和函數(shù)的單

13、調(diào)性進(jìn)行判斷;(2)需要進(jìn)行分類討論,等價(jià)轉(zhuǎn)化等,然后變形整理根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解;(3)通過(guò)轉(zhuǎn)化,可得關(guān)系?!窘馕觥浚ǎ┊?dāng),時(shí),.,在內(nèi)存在零點(diǎn).又當(dāng)時(shí),在上是單調(diào)遞增的,在內(nèi)存在唯一零點(diǎn).() 當(dāng)時(shí),對(duì)任意都有等價(jià)于在上的最大值與最小值之差,據(jù)此分類討論如下:()當(dāng),即時(shí),與題設(shè)矛盾;()當(dāng),即時(shí),恒成立;()當(dāng),即時(shí),恒成立.綜上可知,的取值范圍是.注:()與()也可合并證明如下:用表示中的較大者.當(dāng),即時(shí),恒成立.()(證法一) 設(shè)是在內(nèi)的唯一零點(diǎn)(),則,于是有,又由()知在上是遞增的,故.所以,數(shù)列的是遞增數(shù)列.證法二 設(shè)是在內(nèi)的唯一零點(diǎn),則的零點(diǎn)在內(nèi),故.所以,數(shù)列的是遞增數(shù)列.

14、21.(2012陜西高考數(shù)學(xué)文科21)(本小題滿分14分) 設(shè)函數(shù)(1)設(shè),證明:在區(qū)間內(nèi)存在唯一零點(diǎn);(2)設(shè)n為偶數(shù),求b+3c的最小值和最大值;(3)設(shè),若對(duì)任意,有,求的取值范圍.【解題指南】(1)根據(jù)零點(diǎn)存在的條件和函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷;(2)把兩個(gè)絕對(duì)值不等式列出表達(dá)式,然后轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題;或?qū)Σ坏仁竭M(jìn)行變形整理,直接整理出結(jié)果;(3)需要進(jìn)行分類討論、等價(jià)轉(zhuǎn)化等,然后變形整理根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解.【解析】()當(dāng),時(shí),.,在內(nèi)存在零點(diǎn).又當(dāng)時(shí),在上是單調(diào)遞增的,在內(nèi)存在唯一零點(diǎn).()(方法一),又,所以,以為橫坐標(biāo),為縱坐標(biāo)畫(huà)出可行域,如圖所示,觀察可行域可知,在點(diǎn)取到最小值,

15、在點(diǎn)取到最大值0,的最小值為,最大值為0.(方法二)由題意可得,即, ,即, 2+得:,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),所以的最小值為,最大值為0.(方法三)由題意知,解得,所以又,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.所以的最小值為,最大值為0. ()當(dāng)時(shí),對(duì)任意都有等價(jià)于在上的最大值與最小值之差,據(jù)此分類討論如下:()當(dāng),即時(shí),與題設(shè)矛盾;()當(dāng),即時(shí),恒成立;()當(dāng),即時(shí),恒成立.綜上可知,的取值范圍是.注:()與()也可合并證明如下:用表示中的較大者.當(dāng),即時(shí),恒成立.22.(2012浙江高考理科22)(本題滿分14分)已知0,bR,函數(shù)f(x)=4x3-2bx-a+b。()證明:當(dāng)0x1時(shí),(1)函數(shù)f(x)的最大值為(2

16、);()若對(duì)x恒成立,求的取值范圍?!窘忸}指南】本題是用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的性質(zhì),求最值時(shí)需分類討論求解,要注意分類標(biāo)準(zhǔn)的確定,同時(shí)求的取值范圍時(shí)需化為線性規(guī)劃問(wèn)題解決。【解析】()(1)當(dāng)時(shí),在上為增函數(shù) =當(dāng)時(shí),若,即時(shí),在上為減函數(shù) =若,即時(shí),在上為減函數(shù),在上為增函數(shù)而,當(dāng)時(shí), =當(dāng)時(shí), =(2)由于,故當(dāng)時(shí),|2ab|a=當(dāng)時(shí),|2ab|a=設(shè),則于是010+減極小值增所以,所以,當(dāng)時(shí),即|2ab|a0在0x1上恒成立()由()知:函數(shù)在0x1上的最大值為|2ab|a,且函數(shù)在0x1上的最小值比(|2ab|a)要大11對(duì)x0,1恒成立,即和,目標(biāo)函數(shù)為zab作圖如下:由圖易得:當(dāng)目

17、標(biāo)函數(shù)為zab過(guò)P(1,2)時(shí),有;過(guò)(,)時(shí),有所求ab的取值范圍是23.(2012浙江高考文科21)(本題滿分15分)已知aR,函數(shù).(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間(2)證明:當(dāng)0x1時(shí),f(x)+ 0.【解題指南】考查導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)時(shí)要注意分類討論,而不等式證明可轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題。【解析】(1)當(dāng)時(shí),在(-,+)為增函數(shù)當(dāng)時(shí), 令,得令,得所以在上單增,在上單減,在上單增綜上,當(dāng)時(shí), 為增函數(shù);當(dāng)時(shí),的單調(diào)遞增區(qū)間為和,單調(diào)遞減區(qū)間。 (2)由(1)可得當(dāng)時(shí),在為增函數(shù),=當(dāng)時(shí),因?yàn)樵谏蠁卧?,在上單減,在上單增若,即時(shí),在為減函數(shù),=f(x)+ 若,即時(shí),在在上

18、單減,在上單增,=當(dāng)時(shí), f(x)+ 令,則,則0在為增函數(shù),當(dāng)時(shí), f(x)+ 綜上,當(dāng)0x1時(shí),f(x)+ 0.24.(2012北京高考理科18)已知函數(shù)f(x)=ax2+1(a0),g(x)=x3+bx(1) 若曲線y=f(x)與曲線y=g(x)在它們的交點(diǎn)(1,c)處具有公共切線,求a、b的值;(2) 當(dāng)a2=4b時(shí),求函數(shù)f(x)+g(x)的單調(diào)區(qū)間,并求其在區(qū)間(-,-1上的最大值,【解題指南】第(1)問(wèn),交點(diǎn)即在上也在上,在公切點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)相等;第(2)問(wèn),構(gòu)造函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間與最大值?!窘馕觥浚?),由已知可得,解得。(2),令,得,由得,;由得,。單調(diào)遞增區(qū)間是;單調(diào)遞

19、減區(qū)間為。,當(dāng),即時(shí),在上為增函數(shù),當(dāng),即時(shí),在上增,在上減,所以在處取得唯一極大值也是最大值;當(dāng),即時(shí),在上增,在上減,在上增,且,。綜上,當(dāng)時(shí),f(x)+g(x)的最大值為;當(dāng)時(shí),f(x)+g(x)的最大值為1。25.(2012北京高考文科18)已知函數(shù)f(x)=ax2+1(a0),g(x)=x3+bx.(I) 若曲線y=f(x)與曲線y=g(x)在它們的交點(diǎn)(1,c)處具有公共切線,求,a,b的值;(II) 當(dāng)a=3,b=-9時(shí),若函數(shù)f(x)+g(x)在區(qū)間k,2上的最大值為28,求k的取值范圍?!窘忸}指南】第(1)問(wèn),交點(diǎn)即在上也在上,在公切點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)相等;第(2)問(wèn),構(gòu)造函數(shù),然后利

20、用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值,結(jié)合h(x)的圖象,即可求出k的取值范圍?!窘馕觥浚?),由已知可得,解得。(2),令,得-31+0-0+增28減-5增當(dāng)時(shí),取極大值38;當(dāng)時(shí),取極小值-5。而,如果在區(qū)間k,2上的最大值為28,則。26.(2012湖南高考理科22)已知函數(shù)f(x)=eax-x,其中a0。(1) 若對(duì)一切xR,f(x)1恒成立,求a的取值集合。(2)在函數(shù)f(x)的圖象上取定兩點(diǎn)A(,f(x)),B(,f(x)(),記直線AB的斜率為K,問(wèn):是否存在x0(x1,x2),使f(x0)k成立?若存在,求x0的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。【解題指南】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)

21、性、最值、不等式恒成立問(wèn)題等,考查運(yùn)算能力,考查分類討論思想、函數(shù)與方程思想,轉(zhuǎn)化與劃歸思想等數(shù)學(xué)思想方法.第一問(wèn)利用導(dǎo)函數(shù)法求出取最小值對(duì)一切xR,f(x) 1恒成立轉(zhuǎn)化為,從而得出a的取值集合;第二問(wèn)在假設(shè)存在的情況下進(jìn)行推理,通過(guò)構(gòu)造函數(shù),研究這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性及最值來(lái)進(jìn)行分析判斷.【解析】()若,則對(duì)一切,這與題設(shè)矛盾,又,故.而令當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,故當(dāng)時(shí),取最小值于是對(duì)一切恒成立,當(dāng)且僅當(dāng).令則當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減.故當(dāng)時(shí),取最大值.因此,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí),式成立.綜上所述,的取值集合為.()由題意知,令則令,則.當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增.故當(dāng),即從而,又所以

22、因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,所以存在使單調(diào)遞增,故這樣的是唯一的,且.故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí), .綜上所述,存在使成立.且的取值范圍為.27.(2012湖南高考文科22)(本小題滿分13分)已知函數(shù)f(x)=ex-ax,其中a0.(1)若對(duì)一切xR,f(x) 1恒成立,求a的取值集合;(2)在函數(shù)f(x)的圖象上去定點(diǎn)A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2)(x1x2),記直線AB的斜率為k,證明:存在x0(x1,x2),使恒成立.【解題指南】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值、不等式恒成立問(wèn)題等,考查運(yùn)算能力,考查分類討論思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學(xué)方法.第一問(wèn)利用導(dǎo)函數(shù)法求

23、出取最小值對(duì)一切xR,f(x) 1恒成立轉(zhuǎn)化為從而得出求a的取值集合;第二問(wèn)在假設(shè)存在的情況下進(jìn)行推理,然后把問(wèn)題歸結(jié)為一個(gè)方程是否存在解的問(wèn)題,通過(guò)構(gòu)造函數(shù),研究這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析判斷.【解析】令.當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增,故當(dāng)時(shí),取最小值于是對(duì)一切恒成立,當(dāng)且僅當(dāng).令則當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減.故當(dāng)時(shí),取最大值.因此,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),式成立.綜上所述,的取值集合為.()由題意知,令則令,則.當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增.故當(dāng),即從而,又所以因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,所以存在使即成立.28.(2012江蘇高考18)(本小題滿分16分)若函數(shù)y=f(x)在處取得極大

24、值或極小值,則稱為函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn).已知a,b是實(shí)數(shù),1和是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)(1)求a和b的值;(2)設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),求的極值點(diǎn);(3)設(shè),其中,求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)【解題指南】(1)求出的導(dǎo)數(shù),根據(jù)1和是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)代入列方程組求解即可。(2)由(1)得,求出,令,求解討論即可。(3)比較復(fù)雜,先分和討論關(guān)于 的方程 根的情況;再考慮函數(shù)的零點(diǎn)?!窘馕觥浚?)由得又因1和是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)所以的兩個(gè)根為1和。由根與系數(shù)的關(guān)系得所以a0,b3此時(shí)(2)由得當(dāng)時(shí)即,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增。當(dāng)時(shí)即,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減。所以函數(shù)的極大值點(diǎn)。(3)令,則。 先討論關(guān)于的方程 根的情況:當(dāng)時(shí),由(2)可

25、知,的兩個(gè)不同的根為1 和一2 ,注意到是奇函數(shù),的兩個(gè)不同的根為一和2。當(dāng)時(shí), ,一2 , 1,1 ,2 都不是的根。由(1)知。 當(dāng)時(shí), ,于是是單調(diào)增函數(shù),從而。此時(shí)在無(wú)實(shí)根。 當(dāng)時(shí),于是是單調(diào)增函數(shù)。又,的圖象不間斷, 在(1 , 2 )內(nèi)有唯一實(shí)根。同理,在(一2 ,一1 )內(nèi)有唯一實(shí)根。 當(dāng)時(shí),于是是單調(diào)減兩數(shù)。又, ,的圖象不間斷,在(一1,1 )內(nèi)有唯一實(shí)根。因此,當(dāng)時(shí),有兩個(gè)不同的根滿足;當(dāng) 時(shí)有三個(gè)不同的根,滿足。現(xiàn)考慮函數(shù)的零點(diǎn):( i )當(dāng)時(shí),有兩個(gè)根,滿足。而有三個(gè)不同的根,有兩個(gè)不同的根,故有5 個(gè)零點(diǎn)。( 11 )當(dāng)時(shí),有三個(gè)不同的根,滿足。而有三個(gè)不同的根,故有

26、9 個(gè)零點(diǎn)。綜上所述,當(dāng)時(shí),函數(shù)有5 個(gè)零點(diǎn);當(dāng)時(shí),函數(shù)有9 個(gè)零點(diǎn)。29.(2012福建高考理科20) (本小題滿分14分)已知函數(shù) () 若曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(本題的切線正好是x軸,應(yīng)改為垂直于y軸)() 試確定的取值范圍,使得曲線上存在唯一的點(diǎn)P,曲線在該點(diǎn)處的切線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)P【解題指南】本小題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù),導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,一元二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)的零點(diǎn)等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,抽象概括能力,推理論證能力,考查數(shù)形結(jié)合思想,化歸與轉(zhuǎn)化思想,分類與整合思想,有限與無(wú)限思想【解析】()由于曲線在點(diǎn)處的切線斜率為 所以,即此時(shí),由得當(dāng),有,當(dāng),有,所以

27、函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為()設(shè)點(diǎn); 曲線在點(diǎn)處的切線方程為令;故曲線在該點(diǎn)處的切線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)有唯一零點(diǎn)因?yàn)?,且若時(shí), 當(dāng)時(shí),則時(shí),當(dāng)時(shí),則時(shí),故只有唯一零點(diǎn),由的任意性,不符合條件若,令則,令,得記則當(dāng)時(shí),從而在內(nèi)單調(diào)遞減;則當(dāng)時(shí),從而在內(nèi)單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),知在上單調(diào)遞增所以函數(shù)在R上有且只有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)時(shí),由于在內(nèi)單調(diào)遞增,且,則當(dāng)時(shí),有,任取,有又當(dāng)時(shí),易知其中,由于,則必存在,使得所以,故在內(nèi)存在零點(diǎn),即在上至少有兩個(gè)零點(diǎn)。若,仿并利用,可證函數(shù)在上至少有兩個(gè)零點(diǎn)綜上所述,當(dāng)時(shí),曲線上存在唯一的點(diǎn)使該點(diǎn)處的切線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)30.(2012

28、廣東高考理科21)(本小題滿分14分)設(shè)a1,集合,(1)求集合D(用區(qū)間表示)(2)求函數(shù)在D內(nèi)的極值點(diǎn)。【解題指南】 (1)解本題的關(guān)鍵是確定集合B,構(gòu)造,因?yàn)?因?yàn)?所以3a-90,方了便于比較g(x)=0的根與0的大小關(guān)系,按分四類進(jìn)行討論。(2)因?yàn)?所以由(1)知,時(shí),在D內(nèi)無(wú)極值點(diǎn)。然后分別和時(shí),的極值即可.【解析】(1)令時(shí),,方程有兩個(gè)不等實(shí)根,又,時(shí),時(shí),時(shí),.時(shí),,綜上得時(shí),時(shí), 時(shí),時(shí), .(2)在上是增函數(shù),在是減函數(shù),由(1)知,時(shí),在D內(nèi)無(wú)極值點(diǎn)。時(shí),在D內(nèi)有極大值點(diǎn)x=1,無(wú)極小值點(diǎn)。時(shí),在D內(nèi)有極大值點(diǎn),極小值點(diǎn)31.(2012廣東高考文科21)同(2012廣

29、東高考理科21)設(shè),集合.(1)求集合(用區(qū)間表示)(2)求函數(shù)在內(nèi)的極值點(diǎn).【解題指南】 (1)解本題的關(guān)鍵是確定集合B,構(gòu)造,因?yàn)?因?yàn)?所以3a-90,方了便于比較g(x)=0的根與0的大小關(guān)系,按分四類進(jìn)行討論。(2)因?yàn)?所以由(1)知,時(shí),在D內(nèi)無(wú)極值點(diǎn)。然后分別和時(shí),的極值即可.【解析】(1)令時(shí),,方程有兩個(gè)不等實(shí)根,又,時(shí),時(shí),時(shí),.時(shí),,綜上得時(shí),時(shí), 時(shí),時(shí), .(2)在上是增函數(shù),在是減函數(shù),由(1)知,時(shí),在D內(nèi)無(wú)極值點(diǎn)。時(shí),在D內(nèi)有極大值點(diǎn)x=1,無(wú)極小值點(diǎn)。時(shí),在D內(nèi)有極大值點(diǎn),極小值點(diǎn)。32.(2012湖北高考文科22)(本小題滿分14分)設(shè)函數(shù),n為正整數(shù),a

30、,b為常數(shù),曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程為x+y=1.(1)求a,b的值;(2)求函數(shù)f(x)的最大值(3)證明:f(x) . 【解題指南】本題考查導(dǎo)數(shù)在解函數(shù)中的應(yīng)用,本題(1)易解,(2)問(wèn)中直接求導(dǎo),求零點(diǎn)討論單調(diào)性求解;(3)要構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明(【解析】(1).因?yàn)?,由點(diǎn)(1,f(1))在x+y=1上,則1+b=1,所以b=0.又,又切線x+y=1的斜率為-1,則a=1.故:a=1,b=0. (2).由(1)知, ,.令得,即在(0,+)上有唯一零點(diǎn).在(0, )上,故單調(diào)遞增;而在(,+)上, ,故單調(diào)遞減.故.(3).令則.在(0,1)上, ,故單調(diào)

31、遞減;而在(1,+)上, ,故單調(diào)遞增,所以在(0,+)上的最小值為.所以.即令,得,即,也就是,由(2)知上式成立.故 f(x)0時(shí)設(shè)函數(shù),將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求解;(3) 對(duì)a進(jìn)行討論,綜合應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行證明?!窘馕觥浚?)函數(shù)的定義域?yàn)椋?,?dāng)x變化時(shí),的變化情況如下表:_0+極小值因此,在x=1-a處取得最小值,故由題意。(2) 當(dāng)時(shí),取x=1,有不合題意。當(dāng)k0時(shí),令即令,當(dāng)時(shí),在上恒成立,因此g(x)在上單調(diào)遞減。從而對(duì)于任意的,總有,即上恒成立。故符合題意。當(dāng)對(duì)于內(nèi)單調(diào)遞增。因此當(dāng)取,即不成立,故不合題意。綜上,的最小值為。(3) 當(dāng)n=1時(shí),不等式左邊=右邊,所以不等式成立,當(dāng)時(shí),=,在(2)中取,得,從而,所以有=,綜上,.

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