江蘇省金湖縣實驗中學(xué)高中數(shù)學(xué) 奧賽輔導(dǎo) 簡單的函數(shù)方程（一）

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1、江蘇省金湖縣實驗中學(xué)高中數(shù)學(xué) 奧賽輔導(dǎo) 簡單的函數(shù)方程（一）函數(shù)方程的概念：1.函數(shù)方程的定義 含有未知函數(shù)的等式叫做函數(shù)方程。如f(x1)=x、f(x)=f(x)、f(x)= f(x)、f(x2)=f(x)等。其中f(x)是未知函數(shù)2.函數(shù)方程的解 能使函數(shù)方程成立的函數(shù)叫做函數(shù)方程的解。如f(x)=x1、偶函數(shù)、奇函數(shù)、周期函數(shù)分別是上述各方程的解3.解函數(shù)方程 求函數(shù)方程的解或證明函數(shù)方程無解的過程叫解函數(shù)方程4.定理（柯西函數(shù)方程的解）若f(x)是單調(diào)（或連續(xù)）函數(shù)且滿足f(xy)=f(x)f(y) (x,yR)、則f(x)=xf(1)證明：由題設(shè)不難得 f(x1x2xn)=f(x1)

2、f(x2)f(xn)取x1=x2=xn=x，得f(nx)=nf(x) (nN+)令x=0，則f(0)=nf(0)，解得f(0)=0 - （1） x=1，則f(n)=nf(1) x=，則f(m)=nf() ，解得f()=f(m)= f(1) - (2) x=，且令y=x0，則f(x)f(y)=f(xy)=f(0)=0 f(x)=f(y)=yf(1)=xf(1) (m,nN+,且(m,n)=1) -(3)由上述（1），（2），（3）知：對任意有理數(shù)x均有f(x)=xf(1)另一方面，對于任意的無理數(shù)x，因f(x)連續(xù)，取以x為極限的有理數(shù)序列xn，則有 ：f(x)=f(xn)=xnf(1)=xf(

3、1)綜上所述，對于任意實數(shù)x，有f(x)=xf(1)函數(shù)方程的解法：1.代換法（或換元法）把函數(shù)方程中的自變量適當(dāng)?shù)匾詣e的自變量代換（代換時應(yīng)注意使函數(shù)的定義域不會發(fā)生變化），得到一個新的函數(shù)方程，然后設(shè)法求得未知函數(shù)例1 （1）已知f(2x1)=x2x，那麼f(x)=_。 略解：設(shè)t=2x1，則x= (t1)，那麼f(t)= (t1)2 (t1)= t2t 故f(x)= x2x(2) 已知f(1)=x2，那麼f(x)=_。 略解：f(1)=( 1)21，故f(x)=x21 (x1)(3) 已知f(x)=x2，那麼f(x)=_。 略解：f(x)=(x)22，故f(x)=x22 (|x|2)例2

4、 設(shè)ab0,a2b2，求af(x)bf()=cx的解 解：分別用x=，x=t代入已知方程，得af()bf(t)= -(1)af(t)bf()=ct-(2)由（1），（2）組成方程組解得 f(t)= 即： f(x)= 2.待定系數(shù)法當(dāng)函數(shù)方程中的未知數(shù)是多項式時，可用此法經(jīng)比較系數(shù)而得例3 已知f(x)是一次函數(shù)，且fff-f(x)=1024x1023。求f(x) 10次 解：設(shè)f(x)=axb (a0)，記ffff(x)=fn(x)，則 n次 f2(x)=ff(x)=a(axb)b=a2xb(a1)f3(x)=fff(x)=aa2xb(a1)b=a3xb(a2a1)依次類推有：f10(x)=a

5、10xb(a9a8a1)=a10x由題設(shè)知：a10=1024 且=1023a=2，b=1 或 a=2，b=3f(x)=2x1 或 f(x)=2x33.迭代法（見競賽輔導(dǎo)第三講函數(shù)迭代知識）由函數(shù)方程找出函數(shù)值之間的關(guān)系，通過n次迭代得到函數(shù)方程的解法例4 設(shè)f(x)定義在正整數(shù)集上，且f(1)=1,f(xy)=f(x)f(y)xy。求f(x)解：令y=1，得f(x1)=f(x)x1再依次令x=1，2，n1，有f(2)=f(1)2f(3)=f(2)3f(n1)=f(n2)(n1)f(n)=f(n1)n依次代入，得f(n)=f(1)23(n1)n=f(x)= (xN+)例5 ，已知f(1)=且當(dāng)n

6、1時有。求f(n) (nN+)解：把已知等式（遞推公式）進(jìn)行整理，得f(n1)f(n)=2(n1)f(n)f(n1)=2(n1)把n依次用2，3，n代換，得=23=24=2(n1)上述(n1)個等式相加，得=234(n1)=(n1)(n4)= (n1)(n4)=n23n1f(n)= 4.柯西法在f(x)單調(diào)（或連續(xù)）的條件下，利用柯西函數(shù)方程的解求解例6 設(shè)f(x)連續(xù)且恒不為0，求函數(shù)方程f(xy)=f(x)f(y)的解解：f(x)=f()=f()f()0 若存在x0R，使f(x0)=0。則對一切實數(shù)x，有 f(x)=f(xx0x0)=f(xx0)f(x0)=0 這與f(x)不恒為0矛盾，故

7、f(x)0 對題設(shè)f(xy)=f(x)f(y)兩邊取自然對數(shù)，得 f(xy)=f(x)f(y) f(xy)=f(x)f(y) 令g(x)=f(x) f(x)0且連續(xù) g(x)連續(xù)且滿足g(xy)=g(x)g(y).由定理知： g(x)=g(1)x故 f(x)=xf(1) f(x)=exf(1)=f(1)x 令f(1)=a，則f(x)=ax (a0) 類似的，利用柯西函數(shù)方程的解，在連續(xù)或單調(diào)的條件下可得：（1） 若f(xy)=f(x)f(y) (x0,y0),則f(x)=ax（2） 若f(xy)=f(x)f(y) (x0,y0),則f(x)=x2（3） 若f(xy)=f(x)f(y)kxy,則f(x)=ax2bx（4） 若f(xy)f(xy)=2f(x),則f(x)=axb課后練習(xí)：1、 下面四個數(shù)中，滿足=f(x)f(y)的函數(shù)是 （ ）A.x B. C.3x D.3x2、 如果對xR有2f(1x)1=xf(x)，那麼f(x)=_。3、 對任意實數(shù)x,y，函數(shù)f(x)有f(xy)=f(x2)f(2y)，則f(1985)=( )A.1985 B. C.3990 D.以上答案都不對4、 已知f(1)=1,f(n)f(n1)=an,nN+。求f(n)5、 解方程 xf(x)2f()=16、 已知f(x)連續(xù)且定義在非零實數(shù)集上，滿足，求f(x)