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1、1,第六章 數(shù)字電路基礎(chǔ),軟件學院 侯剛,2,主要內(nèi)容,6.1 數(shù)字電路概述 6.2 邏輯代數(shù) 6.3 邏輯函數(shù)建立及表示方法 6.4 邏輯函數(shù)簡化,3,6.1 數(shù)字電路概述,模擬電子技術(shù)中介紹了基本放大器、多級放大器、反饋放大器以及集成運算放大器等，這些電路都是用來對模擬信號進行產(chǎn)生、放大、處理和運用的電路，因此把這些電路稱為模擬電路。 數(shù)字電子技術(shù)則是一門研究數(shù)字信號的產(chǎn)生、整形、編碼、運算、記憶、計數(shù)、存儲、分配、測量和傳輸?shù)目茖W技術(shù)，簡單的說是用數(shù)字信號去實現(xiàn)運算、控制和測量的科學。在數(shù)字電子技術(shù)中，能實現(xiàn)上述功能的電路稱為“數(shù)字電路”。,4,6.1.1 數(shù)字信號,有些物理量在時間和數(shù)
2、值上具有連續(xù)變化的特點，如時間、溫度、壓力及速度等，這種連續(xù)變化的物理量，習慣上稱為模擬量。把表示模擬量的電信號叫做模擬信號。 還有一種物理量，它們在時間上和數(shù)量上是不連續(xù)的，它們的數(shù)量大小和每次的增減變化都是某一個最小單位的整數(shù)倍，而小于這個最小單位的數(shù)值是沒有物理意義的。這一類物理量稱為數(shù)字量，表示數(shù)字量的電信號稱為數(shù)字信號。,5,6.1 數(shù)字電路概述,6.1.1 數(shù)字信號 數(shù)字信號由0和1兩種數(shù)值組成。 數(shù)字信號可以進行兩種運算，即算術(shù)運算和邏輯運算。 數(shù)字信號0和1表示的是數(shù)量的大小，則它們進行的是算術(shù)運算。 表示的是兩種不同的狀態(tài)，則它們進行的是邏輯運算。,6,6.1 數(shù)字電路概述,
3、6.1.2 數(shù)字電路的優(yōu)點 (1) 便于高度的集成化； (2) 工作準確可靠，抗干擾能力強； (3) 數(shù)字信息便于長期保存； (4) 數(shù)字集成電路產(chǎn)品系列多、通用性強且成本低； (5) 保密性好； (6) 可同時進行數(shù)值計算和邏輯運算；,7,6.1 數(shù)字電路概述,6.1.3 數(shù)字電路分類 (1) 根據(jù)電路結(jié)構(gòu)不同，可分為分立元件電路和集成電路兩大類； (2) 根據(jù)集成的密度不同，可分為大、中、小、超大規(guī)模集成電路； (3) 根據(jù)半導體導電類型的不同，可分為雙極型電路和單極型電路；,8,6.1.4 脈沖波型主要參數(shù),脈沖幅度Um 脈沖上升時間tr 脈沖下降時間tf 脈沖寬度tW 脈沖周期T 脈沖
4、頻率f 占空比q：脈沖寬度與脈沖周期的比值，qtW/T。,9,6.1.5 數(shù)制和碼制,1、數(shù)制 (1) 十進制 (2) 二進制 (3) 八進制 (4) 十六進制 2、不同數(shù)制之間的轉(zhuǎn)換 (1) 各種數(shù)制轉(zhuǎn)換成十進制 (2) 十進制轉(zhuǎn)換成各種數(shù)制 (3) 二進制與八(十六)進制的轉(zhuǎn)換,10,6.1.5 數(shù)制和碼制,3、碼制 (1) 二十進制編碼(BCD) 有權(quán)碼； 無權(quán)碼； (2) 可靠性編碼 格雷碼； 奇偶校驗碼；,11,6.2 邏輯代數(shù),邏輯代數(shù)是描述客觀事物邏輯關(guān)系的數(shù)學方法。它首先是由英國數(shù)學家喬治布爾提出，因此也稱為布爾代數(shù)。而后克勞德香農(nóng)將邏輯代數(shù)應(yīng)用到繼電器開關(guān)電路的設(shè)計中，所以又
5、稱為開關(guān)代數(shù)。 和普通代數(shù)一樣，在邏輯代數(shù)中用字母表示變量與函數(shù)，但變量與函數(shù)的取值只有0和1兩種可能。這里的0和1已經(jīng)不再表示數(shù)量的大小，只能代表兩種不同的邏輯狀態(tài)。我們把這種二值變量稱為邏輯變量，簡稱變量，這種二值函數(shù)稱為邏輯函數(shù)，簡稱函數(shù)。,12,6.2 邏輯代數(shù),6.2.1 基本邏輯運算 1、與邏輯運算 與邏輯的定義：僅當決定事件（Y）發(fā)生的所 有條件（A，B，C，）均滿足時，事件（Y）才 能發(fā)生。表達式為： ,真值表,13,6.2.1 基本邏輯運算,2、或邏輯運算 或邏輯的定義：當決定事件（Y）發(fā)生的各種 條件（A，B，C，)中，只要有一個或多個條件具 備，事件（Y）就發(fā)生。表
6、達式為： ,真值表,14,6.2.1 基本邏輯運算,3、非運算 非邏輯指的是邏輯的 否定。當決定事件（Y） 發(fā)生的條件（A）滿足 時，事件不發(fā)生；條件不 滿足，事件反而發(fā)生。表 達式為：,真值表,15,6.2.1 基本邏輯運算,4、復(fù)合運算 (1) 與非邏輯運算：它是 將邏輯變量先進行與運 算再進行非運算。表達 式為： F=AB,,真值表,16,6.2.1 基本邏輯運算,(2) 或非邏輯運算： 它是將邏輯變量 先進行或運算再進行 非運算。其表達式為： F=A+B,,真值表,17,6.2.1 基本邏輯運算,(3) 與或非邏輯運算 它是將邏輯變量先進行與運算后進行或運 算再進行非運
7、算。其表達式為： F=AB+CD,,18,6.2.1 基本邏輯運算,(4)同或和異或邏輯運算 如果當兩個邏輯變量A和B相同時，邏輯函數(shù)F等于1，否則F等于0，這種邏輯關(guān)系稱為同或。,19,6.2.1 基本邏輯運算, 如果當兩個邏輯變量A和B相異時，邏輯函數(shù)F等于1，否則F等于0，這種邏輯關(guān)系稱為異或。,20,6.2.2 邏輯代數(shù)的基本定理與運算規(guī)則,（1）常量之間的關(guān)系,（2）基本公式,分別令A(yù)=0及A=1代入這些公式，即可證明它們的正確性。,1、基本定律,21,6.2.2 邏輯代數(shù)的基本定理與運算規(guī)則,利用真值表很容易證明這些公式的正確性。如證明AB=BA：,22,6.2.2
8、 邏輯代數(shù)的基本定理與運算規(guī)則,分配率A+BC=(A+B)(A+C),0-1率A1=1,,23,6.2.2 邏輯代數(shù)的基本定理與運算規(guī)則,,分配率A(B+C)=AB+AC,,0-1率A+1=1,,,,24,6.2.2 邏輯代數(shù)的基本定理與運算規(guī)則,2、邏輯代數(shù)的基本運算規(guī)則,例如，已知等式 ，用函數(shù)Y=AC代替等式中的A，根據(jù)代入規(guī)則，等式仍然成立，即有：,（1）代入規(guī)則：任何一個含有變量A的等式，如果將所有出現(xiàn)A的位置都用同一個邏輯函數(shù)代替，則等式仍然成立。這個規(guī)則稱為代入規(guī)則。,,25,6.2.2 邏輯代數(shù)的基本定理與運算規(guī)則,（2）反演規(guī)則：對于任何一個邏輯表達式Y(jié)，如果將表達式中的所有
9、“”換成“”，“”換成“”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，原變量換成反變量，反變量換成原變量，那么所得到的表達式就是函數(shù)Y的反函數(shù)Y（或稱反函數(shù)）。這個規(guī)則稱為反演規(guī)則。例如：,,,,,26,6.2.2 邏輯代數(shù)的基本定理與運算規(guī)則,（3）對偶規(guī)則：對于任何一個邏輯表達式Y(jié)，如果將表達式中的所有“”換成“”，“”換成“”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，而變量保持不變，則可得到的一個新的函數(shù)表達式Y(jié)，Y稱為函Y的對偶函數(shù)。這個規(guī)則稱為對偶規(guī)則。例如：,,對偶規(guī)則的意義在于：如果兩個函數(shù)相等，則它們的對偶函數(shù)也相等。利用對偶規(guī)則,可以使要證明及要記憶的公式數(shù)目減少一半。例如：,,,,,
10、,27,6.3 邏輯函數(shù)的建立及其表示方法,（1）邏輯表達式：由邏輯變量和與、或、非3種運算符連接起來所構(gòu)成的式子。在邏輯表達式中，等式右邊的字母A、B、C、D等稱為輸入邏輯變量，等式左邊的字母Y稱為輸出邏輯變量，字母上面沒有非運算符的叫做原變量，有非運算符的叫做反變量。,,（2）邏輯函數(shù)：如果對應(yīng)于輸入邏輯變量A、B、C、的每一組確定值，輸出邏輯變量Y就有唯一確定的值，則稱Y是A、B、C、的邏輯函數(shù)。記為,,注意：與普通代數(shù)不同的是，在邏輯代數(shù)中，不管是變量還是函數(shù)，其取值都只能是0或1，并且這里的0和1只表示兩種不同的狀態(tài)，沒有數(shù)量的含義。,28,6.3.1 邏輯函數(shù)的表示方法,1、真值表
11、,真值表：是由變量的所有可能取值組合及其對應(yīng)的函數(shù)值所構(gòu)成的表格。,真值表列寫方法：每一個變量均有0、1兩種取值，n個變量共有2n種不同的取值，將這2n種不同的取值按順序（一般按二進制遞增規(guī)律）排列起來，同時在相應(yīng)位置上填入函數(shù)的值，便可得到邏輯函數(shù)的真值表。,,,例如：當A=B=1、或則B=C=1時，函數(shù)Y=1；否則Y=0。,,,,,,29,6.3.1 邏輯函數(shù)的表示方法,2、邏輯表達式,邏輯表達式：是由邏輯變量和與、或、非3種運算符連接起來所構(gòu)成的式子。,函數(shù)的標準與或表達式的方法：將函數(shù)的真值表中那些使函數(shù)值為1的最小項相加，便得到函數(shù)的標準與或表達式。,3、卡諾圖,卡諾圖：是由表示變量
12、的所有可能取值組合的小方格所構(gòu)成的圖形。,邏輯函數(shù)卡諾圖的填寫方法：在那些使函數(shù)值為1的變量取值組合所對應(yīng)的小方格內(nèi)填入1，其余的方格內(nèi)填入0，便得到該函數(shù)的卡諾圖。,,,,,,30,6.3.1 邏輯函數(shù)的表示方法,4、邏輯圖,邏輯圖：是由表示邏輯運算的邏輯符號所構(gòu)成的圖形。,,,,,、波形圖,波形圖：是由輸入變量的所有可能取值組合的高、低電平及其對應(yīng)的輸出函數(shù)值的高、低電平所構(gòu)成的圖形。,,,,,,,,,,,,,,,,,31,6.3.2 邏輯函數(shù)表示方法之間的轉(zhuǎn)換,1、由真值表到邏輯圖的轉(zhuǎn)換,真值表,邏輯表達式或卡諾圖,,,1,1,,最簡與或表達式,化簡,2,或,,2,,32,6.3.2 邏
13、輯函數(shù)表示方法之間的轉(zhuǎn)換,畫邏輯圖,,3,最簡與或表達式,B,A,A,C,AC,Y,B,A,A,C,Y,若用與非門實現(xiàn)，將最簡與或表達式變換乘最簡與非-與非表達式,,3,33,6.3.2 邏輯函數(shù)表示方法之間的轉(zhuǎn)換,邏輯圖,邏輯表達式,,,1,1,,最簡與或表達式,化簡,2,,,2,從輸入到輸出逐級寫出,2、由邏輯圖到真值表的轉(zhuǎn)換,34,6.3.2 邏輯函數(shù)表示方法之間的轉(zhuǎn)換,最簡與或表達式,,3,真值表,,3,35,6.3.3 邏輯代數(shù)的相等,邏輯函數(shù)相等的概念：設(shè)有兩個邏輯函數(shù),它們的變量都是A、B、C、，如果對應(yīng)于變量A、B、C、的任何一組變量取值，Y1和Y2的值都相同，則稱Y1和Y2是
14、相等的，記為Y1=Y2。,若兩個邏輯函數(shù)相等，則它們的真值表一定相同；反之，若兩個函數(shù)的真值表完全相同，則這兩個函數(shù)一定相等。因此，要證明兩個邏輯函數(shù)是否相等，只要分別列出它們的真值表，看看它們的真值表是否相同即可。,,證明等式：,36,6.4 邏輯函數(shù)的簡化,實現(xiàn)同一邏輯功能的邏輯函數(shù)表達式可以是多種多樣的，它們在繁簡程度上會有所差異。 邏輯函數(shù)的簡化就是將較繁的邏輯函數(shù)表達式變換為與之等效的最簡邏輯函數(shù)表達式。 實際上，邏輯函數(shù)是依靠邏輯電路來實現(xiàn)其邏輯功能。邏輯函數(shù)的簡化意味著用較少的邏輯器件合理而經(jīng)濟地實現(xiàn)同樣的邏輯功能，這對于提高電路的可靠性和降低成本都是有利的。 邏輯函數(shù)的簡化主要
15、有公式化簡法和卡諾圖化簡法兩種方法。,37,6.4 邏輯函數(shù)的簡化,6.4.1 公式化簡化法,公式化簡法就是利用邏輯代數(shù)的定理公式進行化簡。簡化的原則以項數(shù)最少，每一項所含的變量數(shù)最少為最佳。,合并項法,可將兩項合并為一項，并消去B和,這一對互補因子。A和B可以是任何復(fù)雜的邏輯式。,利用公式,1、與或式的簡化,38,6.4.1 公式化簡化法,吸收法,利用,吸收多余因子，A和B均可為任意復(fù)雜 的邏輯函數(shù)。,例 利用吸收法化簡邏輯函數(shù),解,39,6.4.1 公式化簡化法,削去法,利用公式,削去多余的變量；,削去多余項。,利用公式,例 利用削去法化簡下列邏輯函數(shù),解,,,40,6.4.1 公式化簡化
16、法,添項法,利用公式,進行添項。利用所添的項與其他項進行合并達到簡化目的。,41,6.4.1 公式化簡化法,2、或與式的簡化,或與式的簡化可采用直接公式簡化法或兩次對偶簡化法。,例化簡邏輯函數(shù),解一 直接公式簡化法,吸收,削去,解二 兩次對偶簡化法,吸收,削去,42,6.4.2 卡諾圖簡化法,卡諾圖是將真值表換一種畫法，使其保留真值表的特性，又便于作邏輯運算。,1、邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法,設(shè)有n個邏輯變量A1An，P是由這n個邏輯變量構(gòu)成的與項。如果在與項P中，所有的變量都以原變量( )或者反變量( )的形式出現(xiàn)且僅出現(xiàn)一次，則稱與項P為最小項，記作mi。,注：下標i按下面規(guī)則確定：將變量A
17、1An按順序排列，如果與項中變量以原變量形式出現(xiàn)則代之以1，以反變量形式出現(xiàn)則代之以0，那么它們按序排列成一個二進制數(shù)，將二進制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進制數(shù)即為下標i。,43,6.4.2 卡諾圖簡化法,對于n個邏輯變量，其所構(gòu)成的最小項共有2n個。如A、B、C,三個邏輯變量所構(gòu)成的最小項共有八個。,44,6.4.2 卡諾圖簡化法,最小項具有以下性質(zhì)： 對于邏輯變量的任一組取值，只有一個最小項的值等于1，其他最小項的值皆等于0 ；所以，可認為邏輯變量的任一組取值都對應(yīng)著一個最小項。 任意兩個不同的最小項之積為0。 全體最小項之和等于1。,,,,,,45,6.4.2 卡諾圖簡化法,將邏輯函數(shù)變換為最小項標準型
18、的方法,方法一：利用真值表將邏輯函數(shù)變換為最小項標準型：,首先作出函數(shù)的真值表，找出真值表中使F為1的變量取值組合，而后分別寫出其所對應(yīng)的最小項(如果變量取值為1取原變量，變量取值為0取反變量)，最后將所構(gòu)成的最小項相或，即得最小項標準型。,最小項的標準型：將最小項相或，即為最小項標準型， 也稱標準與或式。,46,6.4.2 卡諾圖簡化法,方法二 利用公式,+,=1將函數(shù)變換為最小項標準型。,解,47,6.4.2 卡諾圖簡化法,卡諾框的構(gòu)成,卡諾框是一種二維圖表，由真值表變換而來。它是將真值表中的變量分為兩組，一組作行變量，一組作列變量，為了便于簡化，變量的取值按照循環(huán)碼的方式排列。,,,邏輯
19、相鄰：如果對應(yīng)兩組變量的取值，只有一個變量取值不同，則這兩組變量取值所對應(yīng)的小方格或最小項為邏輯相鄰。,48,6.4.2 卡諾圖簡化法,從卡諾框的構(gòu)成可以看出：,幾何位置上相鄰的小方格或最小項，在邏輯上具有相鄰性。 水平方向同一行里最左和最右的小方格或最小項，以及垂直方向同一列最上和最下的小方格或最小項在邏輯上是相鄰的。 例如，在四變量卡諾框中，與最小項m4邏輯相鄰的有m0、m5、m6和m12。,49,6.4.2 卡諾圖簡化法,卡諾圖表示邏輯函數(shù),卡諾框只是一個空的表格，如果在每個小方格填入相應(yīng)的函數(shù)值，所構(gòu)成的圖表稱為卡諾圖。 對于一個給定的邏輯函數(shù)，一般有三種方法作出它的卡諾圖，即真值表法
20、、標準型法和觀察法。,真值表法：先作出已知邏輯函數(shù)的真值表，然后將表中每一欄函數(shù)值填入卡諾框中相應(yīng)的小方格。,標準型法：將已知函數(shù)轉(zhuǎn)換為最小項標準型，然后在卡諾框中與函數(shù)所含最小項對應(yīng)的小方格上填1，其余填0。為簡化作圖，通常只填寫一種邏輯值。,觀察法：直接觀察已知函數(shù)，找出使函數(shù)等于1(或0)的變量取值，然后在卡諾框中相應(yīng)的小方格內(nèi)填入1(或0)。,50,6.4.2 卡諾圖簡化法,例 試用卡諾圖表示邏輯函數(shù),,解：第一步，展開為最小項標準型,第二步，用卡諾圖表示,,,51,6.4.2 卡諾圖簡化法,例6-16 試用卡諾圖表示邏輯函數(shù),=,+,+,,,,52,6.4.2 卡諾圖簡化法,2、利用
21、卡諾圖簡化邏輯函數(shù),（1）公式 的應(yīng)用,解 利用公式化簡法中的合并項法，將函數(shù)簡化為,根據(jù)表達式的形式可知，利用這個圈削去了在圈中取值發(fā)生變化的變量B，保留了在圈中取值未發(fā)生變化的變量A、C、D，并用A、C、D來構(gòu)成與項 ，其構(gòu)成的規(guī)則為：如果變量取值為1則取原變量，如果變量取值為0則取反變量。,53,6.4.2 卡諾圖簡化法,可得出卡諾圖化簡規(guī)則一如下： 將邏輯值為1的相鄰最小項圈起來，為了使函數(shù)最簡，圈要盡可能大，但圈中所含1的個數(shù)必須為2的冪次方，如1個、2個、4個、8個等。 一個圈代表一個與項，由圈中取值未發(fā)生變化的變量構(gòu)成，如果變量取值為1則取原變量，取值為0則取反變量。,
22、54,6.4.2 卡諾圖簡化法,(2) 公式 的應(yīng)用 卡諾圖化簡規(guī)則二：為了使函數(shù)得到最佳簡化，圈 過的1格可重復(fù)被圈，即合并圈可以部分重疊。,55,6.4.2 卡諾圖簡化法,（3）,卡諾圖化簡規(guī)則三：若一個合并圈中所含的“1”格均被其 他合并圈圈過則這個合并圈是多余的，必須消除。,56,6.4.2 卡諾圖簡化法,在應(yīng)用卡諾圖對函數(shù)進行簡化時還應(yīng)注意： 畫合并圈是針對卡諾圖中的“1”格，為盡量避免出現(xiàn)多余圈，著手點應(yīng)從孤立的“1”格。 每個“1”格必須至少被圈過一次，圈過的“1”格可重復(fù)被圈。 對同一邏輯函數(shù)而言，合并圈的畫法并不惟一，以圈數(shù)最少、圈最大為最佳。 每個圈代表一個與項，
23、將所有的與項相或，得出的結(jié)果為最簡與或表達式。 最簡式可能不是惟一的。,57,6.4.2 卡諾圖簡化法,根據(jù)所畫的圈 將最簡與或式寫出來為,58,6.4.2 卡諾圖簡化法,3、具有無關(guān)最小項的邏輯函數(shù)的簡化,一個n變量的邏輯函數(shù)應(yīng)該有2 n組變量取值。但在有些實際邏輯事件中，有的邏輯函數(shù)并不是2n組變量取值都有確定的函數(shù)值(0或1)，而是其中的一部分有確定的值，另一部分沒有確定的值。 我們把這些無確定函數(shù)值的變量取值所對應(yīng)的最小項稱為無關(guān)最小項，簡稱無關(guān)項，又稱隨意項或約束項，用d來表示。,59,作業(yè),6.12、6.14 （1）（2）、6.15 6.16 （1）（4）、6.17 （1）（3）（5）,
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