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1、第6章 常微分方程,對(duì)自然界的深刻研究,傅里葉,微積分研究的對(duì)象是函數(shù)關(guān)系,但在實(shí)際問題中,往往很難直接得到,所研究的變量之間的函數(shù)關(guān)系,卻,比較容易建立起,這些變量與它們的導(dǎo)數(shù)或微分之,間的聯(lián)系,從而得到一個(gè),分的方程,即微分方程.,通過求解這種方程,同樣可,以找到指定未知量之間的函數(shù)關(guān)系.,因此,微分方程是數(shù)學(xué)聯(lián),關(guān)于未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微,是數(shù)學(xué)最富饒的源泉.,系實(shí)際,并應(yīng)用于實(shí)際,并應(yīng)用于實(shí)際的重要途徑和橋梁,是各個(gè)學(xué)科進(jìn)行,科學(xué)研究的強(qiáng)有力的工具.,如果說“數(shù)學(xué)是一門理性思維的科學(xué),是研究、,了,解和知曉現(xiàn)實(shí)世界的工具”,那么微分方程就是,顯示數(shù)學(xué)的這種威力和價(jià)值的一種體現(xiàn).,現(xiàn)實(shí)世界中
2、的許,多實(shí)際問題,都可以抽象為微分,方程問題.例如,物體,的冷卻、,琴弦的,震動(dòng)、電磁波的傳播等,都可以歸結(jié)為微分方程,的問題.,人口的增長(zhǎng)、,微分方程是一門獨(dú)立的數(shù)學(xué)學(xué)科,有完整的,理論體系.,本章我們主要介紹微分方程的一些基本概念,種常用的微分方程的求解方法,線性微分方程,解的理論.,幾,這時(shí)微分方程也稱為,所研究問題的數(shù)學(xué)模型.,解,一、問題的提出,6.1 微分方程的基本概念,解,代入條件后知,故,開始制動(dòng)到列車完全停住共需,微分方程: 凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程叫微分方程.,例,實(shí)質(zhì): 聯(lián)系自變量,未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些導(dǎo)數(shù)(或微分)之間的關(guān)系式.,二、微分方程的定義,微分方
3、程的階: 微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最 高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱之.,分類1: 常微分方程, 偏常微分方程.,一階微分方程,高階(n)微分方程,分類2:,分類3: 線性與非線性微分方程.,分類4: 單個(gè)微分方程與微分方程組.,微分方程的解: 代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù)稱之.,微分方程的解的分類：,三、主要問題-求方程的解,(1)通解: 微分方程的解中含有任意常數(shù),且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同.,(2)特解: 確定了通解中任意常數(shù)以后的解.,解的圖象: 微分方程的積分曲線.,通解的圖象: 積分曲線族.,初始條件: 用來確定任意常數(shù)的條件.,過定點(diǎn)的積分曲線;,一階:,二階:,過定點(diǎn)且在
4、定點(diǎn)的切線的斜率為定值的積分曲線.,初值問題: 求微分方程滿足初始條件的解的問題.,求所滿足的微分方程 .,例2. 已知曲線上點(diǎn) P(x, y) 處的法線與 x 軸交點(diǎn)為 Q,解: 如圖所示,令 Y = 0 , 得 Q 點(diǎn)的橫坐標(biāo),即,點(diǎn) P(x, y) 處的法線方程為,且線段 PQ 被 y 軸平分,解,所求特解為,補(bǔ)充:,微分方程的初等解法: 初等積分法.,求解微分方程,求積分,(通解可用初等函數(shù)或積分表示出來),例5,其中,為任意常數(shù).,解,求曲線族所滿足的方程,就是求一微分方程,所給的曲線族正好是該微分方程的積分曲線族.,此所求的微分方程的階數(shù)應(yīng)與,常數(shù)的個(gè)數(shù)相等.,這里,法來得到所求的微分方程.,已知曲線族中的任意,我們通過消去任意常數(shù)的方,得,再?gòu)?解出,代入上式得,使,因,化簡(jiǎn)即得到所求的微分方程,微分方程;,微分方程的階;,微分方程的解;,通解;,初始條件;,特解;,初值問題;,積分曲線;,四、小結(jié),思考題,思考題解答,中不含任意常數(shù),故為微分方程的特解.,練 習(xí) 題,練習(xí)題答案,
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