微積分學(xué)PPt標(biāo)準(zhǔn)課件34-第34講微分方程的概念

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1、 一元微積分學(xué),大 學(xué) 數(shù) 學(xué)（一）,第三十四講 常微分方程,腳本編寫(xiě)：劉楚中,教案制作：劉楚中,第七章 常微分方程,本章學(xué)習(xí)要求：,了解微分方程、解、通解、初始條件和特解的概念. 了解下列幾種一階微分方程：變量可分離的方程、齊次方 程、一階線(xiàn)性方程、伯努利（Bernoulli）方程和全微分 方程.熟練掌握分離變量法和一階線(xiàn)性方程的解法. 會(huì)利用變量代換的方法求解齊次方程和伯努利方程. 知道下列高階方程的降階法：,了解高階線(xiàn)性微分方程階的結(jié)構(gòu)，并知道高階常系數(shù)齊線(xiàn) 性微分方程的解法. 熟練掌握二階常系數(shù)齊線(xiàn)性微分方程的解法. 掌握自由項(xiàng)（右端）為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余 弦函數(shù)以及它們的

2、和或乘積的二階常系數(shù)非齊線(xiàn)性微分方 程的解法.,在許多物理、力學(xué)、生物等現(xiàn)象中，不能直接找到聯(lián)系所研究的那些量的規(guī)律，但卻容易建立起這些量與它們的導(dǎo)數(shù)或微分間的關(guān)系。,第一節(jié) 微分方程的基本概念,常微分方程,方程的階數(shù),線(xiàn)性方程、非線(xiàn)性方程,方程的解、通解、特解、所有解,初始條件（定解條件）,積分曲線(xiàn)（解的幾何意義）,初值問(wèn)題、初值問(wèn)題的解,齊次方程、非齊次方程,常微分方程,含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的方程，稱(chēng)為微分方程。,未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程，稱(chēng)為常微分方程。,未知函數(shù)為多元函數(shù)的微分方程，稱(chēng)為偏微分方程。,常微分方程,偏微分方程,常微分方程的階數(shù),微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

3、（或微分）的,最高次數(shù)，稱(chēng)為微分方程的階數(shù)。,一階,二階,一階,線(xiàn)性方程、非線(xiàn)性方程,若一個(gè)方程對(duì)未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的全體而言是一次的，,且系數(shù)只與自變量有關(guān)（與未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)無(wú)關(guān)），則稱(chēng),該方程為線(xiàn)性方程，否則，稱(chēng)之為非線(xiàn)性方程。,線(xiàn)性,線(xiàn)性,非線(xiàn)性,齊方程、非齊次方程,在方程中，不含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的項(xiàng)，稱(chēng)為自由項(xiàng)。,自由項(xiàng)為零的方程，稱(chēng)為齊方程。,自由項(xiàng)不為零的方程，稱(chēng)為非齊方程。,一階齊線(xiàn)性方程,二階非齊線(xiàn)性方程,一階非齊非線(xiàn)性方程,微分方程的一般表示形式,方程的解、通解、特解、所有解,解,代入方程，得,微分方程的解不一定都能用初等函數(shù)表示出來(lái)。,此時(shí)可求數(shù)值解,初始條件（定解條件）,由自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)以及數(shù)學(xué)本身建立微分方程時(shí)，往往同時(shí)知道微分方程的解應(yīng)滿(mǎn)足某些已知的條件。這些已知條件就稱(chēng)為微分方程的初始條件或定解條件。,解,微分方程,初始條件,通解,特解,解,微分方程,初始條件,通解,特解,有何想法？,積分曲線(xiàn)（解的幾何意義）,常微分方程解的幾何圖形稱(chēng)為它的積分曲線(xiàn)。,通解的圖形是一族積分曲線(xiàn)。,特解是這族積分曲線(xiàn)中過(guò)某已知點(diǎn)的那條曲線(xiàn)。,在求微分方程數(shù)值解時(shí)，往往需要研究解的存在性、唯一性和穩(wěn)定性。,常微分方程的初等方法,介紹常微分方程的解法,分離變量法,常數(shù)變易法,積分因子法,變量代換法,降階法,高階線(xiàn)性常系數(shù)微分方程解法,特征值法,變量代換法,