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1、第一章 運(yùn)動(dòng)學(xué)
1．4 一個(gè)正在沿直線行駛的汽船，關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)后，由于阻力得到一個(gè)與速度反向、大小與船速平方成正比例的加速度，即dv/dt = -kv2，k為常數(shù)．
（1）試證在關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)后，船在t時(shí)刻的速度大小為；
（2）試證在時(shí)間t內(nèi)，船行駛的距離為．
[證明]（1）分離變量得，
積分 ，
可得 ．
（2）公式可化為，
由于v = dx/dt，所以
積分 ．
因此 ． 證畢．
1．5 一質(zhì)點(diǎn)沿半徑為0.10m的圓周運(yùn)動(dòng)，其角位置（以弧度表示）可用公式表示：θ = 2 + 4t3．求：
（1）t = 2s時(shí)，它的法向加
2、速度和切向加速度；
（2）當(dāng)切向加速度恰為總加速度大小的一半時(shí)，θ為何值？
（3）在哪一時(shí)刻，切向加速度和法向加速度恰有相等的值？
[解答]（1）角速度為
ω = dθ/dt = 12t2 = 48(rads-1)，
法向加速度為
an = rω2 = 230.4(ms-2)；
角加速度為
β = dω/dt = 24t = 48(rads-2)，
切向加速度為
at = rβ = 4.8(ms-2)．
（2）總加速度為a = (at2 + an2)1/2，
當(dāng)at = a/2時(shí)，有4at2 = at2 + an2，即
．
由此得，
即 ，
解
3、得 ．
所以
=3.154(rad)．
（3）當(dāng)at = an時(shí)，可得rβ = rω2，
即 24t = (12t2)2，
解得 t = (1/6)1/3 = 0.55(s)．
1．8 一升降機(jī)以加速度1.22ms-2上升，當(dāng)上升速度為2.44ms-1時(shí)，有一螺帽自升降機(jī)的天花板上松落，天花板與升降機(jī)的底面相距2.74m．計(jì)算：
（1）螺帽從天花板落到底面所需的時(shí)間；
（2）螺帽相對(duì)于升降機(jī)外固定柱子的下降距離．
[解答]在螺帽從天花板落到底面時(shí)，升降機(jī)上升的高度為
；
螺帽做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，位移為
．
由題意得h = h1 - h2，所
4、以
，
解得時(shí)間為
= 0.705(s)．
算得h2 = -0.716m，即螺帽相對(duì)于升降機(jī)外固定柱子的下降距離為0.716m．
[注意]以升降機(jī)為參考系，釘子下落時(shí)相對(duì)加速度為a + g，而初速度為零，可列方程
h = (a + g)t2/2，
由此可計(jì)算釘子落下的時(shí)間，進(jìn)而計(jì)算下降距離．
1．10 如圖所示，一汽車(chē)在雨中沿直線行駛，其速度為v1，下落雨的速度方向與鉛直方向的夾角為θ，偏向于汽車(chē)前進(jìn)方向，速度為v2．今在車(chē)后放一長(zhǎng)方形物體，問(wèn)車(chē)速v1為多大時(shí)此物體剛好不會(huì)被雨水淋濕？
v1
h
l
v2
θ
v3
α
α
v⊥
[解答]雨對(duì)地的速度等于
5、雨對(duì)車(chē)的速度加車(chē)對(duì)地的速度，由此可作矢量三角形．根據(jù)題意得tanα = l/h．
方法一：利用直角三角形．根據(jù)直角三角形得
v1 = v2sinθ + v3sinα，
其中v3 = v⊥/cosα，而v⊥ = v2cosθ，
因此v1 = v2sinθ + v2cosθsinα/cosα，
即 ． 證畢．
方法二：利用正弦定理．根據(jù)正弦定理可得
，
所以
，
即 ．
方法三：利用位移關(guān)系．將雨滴的速度分解為豎直和水平兩個(gè)分量，在t時(shí)間內(nèi)，雨滴的位移為
l = (v1 – v2sinθ)t，
h = v2cosθ?t．
兩式消去時(shí)間t即得所求． 證畢．
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