考研輔導(dǎo)班弟三講多元微積分學(xué).ppt

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1、 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 多 元 微 分 學(xué) 第 三 講 一 、 歷 年 試 題 分 類 統(tǒng) 計 及 考 點 分 布 二 、 考 點 綜 述 及 主 要 解 題 方 法 與 技 巧三 、 真 題 解 析 一 、 歷 年 試 題 分 類 統(tǒng) 計 及 考 點 分 布 (1)偏 導(dǎo) 數(shù) 與 全 微 分 定 義 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 (2)偏 導(dǎo) 數(shù) 與 全 微 分 計 算二 、 考 點 綜 述 與 主 要 解 題 方 法 與 技 巧(3)極 值 與 最 值(4)方 向 導(dǎo) 數(shù) 與 梯 度 ( )偏 導(dǎo) 數(shù) 與 全 微 分 定 義 問 題(a)偏 導(dǎo)

2、數(shù) 定 義(b)偏 導(dǎo) 數(shù) 定 義 推 廣 )( 0 xf )()( 00 xfxxf x0limx 0dd xxxy x yxfyxxfx ),(),(lim 00000),( 00 yxfx ),( zyxfx lim0 x ), ( zyf ),( zyfxxx x (c)全 微 分 定 義全 微 分可 微 ,)(oyBxAz 22 )()( yx yBxAfz dd 00),(dd00 xxyxfxxf xx yy 0 ),(yy yxfzxTM0 00 ),(dd00 yyyxfyyf xx yy 是 曲 線 0 ),(xx yxfz yTM0在 點 M0 處 的 切 線對 x 軸

3、的 斜 率 .在 點 M0 處 的 切 線斜 率 .是 曲 線 yxz0 x yToxT 0y0M 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 對 y 軸 的 (d)偏 導(dǎo) 數(shù) 幾 何 意 義 連 續(xù) 可 微 (d)偏 導(dǎo) 數(shù) ,可 微 與 連 續(xù) 的 關(guān) 系 偏 導(dǎo) 數(shù) 存 在 在 點 (0,0) 可 微 .例 1在 點 (0,0) 連 續(xù) 且 偏 導(dǎo) 數(shù) 存 在 ,續(xù) , ),( yxf而 ),( yxf )0,0(),(,1sin 22 yxyxyx )0,0(),(,0 yx證 : 1) 因 221sin yxxy 0),(lim00 yxfyx )0,0(f故 函 數(shù) 在 點 (

4、0, 0) 連 續(xù) ; 但 偏 導(dǎo) 數(shù) 在 點 (0,0) 不 連 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 證 明 函 數(shù) xy 2 22 yx 所 以 ),( yxf )0,0(),(,1sin 22 yxyxxy )0,0(),(,0 yx),( yxfx ,)0,0(),( 時當(dāng) yx ,)0,0(),( 時趨 于沿 射 線當(dāng) 點 xyyxP ,0)0,( xf ;0)0,0( xf .0)0,0( yf同 理y 221sin yx 322 2 )( yx yx 221cos yx ),(lim )0,0(),( yxfxxx 極 限 不 存 在 , ),( yxfx 在 點 (

5、0,0)不 連 續(xù) ;同 理 , ),( yxfy 在 點 (0,0)也 不 連 續(xù) .xx (lim0 |21sin x 33 |22 xx )|21cos x2)3) 題 目 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 ),( yxf )0,0(),(,1sin 22 yxyxxy )0,0(),(,0 yx,)()( 22 yx 4) 下 面 證 明 )0,0(),( 在 點yxf 可 微 : yfxff yx )0,0()0,0( 1sinyx x 0 0.)0,0(),( 可 微在 點yxf說 明 : 此 題 表 明 , 偏 導(dǎo) 數(shù) 連 續(xù) 只 是 可 微 的 充 分 條 件 .令 則

6、題 目 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 ( )偏 導(dǎo) 數(shù) 與 全 微 分 計 算 問 題 復(fù) 合 函 數(shù) 求 導(dǎo)設(shè) 函 數(shù) (2 , sin )z f x y y x 例 函 數(shù) f 具 有 二 階 連 續(xù) 偏 導(dǎo) 數(shù) ， 求 2zx y ， 其 中 復(fù) 合 函 數(shù) 求 導(dǎo)設(shè) 函 數(shù) ( , ( )z f xy yg x(11年 考 研 真 題 9分 ) ， 其 中 函 數(shù) f 具 有 二 階連 續(xù) 偏 導(dǎo) 數(shù) ， 函 數(shù) g(x)可 導(dǎo) 且 在 x=1處 取 得 極 值 g(1)=1,求 2 11xyzx y 復(fù) 合 函 數(shù) 求 導(dǎo)設(shè)

7、函 數(shù) 2 02 20 2sin( , ) ,1xy xyt FF x y dtt x 求(11年 考 研 真 題 4分 ) 隱 函 數(shù) 求 導(dǎo) 2 0,F設(shè) 函 數(shù) ( , )z z x y(10年 考 研 真 題 4分 ) 由 方 程 確 定 ， 其 中 F為 可 微 函 數(shù) ， 且 z zyx y 求 x ( , ) 0y zF x x 隱 函 數(shù) 求 導(dǎo)設(shè) 函 數(shù) ( , )z z x y練 習(xí) 由 方 程 確 定 ， 其 中 F有 連 續(xù) 偏 導(dǎo) 數(shù) ， z zyx y 求 x ( , ) 0z zF x yy x 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 函 數(shù) 極 值 問

8、題 、 多 元 函 數(shù) 極 值 問 題無 條 件 極 值有 條 件 極 值 顯 函 數(shù)隱 函 數(shù)閉 區(qū) 域 邊 界 上閉 區(qū) 域 上 必 要 條 件充 分 條 件 . .無 條 件 極 值 -顯 函 數(shù)求 函 數(shù) 2 22)( yxxexf (12年 考 研 真 題 10分 ) 的 極 值 思 路 解 析 ：( ) 典 型 的 無 條 件 極 值 顯 函 數(shù) 問 題 先 求 駐 點時 , 具 有 極 值(2)令則 : 1) 當(dāng) A0 時 取 極 小 值 .2) 當(dāng)3) 當(dāng) 時 , 沒 有 極 值 .時 , 不 能 確 定 , 需 另 行 討 論 . ),(,),(,),( 000000 yxf

9、CyxfByxfA yyyxxx 02 BAC 02 BAC 02 BAC .2.無 條 件 極 值 -隱 函 數(shù)設(shè) 函 數(shù) ),( yxzz( 年 考 研 真 題 1 分 ) 是 由 思 路 解 析 ：( ) 典 型 的 無 條 件 極 值 （ 隱 函 數(shù) ） 先 用 必 要 條 件 求 駐 點0182106 222 zyzyxyx確 定 的 函 數(shù) ， 求 ),( yxzz 的 極 值 點 和 極 值 (2) 用 充 分 條 件 判 別 可 疑 點 已 知 曲 線 ,53 02: 222 zyx zyxC(08年 考 研 真 題 11分 ) 求 C上 距 離 xoy面 最思 路 解 析 ：

10、( ) 典 型 的 兩 條 件 極 值 問 題 閉 區(qū) 域 邊 界 上 的 最 值 ， 近 和 最 遠 的 點用 拉 格 朗 日 乘 數(shù) 法3. .條 件 極 值 -閉 區(qū) 域 邊 界 上 的 最 值 為 中 心 在 原 點 的 橢 圓 ,求 它 的 面 積 )0,0(12 222 BACCcyBxyAxba, abS 思 路 解 析 ：分 別 是 半 長 軸 與 半 短 軸 ,它 們 分 別 是 橢 圓 上 點 到 中心 的 距 離 的 最 大 值 與 最 小 值練 習(xí) . 已 知 平 面 曲 線 ,用 拉 格 朗 日 乘 數(shù) 法 的 面 積 為 S， 三 邊 長 分 別 為 a,b,c,A

11、BC思 路 解 析 ：從 其 內(nèi) 部 的 點 P向 三 邊 作 三 條 垂 線 ， ， 求 使 此 三 條 垂 線乘 積 為 最 大 的 點 P的 位 置 .條 件 ： 面 積 為 S練 習(xí) . 已 知用 拉 格 朗 日 乘 數(shù) 法 .4.條 件 極 值 -閉 區(qū) 域 上 的 最 值求 函 數(shù) 2 2 2 2: ( , ) 2C f x y x y x y (0 年 考 研 真 題 11分 ) 在 區(qū) 域思 路 解 析 ：( ) 典 型 的 條 件 極 值 問 題 閉 區(qū) 域 邊 界 內(nèi) 的 最 值 ，上 的 最 大 最 小 值 0,4),( 22 yyxyxD內(nèi) 部 點 為 駐 點 ,邊 界

12、 點 用 拉 格 朗 日 乘 數(shù) 法 .方 向 導(dǎo) 數(shù) 與 梯 度 問 題(a)方 向 導(dǎo) 數(shù) 定 義 0 00( ) ( )limP P f P f PPP lf ,)()()( 222 zyx ,cosx ,cosy cosz ),(),(lim0 zyxfzzyyxxf .方 向 導(dǎo) 數(shù) 與 梯 度 問 題l(a)方 向 導(dǎo) 數(shù) 定 義 （ 1） 0 00( ) ( )limP P f P f PPP lf 0 ( cos , cos ) ( , )limt f x t y t f x yt 為 平 面 直 線 00 coscosx x ty y t l(a)方 向 導(dǎo) 數(shù) 定 義 式

13、（ 2）0 00( ) ( )limP P f P f PPP lf 0 ( cos , cos , cos ) ( , , )limt f x t y t z t f x y zt 為 空 間 直 線 000 coscoscosx x ty y tz z t (b)方 向 導(dǎo) 數(shù) 計 算 式 （ 1）對 于 二 元 函 數(shù) ( , ),f x y為 , ， 的 方 向 導(dǎo) 數(shù) 為 ( , ) (P x y l在 點 處 沿 方 向 方0 ( cos , cos ) ( , )limtf f x t y t f x yl t cos),(cos),( yxfyxf yx P lxyo xflf

14、 特 別 : 當(dāng) l 與 x 軸 同 向 有時 ,2,0 當(dāng) l 與 x 軸 反 向 有時 ,2, xflf l 向 角 (b)方 向 導(dǎo) 數(shù) 計 算 式 （ 2）對 于 三 元 函 數(shù) ( , , ),f x y z為 , ( , , ) (P x y z l在 點 處 沿 方 向 方0 ( cos , cos , cos ) ( , , )limtf f x t y t z t f x y zl t ( , , )cos ( , , )cos ( , , )cos x y zf x y z f x y z f x y z xflf 特 別 : 當(dāng) l 與 x 軸 同 向 0, , 0 ,2

15、 時 有 當(dāng) l 與 x 軸 反 向 , , 0 ,2 時 有 xflf 向 角 的 方 向 導(dǎo) 數(shù) 為 例 1. 求 函 數(shù) 在 點 P(1, 1, 1) 沿 向 量zyxu 2 ,1,2( l3) 的 方 向 導(dǎo) 數(shù) . ,142cos Plu )1,1,1(146 ,141cos 143cos 1422 zyx 1412 zx 1432yx 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 解 : 向 量 l 的 方 向 余 弦 為 例 2. 求 函數(shù) 在 點 P(2, 3)沿 曲 線223 yyxz 12 xy朝 x 增 大 方 向 的 方 向 導(dǎo) 數(shù) .解 :將 已 知 曲 線 用 參

16、 數(shù) 方 程 表 示 為2)2,1( xx Plz它 在 點 P 的 切 向 量 為 ,171cos 1760 xo y 2P 1 2xy xx 1716 xy 174)23( 2 yx )3,2()4,1( 174cos 1 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 例 3. 設(shè) 是 曲 面n 在 點 P(1, 1, 1 )處指 向 外 側(cè) 的 法 向 量 ,解 : 方 向 余 弦 為 ,142cos ,143cos 141cos 而 Pxu ,148 Pyu 14 Pzu Pnu同 理 得 )1,3,2(2 632 222 zyx方 向 的 方 向 導(dǎo) 數(shù) . Pzyx )2,6,4

17、( 146 711 1143826141 Pyxz x 22 86 6 z yxu 22 86 在 點 P 處 沿求 函 數(shù) 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 nn 方 向 導(dǎo) 數(shù) 公 式 ( , )cos ( , )cosx yf f x y f x yl 梯 度 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 (, ), (, )x yG f xy f xy (c)梯 度 定 義 ( ( , ), ( , )(cos ,cos )x yf xy f xy 梯 度 定 義 式 fadrg三 元 函 數(shù) f (P) 在 點 P 處 的 梯 度 zfyfxf , kzfjyfixf

18、 (gradient), 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 說 明 : 函 數(shù) 的 方 向 導(dǎo) 數(shù) 為 梯 度 在 該 方 向 上 的 投 影 . 二 元 函 數(shù) ),( yxf ),( yxP jyfixfyfxff ,grad 在 點 處 的 梯 度 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 面 上 的 投在曲 線 xoyCz yxfz ),(CyxfL ),(:*影 稱 為 函 數(shù) f 的 等 值 線 . oy x1cf 2cf 3cf )( 321 ccc 設(shè) P,),( yxfz對 函 數(shù)（ d)梯 度 的 幾 何 意 義 x yO yx z 1z y2z 2 2

19、2 22 yxz 1z 2z x旋 轉(zhuǎn) 曲 面 ),( yxM),(),( yxyzxzf 結(jié) 論 1: 任 意 點 梯 度 向 量 垂 直 于 該 點 等 值 線 （ 的 切 線 ） 為 了 更 形 象 地 理 解 梯 度 的 特 征 , 不 妨 將 函 數(shù)z = f (x, y)的 圖 形 想 象 為 一 座 山 ,如 果 你 向 梯 度 方 向 爬 山 , 總 是 沿 著 梯 度 垂 直 的 方 向 走 , 那 么 你 一 定 上 不 了 山 ,因 為 在 這 種 情 況 下 你 總 是 在 一 (如 圖 ). 如 果 你最 陡 , 最 費 力 ; ),( yxfzfgrad條 等 高

20、線 上 走 . 討 論 規(guī) 劃 最 優(yōu) 解 問 題梯 度 方 向 與 函 數(shù) 值 變 化 的 關(guān) 系 . 0,0 512 22.max yx yx xy xyts yxz最 優(yōu) 解 （ 1， 4） （ 梯 度 方 向 是 函 數(shù) 值 增 大 最 快 的 方 向 .） 5x y xy2 2y x x y c 12xy ( 1,1) coscos yfxflf ( , ) (cos ,cos )f fx y 驗 證 ： cos),( 00 leyxgradf cos),( 00 yxgradfoy xcf 方 向l 驗 證 ： ),( 00 yxlf這 說 明 . cos),( 00 yxgrad

21、f梯 度 方 向 是 函 數(shù) 值 增 大 最 快 的 方 向 .0f 變 化 率 最 大 即 梯 度 方 向 是 函 數(shù) 值 增 大 最 快 的 方 向 .l與 梯 度 方 向 重 合 時1cos 2. 2 f 變 化 率 為 零 即 沿 等 值 線 方 向 ， 函 數(shù) 值 不 變 l與 梯 度 方 向 垂 直 時0cos . f 變 化 率 最 小 即 沿 梯 度 相 反 方 向 ， 是 函 數(shù) 值 減 少 最 快 .l與 梯 度 方 向 相 反 時 1cos 討 論 函 數(shù) 變 化 率 的 最 值 問 題 lf cos),( yxgradf ),(max yxgradflf 梯 度 與 方

22、 向 導(dǎo) 數(shù) 的 關(guān) 系例 ： )1,1(,2),( 022 Pyxyxf （ ） 問 在 點 (1, )處 ， 沿 什 么 方 向 電 壓 升 高 最 快 ?其 速 率 為 多 少 ?設(shè) 一 金 屬 板 上 電 壓 的 分 布 函 數(shù) 為（ ） 問 在 點 (1, )處 ， 沿 什 么 方 向 電 壓 下 降 最 快 ?其 速 率 為 多 少 ?（ ） 問 在 點 (1, )處 ， 沿 什 么 方 向 電 壓 變 化 最 慢 ？ f. 關(guān) 系 方 向 導(dǎo) 數(shù) 存 在 偏 導(dǎo) 數(shù) 存 在 可 微 0grad lflf 方 向 導(dǎo) 數(shù) 是 梯 度 在 方 向 l 上 的 投 影 .梯 度 是 方

23、 向 導(dǎo) 數(shù) 取 得 最 大 值 的 方 向 求 )1,1,2()( yzxygrad ( 年 考 研 真 題 分 ) 思 路 解 析 ：( ) 考 察 梯 度 定 義 與 計 算 求 yxyxf arctan),( ( 年 考 研 真 題 分 ) 思 路 解 析 ：( ) 考 察 梯 度 定 義 與 計 算在 點 （ ， ） 的 梯 度 設(shè) 函 數(shù) ,181261),( 222 zyxzyxu ( 年 考 研 真 題 分 ) 思 路 解 析 ：( ) 考 察 方 向 導(dǎo) 數(shù) 定 義 與 計 算單 位 向 量 ),1,1,1(31n 則 )3,2,1(nu （ ） 指 向 B( 3, 2 ,

24、2) 方 向 的 方 向 導(dǎo) 數(shù) 是 .在 點 A( 1 , 0 , 1) 處 沿 點 Axd d函 數(shù) )ln( 22 zyxu 提 示 : 31,32,32 則 cos,cos,cos Axu )1ln( x 1x ,21yd d Ayu )11ln( 2 y 0y ,0(96考 研 真 題 ) 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 ,)1,2,2( AB 0ABl 21 21 Azu coscoscos zuyuxulu 21 函 數(shù) )ln( 222 zyxu 在 點 )2,2,1( M處 的 梯 度 Mugrad )2,2,1(,grad zuyuxuu M解 : ,222

25、 zyxr 令 則 xu 21r x2注 意 x , y , z 具 有 輪 換 對 稱 性)2,2,1(222 2,2,2 rzryrx )2,2,1(92 )2,2,1(92 (92年 考 研 真 題 ) 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 設(shè) 有 一 小 山 ， 取 它 的 底 面 為 xoy坐 標(biāo) 面 ， 其 底 部 所 占( 年 考 研 真 題 分 ) 的 區(qū) 域 為 ,75),( 22 xyyxyxD ),( yxh小 山 的 高 度 函 數(shù) 為（ ） 設(shè) xyyxyxh 2275),( ),( 00 yxM ),( 00 yxg為 區(qū) 域 D上 的 一 個 點 ， 問

26、在 該 點 沿 平 面 上 什 么 方 向 的 方 向 導(dǎo) 數(shù) 最 大 ？若 記 此 方 向 導(dǎo) 數(shù) 的 最 大 值 為試 寫 出 ),( 00 yxg 的 表 達 式（ ） 現(xiàn) 欲 利 用 此 小 山 開 展 攀 巖 活 動 ， 為 此 需 要 在 山 腳一 上 山 坡 度 最 大 的 點 作 為 攀 登 的 起 點 ， 也 就 是在 D的 邊 界 曲 線 上 尋 找 出 （ ） 中 ),( 00 yxg 達 到 最 大值 的 點 ， 試 確 定 攀 登 起 點 的 位 置 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 積 分 對 稱 性 、 積 分 對 稱 性 問 題定 積 分曲 線 積 分二 重 函 數(shù)三 重 積 分曲 面 積 分 對 弧 長對 坐 標(biāo)對 面 積對 坐 標(biāo)