《質點運動學》PPT課件.pptx

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1、力 學 對 象 ： 質 點 、 剛 體 、 固 體 （ 彈 性 、 振 動 、 波 ） 方 法 ： 矢 量 運 算 、 微 積 分 等 1 2 第 一 章質 點 運 動 學 3 一 、 參 照 系 與 坐 標 系 運 動 是 絕 對 的 ， 靜 止 是 相 對 的描 述 一 個 物 體 的 運 動 ， 必 須 指 明 是 以 哪 一 個 物 體 為參 考 系 ， 這 個 被 選 作 參 考 的 物 體 就 叫 做 參 考 系 。運 動 的 描 述 具 有 相 對 性 選 不 同 的 參 照 系 ， 對 物體 所 作 的 運 動 描 述 也 不 同 。原 則 上 參 照 系 的 選 擇 是 任

2、意 的 ， 一 般 以 便 于 描 述 所研 究 的 對 象 為 前 提 。 1. 基 本 概 念 4 為 了 定 量 描 述 任 一 時 刻 物 體 的 準 確 位 置 ， 需 要 建 立 一 個坐 標 系 。 坐 標 系 是 固 定 在 參 照 系 上 的 。 坐 標 系 的 種 類 很 多 ： 直 角 坐 標 、 極 坐 標 、 球 坐 標 、柱 坐 標 、 自 然 坐 標 系 。 以 描 述 之 便 為 前 提 。 坐 標 系 可 看 做 是 參 照 系 的 數(shù) 學 抽 象 。 指 明 了 坐 標 系也 就 確 定 了 參 照 系 。 5 二 、 質 點p 實 際 物 體 ： 具 有

3、大 小 、 形 狀 ， 其 運 動 可 能 有 移 動 、 轉 動 、 形 變 。物 體 上 各 點 的 運 動 情 況 可 能 是 不 同 的 ， 非 常 復 雜 （ 如 火 車 運 動 ） 。 為 了 使 描 述 簡 化 ， 分 清 主 次 ， 引 入 “ 質 點 模 型 ” 。 質 點 ： 沒 有 大 小 、 沒 有 形 狀 ， 具 有 物 體 的 全 部 質 量 ， 是 一 個 理想 模 型 。 條 件 （ 滿 足 其 中 一 條 ） : 物 體 本 身 的 幾 何 線 度 比 所 研 究 問 題 中 的 線 度 小 得 多 。 物 體 只 有 平 移 運 動 平 動 。 實 際 問

4、題 中 ， 先 看 做 質 點 ， 然 后 再 考 慮 形 狀 、 大 小 ， 對 結 論進 行 修 正 。 6 三 、 位 置 矢 量 質 點 在 空 間 的 位 置 可 以 用 一 個 矢 量 表 示 。 由 固 定 在 參 考 系 上 的 坐 標 原 點 引 向 質 點 所 在 的 位置 位 置 矢 量 ， 簡 稱 位 矢 。 用 表 示 。 r 0 x z y P(x,y,z) 軌 跡 r質 點 在 運 動 過 程 中 ， 是 隨 時 間 t 變 化 的 ， 即 是 時 間 的 函 數(shù) 。該 函 數(shù) 給 出 了 任 一 時 刻 質點 的 位 置 ， 稱 為 質 點 運 動方 程 。（

5、位 矢 表 示 的 運 動 方 程 ）r)(trr 7 在 直 角 坐 標 系 中 ， 可 以 用 三 個 坐 標 軸 的 分 量 表 示 ： （ 為 三 坐 標 軸 方 向 的 單 位 矢 量 ， 是 常 矢 量 ）kzjyix kji , )(tyy )(tzz )(txx rr r 0 x z y z y x P(x,y,z)i jk 坐 標 表 示 的 運 動 方 程 ， 消 去 t 就可 得 到 軌 跡 方 程 。 8 p運 動 方 程 的 性 質 ： 單 值 的 （ 某 一 時 刻 只 能 有 一 個 位 置 ） 連 續(xù) 的 （ 質 點 運 動 時 不 間 斷 的 ） 可 微 的

6、（ 質 點 運 動 一 定 有 瞬 時 速 度 ） 9 四 、 位 移 和 路 程 位 移 ： 由 起 點 指 向 終 點 的 矢 量 ， 表 示 位 置 的 變 化 。 路 程 ： 由 起 點 到 終 點 質 點 的 實 際 路 徑 長 度 。 x y z 0r 1 r r2 P2(x2,y2,z2) 1221 rrrPP P1(x1,y1,z1) s21PPs 位 移路 程 10 s路 程 ： 質 點 實 際 運 動 軌 跡 的 長 度 叫 路 程 。注 意 ： ,rs ；但 rs dd P1 r(t+ t )r(t) rx y z 0 s P2 11 位 移 矢 量 ： 只 表 示 某

7、段 時 間 內(nèi) 位 置 的 變 化 ， 不 反 應 運 動的 過 程 。 大 小 為 起 點 到 終 點 的 直 線 距 離 方 向 為 從 起 點 指 向 終 點 單 位 ： SI， m(米 ) 用 坐 標 表 示 ： 位 移 ： kjyixr 1111 z kjyixr 2222 z kjyyixxrrr )zz()()( 12121212 位 移 和 路 程 的 關 系 ：位 移 為 矢 量 ， 路 程 為 標 量 ， 且 一 般 情 況 下 大 小 也 不 同 。 由 圖 可 見 ，p二 者 相 同 的 條 件 ： 當 始 終 沿 一 個 方 向 的 直 線 運動 12 sr , s時

8、0t r 舉 例 說 明 ： P1 P2 P3 0 X1 X2 X3 13 ixixOPOPrPPP 1221 :231 如 12 xx 13 :321如 xxrPPP 2313 xxxxs 13 xxs 14 五 、 速 度 設 時 間 間 隔 內(nèi) ， 位 移 為1.平 均 速 度 ： tr v2.瞬 時 速 度 ： trtrt dd 0limv 速 度 方 向 ： 沿 軌 跡 切 線 方 向 。速 度 大 小 （ 速 率 ） ： trdd vv tsddv (t ) ttt r 可 見 ， 速 度 是 位 矢 對 時 間 的 一 階 微 商 ， 即 位 移 隨時 間 的 變 化 率 。 速

9、 率 ： 速 度 的 大 小 叫 速 率 ， 用 v表 示 。 又 路 程 隨 時 間 的 微 商 15t rttrttr 0lim 0limddvv , s時0t rdtdstslimt 0v 關 于 速 度 的 說 明 ：1） 速 度 為 一 矢 量 ， 方 向 為 軌 跡 切 線 方 向 ， 且 指 向 前 進 方 向2） SI中 ， 單 位 為 m/s(米 /秒 )3） 一 般 地 說 ， 有4） 有5） 其 中 分 別 表 示 速 度 沿 三 個 坐 標 軸 的 分 量 ， 或 三 個 坐 標 軸 方 向 的 分 速 度有 16 )(tvv kvjvivktzjtyitxtr zyx

10、 ddddddddv dtdzzdtdyydtdxx v,v,v vvv zyxv 222 17 六 、 加 速 度質 點 速 度 對 時 間 的 變 化 率 叫 加 速 度 。 瞬 時 加 速 度 ： tta v 0lim 加 速 度 的 方 向 ： 變 化 的 方 向 v加 速 度 的 大 小 ： taa ddv tdvdx r(t+ t )r(t) y z0 v (t ) v (t+ t ) vv (t )v (t+ t ) P1 P2 tv a 平 均 加 速 度 ： 由 于 所 以 加 速 度 是 位 矢 對 時 間 的 二 階 微 商p 關 于 加 速 度 的 說 明 ：1） 是

11、一 矢 量 ， 方 向 同 的 極 限 方 向 直 線 運 動 ： 與 方 向 相 同 或 相 反 曲 線 運 動 ： 的 方 向 偏 向 軌 道 凹 的 一 側2） 有 3） SI中 ， 的 單 位 是 18 瞬 時 加 速 度 速 度 矢 量 對 時 間 的 一 階 微 商 ， 即 速 度 對 時 間 的 變 化 率 。trddv 22a dt rddtvd a v,t 0a va kajaia zyx a 222222 td zdtdvdaz,td ydtdvda,td xdtdvda zyyxx aaa zyxa 222 a 2s/m 小 結 參 照 系 、 坐 標 系 、 質 點 、

12、 位 移 、 路 程 、 速 度 、加 速 度 各 概 念 之 間 的 關 系 19 例 1：質 點 直 線 運 動 方 程 為 ,求 ：a)什 么 時 刻 x=0, 什 么 時 刻 位 移 最 大 ？b)最 大 、 最 小 速 率 時 的 位 置c)最 大 、 最 小 加 速 度 時 的 位 置 20 tsinx 63 解 ：a)令 x=0, 則當 t=0、 6、 12. 時 ， x=0位 移 最 大 ， 則則 t=3(2k+1)=3、 9、 15.sb) 速 率 最 大 ， 則 此 時 此 時 x=0 速 率 最 小 ， 此 時 v=0 此 時 x= 3 21 063 tsin ntnt

13、6,6 316 x,tsin 212252326 k.,t tcosdtdxv 62 16 tcos 2v nt 6 06 tcos 126 kt c)|a|最 大 ：|a|最 小 ： 22 tsindtdva 6122 31216 2 t,|a|,tsin 0006 t,|a|,tsin 一 、 直 線 運 動 ： 運 動 軌 跡 為 直 線 的 運 動 ， 是 最 簡 單 、 最 基 本 的 一 種 質 點 運 動 。p 簡 單 ： 可 用 一 個 坐 標 表 示 矢 量 可 表 示 為 標 量p 基 本 ： 曲 線 運 動 可 分 解 為 直 線 運 動 即 由 運 動 方 程 可 直

14、接 求 出 速 度 、 加 速 度 與 時 間 的 函 數(shù) 關 系 。 23 2. 幾 種 典 型 的 質 點 運 動 22, dtxddtdvadtdxvtxx 24 （ 1） 如 何 由 速 度 求 運 動 方 程 : 即 已 知 v=v(t),求 x(t)=? 初 始 條 件 ： 當 t=0時 ， 0 xx 一 般 ttxx t vdtxxvdtxx vdtdx vdtdxdtdxv 0000 00對 于 勻 速 直 線 運 動 ， v為 常 數(shù)如 起 始 位 置 為 坐 標 原 點 ， 即 t=0， 則 x=vt(勻 速 直 線 ， ) 勻 速 直 線vtxx 0 00 xx 00 x

15、 (2)如 何 由 加 速 度 求 運 動 方 程 : 即 已 知 a=a(t)， 求 x(t)=? 初 始 條 件 ： 25* 對 于 勻 變 速 直 線 運 動 : a=常 數(shù)如 初 始 位 置 為 坐 標 原 點 ， 則 000 vv,xx,t t tt ttvv t dtadttvxdtadtvxx adtvv adtdv adtdvdtdva 0 0000 000 00 0 一 般0 勻 變 速 直 線atvv 0 200 21 attvxx 00 x 0勻 變 速 直 線 ，21 020 xattvx 26 (3)勻 變 速 直 線 運 動 ： 速 度 與 位 置 的 關 系 0,

16、勻 變 速 直 線2時 ，0當 勻 變 速 直 線2即 21 02020 0202 20200 0 xaxvvx xxavv vvxxa vdvadx vdvadx dxdvvdtdxdxdvdtdva xx vv p 舉 例 ：1） 自 由 落 體 ：忽 略 空 氣 阻 力 ， 為 勻 加 速 直 線 運 動 ，初 始 條 件 ： t=0時 ， y=0， 2） 豎 直 上 拋忽 略 空 氣 阻 力 ， 為 勻 加 速 直 線 運 動 ， 27 2819 s/m.ga 00 v gyv gty gtv 2212 2 0,0時 ，0初 始 條 件 ： vvyt gyvv gttvy gtvv 2

17、212 02 2000y y0ga - 28 二 、 拋 物 運 動p 從 地 上 基 點 把 一 物 體 以 某 一 角 度 投 射 出 去 ， 如 忽 略 空 氣 阻 力 ， 物體 在 空 中 的 運 動 就 叫 拋 物 運 動 。 拋 物 運 動 屬 二 維 運 動 。a. x、 y方 向 是 直 線 運 動b. 運 動 方 程 ：x=x(t) y=y(t) xyO 0 xv 0v0yv p 在 x， y方 向 上 ， 分 別 可 直 接 應 用 直 線 運 動 的 結 論 ： X方 向 ： 勻 速 直 線 運 動 初 始 條 件 ： Y方 向 ： 勻 變 速 運 動 初 始 條 件 ：

18、 速 度 方 程 ： 運 動 方 程 ： 29 0 xa gay cosvv,x,t x 0000 時 sinvv,y,t y 0000 時 gtsinvv cosvvyx 00 200 21 gttsv tcosv iny x 以 上 是 四 個 基 本 方 程 ， 由 此 可 得 ：射 程射 高飛 行 時 間軌 跡 方 程 重 點 掌 握 4個 基 本 方 程 （ 由 具 體 情 況 而 定 ） ， 其 他 可 由 各 點 的 特 性推 出 30gvX 2sin20 gvY 2sin220 gvT sin2 0 220 2cos2v gxtgxy 例 1： 在 o點 用 槍 瞄 準 射 程

19、 之 內(nèi) 某 一 P點 的 靶 。 當 子 彈 離 開 槍口 時 ， 靶 開 始 自 由 下 落 ， 證 明 ， 子 彈 正 好 擊 中 自 由 下落 的 靶 。 31x yo 0v ),( 11 yxP ),( yx 解 ： 只 要 證 明 子 彈 和 靶 到 達 （ x,y） 點 所 用 的 時 間 相 同 即 可 。設 子 彈 到 達 (x,y)點 所 需 時 間 為 t， 則 32 200 21 gttsinv tcosvx y 靶 的 橫 坐 標 始 終 為 ， 只 要 證 明 在 t時 刻 ， 靶 的 縱 坐 標 為 y即 可 ，t時 刻 靶 的 縱 坐 標 為 ： xx 1 y

20、2 0 20 221 21 212121 gttsinv gttantcosv gttanxgty 證 畢 。 三 、 圓 周 運 動 軌 跡 為 圓 周 的 運 動 叫 圓 周 運 動 。 是 一 種 重 要 的 運 動 ， 旋 轉 的輪 上 各 點 ， 是 剛 體 力 學 的 基 礎 。 分 析 圓 周 運 動 ， 我 們 可 以 采 用 直角 坐 標 系 ， 但 更 為 簡 單 的 是 自 然 坐 標 系 。 首 先 介 紹 ， 對 于 普 通 的 曲 線 運 動 ， 自 然 坐 標 系 中 ， 加 速 度 的分 解 ， 然 后 作 為 特 例 ， 研 究 圓 周 運 動 。 質 點 做

21、 曲 線 運 動 時 ， 速 度 永 遠 沿 曲 線 的 切 線 方 向 。 而 曲 線 的切 線 方 向 總 是 變 化 的 ， 也 就 是 速 度 總 是 變 化 的 ， 即 使 在 勻 速 率 曲線 運 動 中 ， 速 度 的 數(shù) 值 雖 然 不 變 ， 但 其 方 向 總 是 變 化 的 。 速 度 既然 有 變 化 ， 則 加 速 度 必 然 不 為 零 。 速 度 方 向 的 變 化 和 軌 道 的 形 狀 有 關 ， 為 此 我 們 就 曲 線 的 特 征 分 量 給 予 描 述 。 33 如 圖 ： 叫 做 和 間 曲 線 的 平 均 曲 率 。 叫 做 曲 線 在 點 的 曲

22、 率 。臨 切 線 ， 無 限 臨 邊 的 兩 點 上 ， 兩 切 線夾 角 。 某 一 點 的 曲 率 等 于 鄰 切 角 與 對 應 弧 長 之 比 。 34 sk 1P 2Pdsdslimk s 0 1Pd 1 對 于 圓 周 ， 鄰 切 角 等 于 對 應 的 圓 心 角 。（ 常 數(shù) ， 曲 率 處 處 相 等 ）對 于 曲 線 上 的 一 點 P， 我 們 可 以 在曲 線 內(nèi) 側 作 一 個 最 大 的 內(nèi) 切 圓 ， 與曲 線 切 與 P點 ， 這 個 圓 叫 做 曲 線 在 P點 的 曲 率 圓 。 35 ORv dsdOR Rdsdk Rdds 1 p 曲 率 在 P點 的

23、 曲 率 與 該 點 曲 率 圓 的 曲 率相 同 。 曲 率 圓 的 半 徑 為 曲 線 在 P點 的 曲率 半 徑 曲 率 ： 圓 心 ： 曲 線 的 曲 率 中 心 1k 36 v如 圖 ： 反 映 了 速 度 方 向 的 改 變 反 映 了 速 度 數(shù) 值 的 改 變當 時 ， 在 極 限 情 況 下 ，即 沿 點 的 法 線 方 向 ， 指 向 曲 率 中 心 。 沿 點 的 切 線 方 向 。21, vvvCDAB 1v 2v0t 20 ABD, vv 11v 1P 2v 1P 加 速 度 ： 37 tvlimtvlimtvlima ttt 20100 在 很 小 時 ， 而 t

24、0201 v,v vnv 000000 limlim dtdvndtdvtvntva tt dtdsdsddtd vdtds 1 kdsd 020 nvdtdva 02 0nva dtdvant 反 應 速 率 變 化反 應 方 向 變 化 38 加 速 度 的 數(shù) 值 為 ： 222 )v()dtdv( a方 向 ： ntaatg a na t a 正 ， 與 同 向 ， 速 率 增 大負 ， 與 反 向 ， 速 率 減 小0， 勻 速 曲 線 運 動正 ， 方 向 指 向 曲 率 中 心0， ， 即 直 線 運 動 ， 與 這 兩 個 分 量 與 固 定 坐 標 系 無 關 ， 常 常 叫

25、 做 自 然 坐 標 系 的 分 量 。tana ta vta v taa ta na 39 2、 圓 周 運 動 的 加 速 度切 向 加 速 度 ： ， 方 向 總 是 切 線 方 向法 向 加 速 度 ： ， 方 向 總 是 指 向 圓 心 向 心 加 速 度方 向 偏 向 圓 心對 于 勻 速 （ 率 ） 圓 周 運 動 ，只 有 向 心 加 速 度dtdva Rvan 200 naaa n 0 dtdvaRvaa n 2 40 3、 圓 周 運 動 涉 及 到 的 弧 長 s， 速 率 v， 加 速 度 都 叫 做 線 量 ， 圓周 運 動 還 可 用 角 量 表 示 ：角 位 移令

26、 角 速 度 表 示 角 位 移 對 時 間 的 變 化 率對 于 勻 速 （ 率 ） 圓 周 運 動 ， （ 勻 速 ）令 角 加 速 度 則 naa 、 RS dtdRdtdsv Rvdtd t 22dtdRdtdRdtdva 22dtddtd Ra OR S 此 外 ， 也 可 看 做 矢 量 ， 遵 從 右 手 定 則 ， 注 意 的 方 向 41222 )(R RRRvan 類 似 勻 變 速 直 線 運 動 ， 對 于 勻 變 速 率 圓 周 運 動 可 得 ： =常 量 0202 2000 2 21 ttt , 42 3. 相 對 運 動設 兩 個 參 考 線 有 相 對 運 動

27、 ， 即 S 相 對 于 S 以 速 度 平 動 的 情 形 ， 考察 質 點 P的 運 動 。 0r 由 矢 量 運 算 法 則 有 ：rrr 0兩 邊 對 時 間 微 商 ： dtrddtrddtrd 0 0r z y0r O zS yO r P 0v 是 S 相 對 于 S的 位 矢 。即 相 對 平 動 參 照 系 中 的 速 度 變 換 格 式 。0 vvv S x x 絕 對 速 度 ， 是 P相 對 于 靜 止 參 照 系 S的 速 度牽 連 速 度 ， 是 相 對 于 S的 速 度相 對 速 度 ， 是 P相 對 于 運 動 參 照 系 的 速 度兩 邊 再 對 時 間 微 商 ：即 加 速 度 變 換 式絕 對 加 速 度牽 連 加 速 度相 對 加 速 度 43 v0vv S Sdtvddtvddtvd 0 aaa 0a 0aa 解 ： 44 例 ：在 河 水 流 速 2m/s的 地 方 有 一 小 船 渡 河 。 如 果 希 望 小 船 以 4m/s的 速 度垂 直 于 河 岸 橫 渡 ， 問 小 船 上 的 只 是 速 率 應 為 多 大 ， 船 頭 應 指 向 何 方？ 0 vvv 0 vvv smvvv /47.442 22202 v 0vv 611642222 0 .arctgvarctg