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共振結(jié)構(gòu)中的疲勞裂紋的擴(kuò)展
摘要——已經(jīng)研究了結(jié)構(gòu)共振激發(fā)的疲勞裂紋的擴(kuò)展。這一結(jié)構(gòu)被離散,且由一個(gè)線性微分方程組表示。裂紋被模擬為局部柔度。應(yīng)用一個(gè)環(huán)形裂紋的動(dòng)態(tài)節(jié)點(diǎn)來說明滯止裂紋。裂紋的深度決定了由裂紋引入的局部剛度,這反過來又影響在共振頻率下?lián)碛泻愣ㄕ穹耐獠考ぐl(fā)的這一系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。裂紋的擴(kuò)展引入了額外的柔度,這使得擴(kuò)展逐漸從共振處移開。在某些情況下,動(dòng)態(tài)響應(yīng)減弱,變得小于所考慮的材料的固有臨界值。被稱為動(dòng)態(tài)滯止裂紋的這種現(xiàn)象,受材料的損耗系數(shù)的影響很大,是決定著開裂截面的荷載為最大時(shí),裂紋生長的初始階段的裂紋擴(kuò)展的主要因素。
1、 引言
在動(dòng)態(tài)荷載作用下,一個(gè)傳播裂紋可能導(dǎo)致構(gòu)件的破壞。因此,裂紋擴(kuò)展速率的測定對(duì)機(jī)器的安全運(yùn)行有著重大意義。Paris和Erdogan方程被用來確定傳播速率:
dadN=B?Km (1)
其中B,m是材料常數(shù),而ΔK是應(yīng)力強(qiáng)度因子范圍。方程(1)提到的是應(yīng)力范圍而不是平均應(yīng)力。它也限制裂縫的向前擴(kuò)展。為了克服這些限制,Sih[4-6]提出了伸展的應(yīng)變能密度因子的概念,用來預(yù)測疲勞裂紋的增長。
dadN=C?Sminn (2)
其中C,N是材料常數(shù),ΔSmin是應(yīng)變能密度因子范圍。裂紋形核和擴(kuò)展在振動(dòng)結(jié)構(gòu)中的出現(xiàn)是很自然的,尤其是局部或整體的共振發(fā)生時(shí)。Chondros 和Dimarogonas[7-9],Dimarogonas和massouros [10]表明,裂紋形貌對(duì)這種結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性影響相當(dāng)大。由于這種變化,裂紋附近的應(yīng)力場將會(huì)發(fā)生改變。Dentsoras和Dimarogonas[11-13]表明,對(duì)于簡單的結(jié)構(gòu)而言,在這種情況下,裂紋擴(kuò)展速率變的低于所考慮的材料的固有的臨界值是可能的。這個(gè)過程,稱為動(dòng)態(tài)滯止裂紋,已被證明受系統(tǒng)中主要的阻尼機(jī)制中材料的阻尼的強(qiáng)烈影響。
在這里,這個(gè)原則是適用于被模擬成為一個(gè)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)裂紋結(jié)構(gòu),而且它還適用于轉(zhuǎn)子在扭轉(zhuǎn)振動(dòng)下的一個(gè)四階段的裂紋。
2、 分析
考慮一個(gè)質(zhì)量集中,有n個(gè)自由度的振動(dòng)系統(tǒng)[M],[K],其中[M]是對(duì)角質(zhì)量矩陣而[K]是剛度矩陣。如果:
x=[x1tx2t…xn(t)]T (3)
為響應(yīng)矢量,而且,
K=k0Ku,M=m0Mu (4)
其中,[Ku],[Mu]分別是無量綱的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣,m0,k0是常數(shù),
Ix+λ0Aux=[0] (5)
是自由運(yùn)動(dòng)微分方程,[Au] 是無量綱的動(dòng)態(tài)矩陣,而且,λ0=k0/m0。從方程(5)中,我們可以獲得系統(tǒng)的特征值和特征向量。假設(shè)[Z]是模態(tài)矩陣,Dimarogonas[9]引入了標(biāo)準(zhǔn)化的特征向量,
φui=Zuiμiui (6)
其中,μiui是i型模式中無量綱的廣義質(zhì)量,正規(guī)矩陣[Φu]將與矩陣[Mu],[Ku]相關(guān)聯(lián),通過以下方程
?uTMu?u=I (7)
和
[?u]TKu?u=diag(λui) (8)
其中,λui=λiλ0是無量綱的特征值。通過引入
x=?q (9)
方程(5)可以被修正為
Iqu+??qu=[0] (10)
其中,[∧]=diag(λ1)是特征值矩陣,方程(10)對(duì)應(yīng)于非耦合振動(dòng)。
如果系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)阻尼是占主導(dǎo)地位的阻尼機(jī)理,而且阻尼矩陣[C]可以標(biāo)準(zhǔn)化,那么[14]
[?u]TC?u=m0λ0diag(2γiλui) (11)
其中γi是i型模型的損耗系數(shù)。
更近一步來講,如果P=Feiwt是激發(fā)矢量,那么通過引入
F=F0Fu,Fc=F0λ0m0
方程(10)變?yōu)?
qu+λ0diag2γiλuiqu+??qu=Fc[?u]TFueiωt (12)
響應(yīng)振幅為
Qur=Fc(i=1nφui(r)Fui)-ω2+λ0γrλurωi+λ0λur (13)
假設(shè)裂紋存在于所考慮系統(tǒng)的一部分中。由于裂紋的產(chǎn)生,剛度矩陣發(fā)生變化。如果矩陣[ΔK]表示的剛度矩陣[K]的變化,它已由Dimarogonas and Paipetis[15]證明,
?ωrωr=12[Z(r)]T[?K]Z(r)[Z(r)]T[K]Z(r) (14)
其中,Δwr是自然頻率r的變化。對(duì)于目前的情況下,如果ai是初始裂紋深度,(wr)ai是各自的修正的頻率,然后:
(ωr)aiωr=1-12ZurTKuZurZurTKuZur=1-12φurTKuφurφurTKuφur (15)
其中,[Ku]是無量綱的矩陣[Δk]。在共振中,
ω=(ωr)ai=ωr-?ωi
那么方程(13)變成
Qur=F0(i=1nφui(r)Fui)m0λurγr(φurTKuφurγrφurTKuφur)2+(2-φurTKuφurφurTKuφur )2-12 (16)
如果
Πr=λucγr(1γrφurTKuφurφurTKuφur)2+(2-φurTKuφurφurTKuφur )2-12 (17)
而
(Qur)c=F0(i=1nφui(r)Fui)m0 (18)
那么,最后,
Qur=(Qur)cΠr (19)
在坐標(biāo)r中,應(yīng)力為
Fr=[Kr]x (20)
其中,[Kr]是r方向上的剛度矩陣[K]。利用方程(9)
Fr=Kr?x=Kr?Qu (21)
應(yīng)力與力的相關(guān)關(guān)系為
σr=S(Fr) (22)
或者根據(jù)方程(16)-(19):
σr=S([Kr]?Qu) (23)
和
σur= S(K0[Kr]?Qu) (24)
是無量綱值的應(yīng)力,其中K0是一個(gè)常數(shù)。應(yīng)力強(qiáng)度因子的表達(dá)式:
Kr=σrπaF(a) (25)
根據(jù)方程(23)
Kr= S([Kr]?Qu) πaF(a) (26)
而
Kur=σurπaF(a) (27)
是無量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子。
如果ΔKr=Krmax-Krmin,ζ= Krmin/ Krmax,那么:
?Kr=Kr(1-ξ) (28)
最后,
?Kr=K0σurπaF(a)(1-ξ) (29)
根據(jù)方程(29),這個(gè)Paris方程可以寫成:
dadN=B[K0σurπaF(a)(1-ξ)]m (30)
所以最后,
N=B-1K01-ξ-maiafKur-mda (31)
方程(31)是通常使用的。它給出了裂紋深度從ai增加到af的必要周期數(shù)。Kur的測定,在積分上取決于特定的模型,這將在下面的應(yīng)用中顯示。
3、 說明性的例子
考慮一個(gè)四級(jí)轉(zhuǎn)子的幾何特征d1,l1和一個(gè)周向裂紋,如圖1所示。在每一盤上,施加扭轉(zhuǎn)激勵(lì)
Pi=Tieiωt (32)
如果J是慣性量,而且
K=πd4G32l (33)
是每個(gè)單元的剛度常數(shù),那么對(duì)于矩陣[J],[K],在方程(4)中是合理的。對(duì)于一個(gè)測試轉(zhuǎn)子,
Ju= (34)
Ku= (35)
利用雅可比旋轉(zhuǎn)的方法發(fā)現(xiàn)了相應(yīng)的特征值和特征向量:
λu1=0.0176 ,λu2=0.2482,λu3=0.5233,λu4=0.6905
Zu= (36)
如果Kr是構(gòu)件r方向上沒有裂縫的剛度常數(shù),而(Kr)a是由裂引入的剛度常數(shù),那么等效剛度常數(shù)為
(Keq)r=(Kr)αKr(Kr)α+Kr (37)
根據(jù)Sih和MacDonald[l6] (Kr)a是
(Kr)α=πRr3GGIr(aRr) (38)
其中,Rr是截面半徑,并且:
Ir(aRr)=0.0351-aRr-4+0.011-aRr+0.00291-aRr2+0.00861-aRr3+0.00441-aRr4+0.00251-aRr5+0.00171-aRr6+0.0081-aRr7-0.092
由于對(duì)[Keq]r有一個(gè)分析表達(dá)式,所以矩陣[Ku],可以用來計(jì)算每個(gè)裂紋深度且能作為一個(gè)結(jié)果,根據(jù)式(15),可以發(fā)現(xiàn)特征值的變化。在圖2中,這個(gè)圖表繪制了特征值與裂紋深度的比降。它可以很容易得出結(jié)論,裂紋深度的影響比系統(tǒng)的第一個(gè)特征值的影響強(qiáng)。
如果T=T0Tu,其中T是激發(fā)矢量,Tu是它的無量綱值,那么根據(jù)方程(19):
(Qur)c=T0J0(i=1nφui(r)Tui) (39)
根據(jù)方程(23):
τr=K0[Kr]?QuRIp (40)
正如Sih和MacDonald[15,16]所展示的那樣,對(duì)于第三型裂紋的擴(kuò)展來講,
Kr=τraRr12Rr121-aRr-52I(aRr) (41)
其中,
IaRr=0.375+0.18751-aRr+0.140631-aRr2+0.117191-aRr3+0.102541-aRr4+0.0781-aRr5
根據(jù)方程(26):
Kr=K0Kr?QuRIpaRr12Rr121-aRr-52IaRr (42)
和方程(40):
Kur=τuraRr12Rr121-aRr-52IaRr (43)
因此,Kur,取決于裂紋的深度,這已在圖3中顯示。其中,損耗系數(shù)是參數(shù)。
最后,例如,通過公式(42),方程(30)可以進(jìn)行修改,如下:
daRrdN=BCm1-RmRrKurm (44)
如果,
Cs=BCm1-RmRr
那么方程(44)整合后變?yōu)椋?
N=Cs-1aiRrafRrRur-mdaRr (45)
在圖4中,數(shù)值積分的結(jié)果顯示了,損失系數(shù)的各種值以及低碳鋼具有以下特點(diǎn):
N=4.3×108N/m2
Su=4.3×108N/m2
m=2.51
B=2.832×10-26m2+3m2/cycle Nm
Kth=3.788×106N/m32
所示的制動(dòng)線是所有點(diǎn)的軌跡,低速率的裂紋擴(kuò)展在每一條曲線上發(fā)生轉(zhuǎn)變。
4、 結(jié)論
利用Paris和Erdogan的疲勞裂紋擴(kuò)展模型來研究一個(gè)諧振系統(tǒng)的破裂行為。建立了裂紋深度與一般適用的疲勞周期值間的一般關(guān)系。在機(jī)械和結(jié)構(gòu)共振處或接近共振處,經(jīng)常出現(xiàn)裂紋的擴(kuò)展,這是一個(gè)機(jī)器出現(xiàn)故障的常見原因。在這種情況下,裂紋的引入可以改變系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性,如動(dòng)態(tài)分析是用來確定在一個(gè)恒定的外部激勵(lì),開裂截面承載的任務(wù)剖面。這些信息被用來反饋到疲勞裂紋擴(kuò)展模型中。
最初,在或非常接近共振處,裂紋擴(kuò)展率很高。由于裂紋深度的變化,系統(tǒng)的固有頻率有一個(gè)相當(dāng)大的減少,這使得裂紋從共振處“移走”,因此,降低了裂紋擴(kuò)展速率。
這種情況,在某些特定環(huán)境下,強(qiáng)烈地依賴于阻尼因子,可導(dǎo)致動(dòng)態(tài)滯止裂紋,如圖4所示。在這里,似乎總是發(fā)生裂紋滯止。在某種程度上,這是真的,因?yàn)槿绻鸭y擴(kuò)展到一定程度,由于不穩(wěn)定的裂紋擴(kuò)展或一些其他的機(jī)制,結(jié)構(gòu)構(gòu)件可能在某一方面破壞系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)完整性,使得裂紋擴(kuò)展可以在滯止點(diǎn)之前發(fā)生停滯。
最后,可以很容易地得出結(jié)論,激勵(lì)的大小和系統(tǒng)的幾何形狀僅能定量的改變結(jié)果。止裂或許并不是主要取決于相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)的阻尼。
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