微積分學(xué)PPt標(biāo)準(zhǔn)課件22-第22講定積分的概念

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1、高 等 院 校 非 數(shù) 學(xué) 類 本 科 數(shù) 學(xué) 課 程 腳 本 編 寫 ： 劉 楚 中 教 案 制 作 ： 劉 楚 中 第 五 章 一 元 函 數(shù) 的 積 分本 章 學(xué) 習(xí) 要 求 ： 熟 悉 不 定 積 分 和 定 積 分 的 概 念 、 性 質(zhì) 、 基 本 運(yùn) 算 公 式 . 熟 悉 不 定 積 分 基 本 運(yùn) 算 公 式 .熟 練 掌 握 不 定 積 分 和 定 積 分 的 換 元 法 和 分 部 積 分 法 .掌 握 簡(jiǎn) 單 的 有 理 函 數(shù) 積 分 的 部 分 分 式 法 . 了 解 利 用 建 立 遞 推 關(guān) 系 式 求 積 分 的 方 法 . 理 解 積 分 上 限 函 數(shù) 的

2、 概 念 、 求 導(dǎo) 定 理 及 其 與 原 函 數(shù) 的 關(guān) 系 . 熟 悉 牛 頓 萊 布 尼 茲 公 式 . 理 解 廣 義 積 分 的 概 念 .掌 握 判 別 廣 義 積 分 收 斂 的 比 較 判 別 法 . 能 熟 練 運(yùn) 用 牛 頓 萊 布 尼 茲 公 式 計(jì) 算 廣 義 積 分 。 掌 握 建 立 與 定 積 分 有 關(guān) 的 數(shù) 學(xué) 模 型 的 方 法 。 能 熟 練 運(yùn) 用 定 積 分 表 達(dá) 和 計(jì) 算 一 些 幾 何 量 與 物 理 量 ： 平 面 圖 形 的 面 積 、 旋 轉(zhuǎn) 曲 面 的 側(cè) 面 積 、 平 行 截 面 面 積 為 已 知 的 幾 何 體 的 體 積

3、、 平 面 曲 線 的 弧 長(zhǎng) 、 變 力 作 功 、 液 體 的 壓 力 等 。 能 利 用 定 積 分 定 義 式 計(jì) 算 一 些 極 限 。 第一節(jié) 定積分的概念第五章 一元函數(shù)的積分二 . 定 積 分 的 定 義一 . 曲 邊 梯 形 的 面 積三 . 定 積 分 的 性 質(zhì) 第 五 章 一 元 函 數(shù) 的 積 分第 一 節(jié) 定 積 分 的 概 念 和 性 質(zhì) 在 我 國(guó) 古 代 南 北 朝 （ 公 元 429 500 年 ） 時(shí) ，南 朝 的 科 學(xué) 家 祖 沖 之 運(yùn) 用 逐 漸 增 加 圓 內(nèi) 多 邊 形 的 邊數(shù) ， 算 出 正 多 邊 形 的 面 積 ， 逼 近 相 應(yīng) 的

4、圓 的 面 積 ，得 到 了 近 似 值 . 在 初 等 幾 何 中 ， 計(jì) 算 任 意 多 邊 形 面 積 時(shí) ， 常 采用 如 下 方 法 ： 首 先 將 任 意 多 邊 形 劃 分 為 若 干 個(gè) 小 三角 形 ， 分 別 計(jì) 算 各 個(gè) 三 角 形 的 面 積 ， 然 后 求 和 ， 得到 任 意 多 邊 形 的 面 積 。 阿 基 米 德 運(yùn) 用 這 種 方 法 ， 求 得 拋 物 線 與 x 軸 及 直 線 x =1 所 圍 成 的 平 面 圖 形 面 積 的 近 似 值 .2xy 就 是 說(shuō) ， 在 計(jì) 算 復(fù) 雜 圖 形 的 面 積 時(shí) ， 可 以 先 將它 劃 分 為 若 干

5、 個(gè) 容 易 算 得 面 積 的 小 塊 ， 并 分 別 求 出各 小 塊 圖 形 的 面 積 ， 然 后 求 和 ， 即 得 到 原 圖 形 的 面積 的 近 似 值 （ 邊 界 線 為 直 線 時(shí) ， 可 得 精 確 值 ） . 如 果 在 上 述 方 法 中 引 入 極 限 過(guò) 程 , 會(huì) 產(chǎn) 生 什 么 效 果 ? 一 . 曲 邊 梯 形 的 面 積 曲 邊 梯 形 ： 三 邊 為 直 線 ， 其 中 有 兩 邊 相 互平 行 且 與 第 三 邊 垂 直 （ 底 邊 ） ， 第 四 邊 是 一 條曲 線 ， 它 與 垂 直 于 底 邊 的 直 線 至 多 有 一 個(gè) 交 點(diǎn)（ 這 里

6、不 排 除 某 直 線 縮 成 一 點(diǎn) ） .1. 曲 邊 梯 形 2. 求 曲 邊 梯 形 的 面 積 首 先 ， 我 們 重 復(fù) 阿 基 米 德 的 做 法 ： 分 劃 代 替 求 和得 到 曲 邊 梯 形 的 近 似 值 ， 然 后 ， 引 入 極 限 過(guò) 程 ，求 出 曲 邊 梯 形 的 精 確 值 . O xy a b1x 1ix ix)(xfy ,0)( xf設(shè) . ),()( baCxf , 1110 bxxxxxxa nnii 任 意 引 入 分 點(diǎn) ).,2,1( , , 1 nixxnba ii 個(gè) 小 區(qū) 間成分將 . 1 個(gè) 小 區(qū) 間 的 長(zhǎng) 度表 示 第用 ixxx

7、 iii 稱 為 區(qū) 間 的 一 個(gè) 分 法 T 1ix ixi , 1 則iii xx . )( : iii xfS 小 曲 邊 梯 形 面 積 對(duì) 每 個(gè) 小 曲 邊 梯 形 均 作 上 述 的 代 替 . 的 選 擇 有 關(guān)與 iiS O xy a b1x 1ix ix)(xfy . )( : 11 ni iini i xfSS 曲 邊 梯 形 面 積 . T 的 選 擇 有 關(guān)及 點(diǎn)與 分 法 iS 極 限 過(guò) 程 是 什 么 ？如 何 求 精 確 值 ？ O xy a b1x 1ix ix)(xfy , max | 1 則令 ini xx . )(lim : 10 ni ii xfS

8、 曲 邊 梯 形 面 積 . T 的 選 擇 無(wú) 關(guān)及 點(diǎn)與 分 法極 限 存 在 與 否 ， i ，雜 平 面 圖 形 面 積 的 方 法該 過(guò) 程 告 訴 了 我 們 求 復(fù) . 形 面 積 的 定 義同 時(shí) ， 也 告 知 了 平 面 圖 想 方 法 是 ：解 決 曲 邊 梯 形 面 積 的 思 . 取 極 限求 和代 替分 劃 處 理 的 問(wèn) 題 的 結(jié) 果 ， 即通 常 人 們 把 這 類 方 法 所 . , )( 上 的 定 積 分在 區(qū) 間這 種 極 限 值 ， 稱 為 函 數(shù) baxf 二 . 定 積 分 的 定 義 . , , )( 且 有 界上 有 定 義在設(shè) 函 數(shù) ba

9、xf , 1110 bxxxxxxa nnii 任 意 引 入 分 點(diǎn) ).,2,1( , , 1 nixxnba ii 個(gè) 小 區(qū) 間成分將 區(qū) 間 , . 11 iiiiii xxixxx 個(gè) 小 區(qū) 間 的 長(zhǎng) 度表 示 第用 , , )(lim 10 | 的且 該 極 限 值 與 對(duì) 區(qū) 間存 在若 baxfni iix , , )( , T 上 可 積在則 稱 函 數(shù)的 選 擇 無(wú) 關(guān)及 點(diǎn)分 法 baxfi 的 定上在極 限 值 稱 為記 為 , )( ), , ()( baxfbaRxf . )max| ( )(limd)( : 110| inini iiba x xxxfxxf

10、 積 分 值 定 積 分 符 號(hào) ： . )(limd)( 10| ni iixba xfxxf 定 積 分 號(hào) ；ba 積 分 下 限 ；a 積 分 上 限 ；b d)( 被 積 表 達(dá) 式 ；xxf )( 被 積 函 數(shù) ；xf d 積 分 變 量 ；中 的 xx . , 積 分 區(qū) 間ba ) ( 積 分 變 量 的 取 值 范 圍 關(guān) 于 定 積 分 定 義 的 幾 點(diǎn) 說(shuō) 明 . , )( , T ),( d)( )1( 有 關(guān)區(qū) 間 及只 與的 選 擇 無(wú) 關(guān)及 點(diǎn)它 與 分 法 具 體 的 數(shù)是 一 個(gè) 極 限 值定 積 分 ba xfxxf iba . d)(d)(d)( )2

11、( bababa ttfyyfxxf 號(hào) 無(wú) 關(guān) ：定 積 分 與 積 分 變 量 的 記 0. | , , , , 0 | )3( xn nx 卻 不 一 定 有時(shí)個(gè) 數(shù) 當(dāng) 分 點(diǎn)但 是分 點(diǎn) 個(gè) 數(shù)時(shí) 取 極 限求 和代 替分 劃 分 方 法 處 理 ：勻 變 化 問(wèn) 題 可 以 用 定 積 則 該 非 均乘 積 形 式可 以 表 示 為 兩 個(gè) 變 量 的 看 成 是 均 勻 變 化 時(shí)若 將 非 均 勻 變 化 的 事 物 , , )4( 定 積 分 的 幾 何 意 義 O xya b)(xfy 1A 2A 3A ,d)(1 ca xxfA c d .d)(3 bd xxfA , d

12、)( 2 dc xxfA 由 極 限 保 號(hào) 性 ： ,0d)( ca xxf ,0d)( dc xxf .0d)( bd xxf面 積 ： 定 積 分 的 幾 何 意 義 O xya b)(xfy 1A 2A 3Ac d , )( d)( bxaxxfyxxfba 與 直 線等 于 曲 線 . 面 積 的 代 數(shù) 和軸 所 圍 成 的 幾 何 圖 形 的及 x 下 面 是 幾 個(gè) 關(guān) 于 函 數(shù) 可 積 性 的 定 理 . 運(yùn) 用 定 積 分 的 概 念 及 定 積 分 的 幾 何意 義 , 由 函 數(shù) 的 極 限 運(yùn) 算 性 質(zhì) 容 易 證 明它 們 , 所 以 我 們 在 這 里 不 進(jìn)

13、 行 證 明 . 喂 ! . ),()( ),()( baRxfbaCxf 則若 , , )( 上 單 調(diào) 、 有 界在若 baxf . ),()( baRxf 則 )( , , )( 一 類且 僅 有 有 限 個(gè)上 有 界在 baxf . ),()( , baRxf 則間 斷 點(diǎn) O xy a bc . ),(|)(| ),()( baRxfbaRxf 則若 . 3 的 逆 不 真定 理 . 1 , , 1 )( , 為 無(wú) 理 數(shù)， 為 有 理 數(shù)例 如 xxxf , , , ),()( badcbaRxf 則若 . ),()( dcRxf O xy a bc d ),()(),( 則若

14、baRxgxf . ),()()( ),()( ),( baRxgxfxgxfxkf 為 常 數(shù) ）k( 三 . 定 積 分 的 性 質(zhì) 由 于 定 積 分 是 一 種 和 式 的 極 限 , 所 以 極 限的 某 些 性 質(zhì) 在 定 積 分 中 將 有 所 反 映 . 在 以 下 的 敘 述 中 , 假 設(shè) 所 出 現(xiàn) 的 函 數(shù) 均 可積 , 所 出 現(xiàn) 的 定 積 分 均 存 在 . 證 : , 定 積 分 反 號(hào)交 換 積 分 上 、 下 限 . d)(d)( abba xxfxxf 1 性 質(zhì) . , , T 1 的 取 值 也 不 變不 變保 持 分 法 iii xx ; , 1

15、iii xxxba 看往則 由 . , 1* iiii xxxxab 看往由 ni iixni iixab xfxfxxf 10|10| )(lim)(limd)( . d)( ba xxf 0d)( aa xxf 證 )( 2 線 性 性 質(zhì)性 質(zhì) , d)(d)(d)()( bababa xxgxxfxxgxf . , 為 常 數(shù)、式 中 由 定 積 分 定 義 及 極 限 運(yùn) 算 性 質(zhì) ： ni iiixba xgfxxgxf 10| )()(limd)()( ni iixni iix xgxf 10|10| )(lim)(lim . d)(d)( baba xxgxxf 證 )( 3

16、 保 號(hào) 性性 質(zhì) . 0d)( , ,0)( ba xxfbaxxf 則若 (小 于 零 的 情 形 類 似 . )由 極 限 的 保 號(hào) 性 立 即 可 知 .O xy a b0A0)( xfy 1 3 的 推 論性 質(zhì) . d)(d)( , )()( baba xxgxxfbaxxgxf 則若 O xy a b)(xfy )(xgy 0 gf AA 2 3 的 推 論性 質(zhì) baba xxfxxf d|)(| |d)(|O xy a b)(xfy |)(| xfy 例 1證 , 0d)( . 0)( , ),()( ba xxfxfbaCxf 若且設(shè) . , ,0)( baxxf 證 明

17、 ： ,0)( 0 xf , , ,0)( baxxf 設(shè) / .)U( 0)( 0 xxxf . 0d)( , )U(, 0 xxfx 則取 ,0d)( ,0d)( 故又 ba xxfxxf . 0d)(d)(d)(d)( baba xxfxxfxxfxxf . , ,0)( baxxf 該 矛 盾 說(shuō) 明 ： , 0 使則 至 少 bax , )U( , ),()( 0 使由 xbaCxf 0d)( ba xxf 0)( xf /有 什 么 結(jié) 論 ？換 成 例 2證 ,)()( , ),()( ),( xgxfbaCxgxf 且設(shè) . 1 ),()()( 的 討 論 即 可 證 得由 對(duì)

18、 例令 xgxfxF . d)( d)( . , )()( baba xxgxxfbaxxgxf 證 明 ：/ )( 4 對(duì) 區(qū) 間 的 可 加 性性 質(zhì) bccaba xxfxxfxxf d)(d)(d)( . , bca 其 中證 . ),()( , ),()( ),()( bcRxfcaRxfbaRxf , , T 則成 為 分 點(diǎn)使 點(diǎn)選 擇 適 當(dāng) 的 分 法 c , )()()( bc iica iiba ii xfxfxf , 0 | 由 可 積 性 即 得的 極 限取 x bccaba xxfxxfxxf d)(d)(d)( 例 3 , )( 則可 積在 下 列 所 出 現(xiàn) 的

19、 區(qū) 間 上若 xf . d)(d)(d)( bccaba xxfxxfxxf . d)(d)(d)( cabcba xxfxxfxxfO xy a b)(xfy c )( 5 估 值 定 理性 質(zhì) , , )( , 則最 小 值上 的 最 大在分 別 為設(shè) baxfmM . )(d)()( abMxxfabm ba 證 . , )( ),()( baxMxfmbaRxf 由 于 ba xxf d)(所 以 abxba d ba xmabm d)( . )(d abMxMba 例 4 . 22dsin 21 24 xx x證 明 ： ,tan , 2,4 sin)( 則由令 xxxx xxf

20、證 0cos)tan(sincos)( 22 x xxxx xxxxf , 2)2( ,22)4( , 2,4)( fmfMxf 且故 得運(yùn) 用 估 值 定 理由 , ,)2,4()( , 0)( Cxfxf . 22)42(22dsin )42(221 24 xx x , , 21 其 算 術(shù) 平 均 值來(lái) 說(shuō)對(duì) 于 有 限 個(gè) 量 naaa .21 n aaaa n )( ), , ()( 在 區(qū) 間現(xiàn) 需 求 函 數(shù)設(shè) xfbaCxf )( , , 的 算處 函 數(shù) 值任 意 的 無(wú) 窮 多 個(gè) 點(diǎn)上 ii xfxba ? , 你 認(rèn) 為 應(yīng) 該 怎 么 做術(shù) 平 均 值 f : a是

21、數(shù) :很 自 然 的 做 法 是 ,) ,2 ,1 ( , , 計(jì) 算 出 函 數(shù) 相 應(yīng)首 先 nibaxi 的 算 術(shù) 平 均 值 ,)()()( 21 n xfxfxff nn , , , 且 與 點(diǎn)如 果 該 極 限 值 存 在的 極 限取然 后 n , , 則 可 以 認(rèn) 為 該 極 限上 的 分 布 狀 況 無(wú) 關(guān)在 區(qū) 間 baxi :值 為 所 求 的 算 術(shù) 平 均 值 .)()()(limlim 21 n xfxfxfff nnnn ).,()( , ),()( baRxfbaCxf 所 以由 于 , , 則 每 個(gè) 小 區(qū) 間 的 長(zhǎng) 度 為等 分分 成將 區(qū) 間 nba

22、 ). ,2 ,1 ( )(1 niabnxi )( , , , 21 算 術(shù) 平 均 值作 為 求 函 數(shù)取 分 點(diǎn)此 外 xfxxx n , , 得 到于 是的 計(jì) 算 點(diǎn)nf ,)(1)()()( 121 i iinn xxfabn xfxfxff , , 得由 定 積 分 的 定 義的 極 限取 n .d)(1)(lim 1 1 bai iin xxfabxxfabf .d)( 1 )( , )( ),()( , ba xxfabf baxfbaCxf平 均 值 為算 術(shù) 上 的在則就 是 說(shuō) .d d)( baba x xxff通 常 也 將 它 記 為 , ),()( babaCx

23、f 故 至 少 存 在 一 點(diǎn)由 于 ,)( 即 有使 得 ff ).)(d)( abfxxfba . , 的 定 理我 們 就 可 得 到 一 個(gè) 重 要這 樣 )( 6 積 分 中 值 定 理性 質(zhì) 使 得則上 保 持 符 號(hào) 不 變?cè)?, , , , baba . d)()(d)()( baba xxgfxxgxf , 1)( 則若 xg baba xfxxf d)(d)( . )( abf O xy a b )( ),()( ),()( xgbaRxgbaCxf 且若 )(xfy 證 .0)( , , , )( xgbaxg 不 妨 設(shè)所 以上 不 變 號(hào)在由 于 ),()( ),()

24、( 故 有又 baRxgbaCxf ),()()( baRxgxf ,d)(d)()(d)( xxgMxxgxfxxgm bababa ., , )( , , 最 小 值上 的 最 大在為其 中 baxfmM . 6 ,0d)( )1( 顯 然 成 立則 性 質(zhì)若 ba xxg ),()( ,0d)( )2( 及則 由若 baCxfxxgba , , 使 得ba . d)()(d)()( baba xxgfxxgxf . 6 , 獲 證性 質(zhì)綜 上 所 述 ,d)( d)()( Mxxg xxgxfm baba 積 分 中 值 定 理 的 推 廣 使 得則 存 在上 保 持 符 號(hào) 不 變?cè)?, , , Mmba . d)(d)()( baba xxgxxgxf )( ,)( ),()( ),( xgMxfmbaRxgxf 且若 例 5 ), ,0( ,lnd1 Nnpn pnxxpnn 已 知 . dsin lim pnnn xx x求解 由 積 分 中 值 定 理 ,lnsind1sindsin n pnxxxx x npnnnpnn )1ln(sinlimdsinlim npxx x nnpnnn 故 . 0sinlim npnn 例 6解 . 1,0 2 上 的 平 均 值在求 xy .311 )01 (31dd 331 0 1 0 2 xxxy